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摘 要： 在数学教育中，教师要激发儿童的猜想意识，让儿童敢于猜想、能够猜想。给儿童提供数学猜想的支点，教给儿童猜想、验证和总结的方法，帮助儿童打开猜想的思路。打造儿童“心理安全”和“心理自由”的猜想时空。
关键词：小学数学；数学猜想；完善发展
基于“创客教育”理念，数学教学要引领儿童展开“合情推理”，即“有依据地猜想”。正如著名数学教育家波利亚所说的，“在数学教育中，我们不仅要教证明，更要教猜想……数学猜想是数学创造的摇篮。”数学教学要以“数学猜想”为抓手，让儿童成为数学学习中的“小创客”，让“数学猜想”成为儿童数学创新、数学“再创造”的动力引擎。
一、由隐到显，引导儿童展开“直觉猜想”
二、由此及彼，引导儿童展开“类比猜想”
教学中教师要引导儿童观察、分析、比较，让儿童在掌握对象的某些相同或相似特征后，展开类比推断，提出合情、合理与合法的猜想。例如教学“三角形的面积”公式后，在学习《梯形的面积》（苏教版小学数学教材第9册）时可以引导儿童展开类比猜想：
师：同学们回忆一下，我们是如何推导出“三角形的面积”公式的？
生1：我们是将“三角形的面积”转化成了“等底等高”的“平行四边形的面积”。
生2：我们也可以把“三角形的面积”转化成“长方形的面积”。
生3：我们在把“三角形的面积”转化成“平行四边形的面积”的时候，运用了“旋转和平移”的方法，而在把“三角形的面积”转化成“长方形的面积”的时候，运用了“剪切和旋转”的方法。
师：那么，同学们想一想，我们该怎样推导“梯形的面积”公式呢？
生4：我想可以将梯形沿着对角线分成两个三角形，将“梯形的面积”转化成“三角形的面积”。
生5：我认为可以将梯形旋转，然后平移，转化成“平行四边形”。
生5：我认为还可以将“梯形的面积”转化成“长方形的面积”，可以在梯形两腰中点处往梯形的底作垂线，然后旋转分割成的三角形，以盈补缺。（生5边说边展示了画出的梯形辅助线）
师：刚才同学们的这些想法只是你们依据自己的数学经验和“三角形的面积”推导过程而对梯形的面积推导所作出的一种类比猜想，这些猜想在操作中是否可行，还需要同学们展开验证。下面请同学们分小组进行实验。
……
在教学中，教师要引导儿童根据知识点的相同或相似，自然地迁移出新的数学知识、方法、观点乃至思想，做出类推，形成猜想。有时尽管儿童的猜想是幼稚的、不完整的甚至错误的，但这正是探索未知数学的必然，是儿童数学创造力的萌芽。试想，如果没有错误又哪来的正确呢？没有幼稚又哪来的成熟呢？孩子们的数学猜想是在数学验证、探寻中不断完善和发展的。
三、由点及面，引导儿童展开“归纳猜想”
所谓“归纳猜想”，是指儿童在数学学习中，由个别到一般、由部分到整体、由点及面的猜想、推理。儿童数学学习中的“归纳猜想”通常是由部分对象具有某个属性、特征而猜想出全体对象可能具有某个属性、特征，在这个过程中往往要运用“更多的对象”来验证。例如教学《3的倍数的特征》（苏教版小学数学教材第10册），笔者首先让孩子们猜想，于是他们纷纷依据“2的倍数的特征”和“5的倍数的特征”做出“类比推理”，认为“如果一个数的个位上的数是3的倍数，这个数就是3的倍数”。经过儿童的举例验证，很快发现了这一猜想是错误的。于是笔者引导儿童调整方向，让儿童将这些数用计数器表示出来。首先是两位数，如12、21、24、30、36、45等。经过观察，孩子们发现这些数“所用算珠的个数”正好都是3的倍数，于是提出不完全的“归纳性猜想”：一个数，如果各个数位上数字的和（也就是表示数的算珠的个数）是3的倍数，这个数就是3的倍数。然而，这只是3的倍数的两位数猜想，对于三位数呢？四位数呢？接着笔者引导学生任意研究100到1000之间的三位数，任意研究10000之内的四位数……孩子们发现这个猜想都能得到验证。