关于三解形不等式证明方法的探讨

• 作 者: 叶福荣
• 出 处: 课程教育研究·新教师教学
• 发表日期: 2012年16期
• 关键词: 不等式 证明方法 特殊值 三边关系 比较大小 综合法 填空题 分析法 放缩法 比较法 求解 等边

　　中图分类号：G623.5
　　不等式的证明方法很多，比如：比较法、分析法、综合法、放缩法等。对于证明三解形三边关系不等式，我们可以用不同的方法加以证明。现就例举具体的例子与大家一起探讨：
　　一、特殊值法
　　例：已知a，b，c是△ABC的三条边，比较大小（a+b+c）2 4（ab+bc+ca）。考虑这是填空题，不要过程，只求答案，所以这道完全可以用特殊值法求解。令△ABC是等边三解形，且a=b=c=1，得（a+b+c）2=9，4（ab+bc+ca）=12，所以（a+b+c）2<4（ab+bc+ca）。
　　二、常规思维法
　　设a，b，c为△ABC的三边，求证：a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）
　　比较法
　　证法1
　　∵a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
　　=a2 -2ab+b2+c2-2ac+a2+c2-2bc+b2-a2-b2-c2
　　=（a-b）2+（c-a）2+（c-b）2-a2-b2-c2
　　=（a-b）2-c2+（c-a）2-b2+（c-b）2-a2
　　=（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）
　　又∵a，b，c为△ABC的三边
　　∴a-b+c>0 a-b-c<0 c-a+b>0
　　c-a-b<0 c-b+a>0 c-b-a<0
　　∴（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）<0
　　∴ a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）
　　证法2∵ a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
　　=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）
　　=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）
　　=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
　　又∵a，b，c为△ABC的三边
　　∴a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a
　　利用同向正则不等式可以相乘，得到
　　∴a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）>0
　　∴ -〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕<0
　　∴a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）
　　分析法
　　證法1：
　　∵a，b，c为△ABC的三边
　　∴a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a
　　利用同向正则不等式可以相乘，得到
　　a（b+c）>a2 b（a+c）>b2 c（a+b）>c2
　　又∵ 2（ab+bc+ca）
　　=ab+ac+bc+ba+bc+ac
　　=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）>a2+b2+c2
　　∴ a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）
　　在讨论题目的证明过程中，有的同学想到了这样的证明方法：
　　证法2
　　∵a，b，c为△ABC的三边
　　∴|a-b|　　∴（a-b）2　　上述三个同向不等式相得
　　（a-b）+（b-c）2+（a-c）2　　即a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）
　　推论：已知a，b，c为△ABC的三边，则关于x的不等式
　　x2+（a+b+c）x+ab+ac+bc>0的解集为R
　　证明：∵ a，b，c为△ABC的三边
　　x2+（a+b+c）x+ab+ac+b
　　=（x+）2-+ab+ac+bc
　　=（x+）2+〔4（ab+bc+ac）-（a+b+c）2〕
　　由前面的命题可知
　　（a+b+c）2-4（ab+ac+bc）
　　=a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
　　=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）
　　=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）
　　=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕<0
　　∴4（ab+bc+ac）-（a+b+c）2>0
　　又∵（x+）2>0
　　∴（x+）2+〔4（ab+bc+ac）-（a+b+c）2〕>0恒成立
　　∴关于x的不等式x2+（a+b+c）x+ab+ac+bc>0的解集为R