然后笔者引导学生反过来思考：如果在计数器上所用的算珠的个数是3的倍数，这个数一定是3的倍数吗？于是他们纷纷在计数器上拨出很大的数，然后用笔计算，结果发现“只要算珠的个数是3的倍数，算珠所表示的数就是3的倍数”。由此得出令人信服的数学结论。最后笔者对“3的倍数”做出数学解释，让儿童深刻领悟数学本质。以“4845”为例，4000可以分成4个999和4，800可以分成8个99和8，40可以分成4个9和4，4个999和8个99以及4个9的和一定是3的倍数，而剩下来的数还有4、8、4、5。因此，判定4845是否是3的倍数只要看4、8、4、5的和，只要4、8、4、5的和是3的倍数，那么4845就是3的倍数。这里，由点及面的“归纳猜想”“归纳推理”让学生感知并确认“3的倍数的特征”，而最后笔者的“算理解释”更是让学生从数学本质的角度深刻地理解了“3的倍数的特征”。
四、由缺到全，引导儿童展开“完形猜想”
面对学生猜想，教师要主动跟进，展开“过滤”或“验证”，通过数学实验、探究、操作等对数学猜想进行“证明”或“证伪”。例如教学《角的度量》（苏教版小学数学教材第7册），笔者让学生用身边的三角尺拼接，看能够产生出哪些度数的角。孩子们有的将三角尺拼接，有的将三角尺重叠，很快便得到了许多度数的角。接着笔者引导儿童将这些角连同三角形本身的角进行统计、整理，从小到大形成一个角的序列：15°（45°- 30°）、30°、45°、60°、75°（30° 45°）、90°、105°（45° 60°）、120°（30° 90°）、135°（45° 90°）、150°（60° 90°）、180°（90° 90°）。接着，笔者让学生观察这组角的度数，他们迅速发现从最小的角开始依次增加15°，一直到180°，只是很遗憾，其中没有165°的角。根据这样的排列规律，有学生展开“完形猜想”：应该还有一个角为165°，只是我们还没有发现。那么，这是一种数学本身的遗憾还是我们探究中的疏漏呢？为什么会缺少一个165°的角呢？笔者让学生小组交流，继续拼角、找角。过了一会儿，一位学生高举着拼接的三角形，“老师，这个角是165°。”循声望去，这位学生用小手指着165°的角（如图1），并用量角器量出了度数。孩子们兴奋极了，他们为自己的数学“完形猜想”得到验证而高兴不已，产生了如同人本主义心理学家马斯洛所说的一种类似于科学发现的“高峰体验”。试想，如果不是孩子们敢于猜想，那么这一个“165°”的角极有可能被遗漏掉，这里真正见证了“数学猜想”的力量。
“数学猜想”是数学发现、数学创造的基石，是实施数学“创客教育”的触发器。正是在数学猜想与验证的过程中，儿童成了一个个名副其实的“数学小创客”！
关键词：小学数学；数学猜想；完善发展
基于“创客教育”理念，数学教学要引领儿童展开“合情推理”，即“有依据地猜想”。正如著名数学教育家波利亚所说的，“在数学教育中，我们不仅要教证明，更要教猜想……数学猜想是数学创造的摇篮。”数学教学要以“数学猜想”为抓手，让儿童成为数学学习中的“小创客”，让“数学猜想”成为儿童数学创新、数学“再创造”的动力引擎。
一、由隐到显，引导儿童展开“直觉猜想”
二、由此及彼，引导儿童展开“类比猜想”
教学中教师要引导儿童观察、分析、比较，让儿童在掌握对象的某些相同或相似特征后，展开类比推断，提出合情、合理与合法的猜想。例如教学“三角形的面积”公式后，在学习《梯形的面积》（苏教版小学数学教材第9册）时可以引导儿童展开类比猜想：
师：同学们回忆一下，我们是如何推导出“三角形的面积”公式的？
生1：我们是将“三角形的面积”转化成了“等底等高”的“平行四边形的面积”。
生2：我们也可以把“三角形的面积”转化成“长方形的面积”。
生3：我们在把“三角形的面积”转化成“平行四边形的面积”的时候，运用了“旋转和平移”的方法，而在把“三角形的面积”转化成“长方形的面积”的时候，运用了“剪切和旋转”的方法。
师：那么，同学们想一想，我们该怎样推导“梯形的面积”公式呢？
生4：我想可以将梯形沿着对角线分成两个三角形，将“梯形的面积”转化成“三角形的面积”。
生5：我认为可以将梯形旋转，然后平移，转化成“平行四边形”。
生5：我认为还可以将“梯形的面积”转化成“长方形的面积”，可以在梯形两腰中点处往梯形的底作垂线，然后旋转分割成的三角形，以盈补缺。（生5边说边展示了画出的梯形辅助线）
师：刚才同学们的这些想法只是你们依据自己的数学经验和“三角形的面积”推导过程而对梯形的面积推导所作出的一种类比猜想，这些猜想在操作中是否可行，还需要同学们展开验证。下面请同学们分小组进行实验。
……
在教学中，教师要引导儿童根据知识点的相同或相似，自然地迁移出新的数学知识、方法、观点乃至思想，做出类推，形成猜想。有时尽管儿童的猜想是幼稚的、不完整的甚至错误的，但这正是探索未知数学的必然，是儿童数学创造力的萌芽。试想，如果没有错误又哪来的正确呢？没有幼稚又哪来的成熟呢？孩子们的数学猜想是在数学验证、探寻中不断完善和发展的。
三、由点及面，引导儿童展开“归纳猜想”
所谓“归纳猜想”，是指儿童在数学学习中，由个别到一般、由部分到整体、由点及面的猜想、推理。儿童数学学习中的“归纳猜想”通常是由部分对象具有某个属性、特征而猜想出全体对象可能具有某个属性、特征，在这个过程中往往要运用“更多的对象”来验证。例如教学《3的倍数的特征》（苏教版小学数学教材第10册），笔者首先让孩子们猜想，于是他们纷纷依据“2的倍数的特征”和“5的倍数的特征”做出“类比推理”，认为“如果一个数的个位上的数是3的倍数，这个数就是3的倍数”。经过儿童的举例验证，很快发现了这一猜想是错误的。于是笔者引导儿童调整方向，让儿童将这些数用计数器表示出来。首先是两位数，如12、21、24、30、36、45等。经过观察，孩子们发现这些数“所用算珠的个数”正好都是3的倍数，于是提出不完全的“归纳性猜想”：一个数，如果各个数位上数字的和（也就是表示数的算珠的个数）是3的倍数，这个数就是3的倍数。然而，这只是3的倍数的两位数猜想，对于三位数呢？四位数呢？接着笔者引导学生任意研究100到1000之间的三位数，任意研究10000之内的四位数……孩子们发现这个猜想都能得到验证。然后笔者引导学生反过来思考：如果在计数器上所用的算珠的个数是3的倍数，这个数一定是3的倍数吗？于是他们纷纷在计数器上拨出很大的数，然后用笔计算，结果发现“只要算珠的个数是3的倍数，算珠所表示的数就是3的倍数”。由此得出令人信服的数学结论。最后笔者对“3的倍数”做出数学解释，让儿童深刻领悟数学本质。以“4845”为例，4000可以分成4个999和4，800可以分成8个99和8，40可以分成4个9和4，4个999和8个99以及4个9的和一定是3的倍数，而剩下来的数还有4、8、4、5。因此，判定4845是否是3的倍数只要看4、8、4、5的和，只要4、8、4、5的和是3的倍数，那么4845就是3的倍数。这里，由点及面的“归纳猜想”“归纳推理”让学生感知并确认“3的倍数的特征”，而最后笔者的“算理解释”更是让学生从数学本质的角度深刻地理解了“3的倍数的特征”。
四、由缺到全，引导儿童展开“完形猜想”
面对学生猜想，教师要主动跟进，展开“过滤”或“验证”，通过数学实验、探究、操作等对数学猜想进行“证明”或“证伪”。例如教学《角的度量》（苏教版小学数学教材第7册），笔者让学生用身边的三角尺拼接，看能够产生出哪些度数的角。孩子们有的将三角尺拼接，有的将三角尺重叠，很快便得到了许多度数的角。接着笔者引导儿童将这些角连同三角形本身的角进行统计、整理，从小到大形成一个角的序列：15°（45°- 30°）、30°、45°、60°、75°（30° 45°）、90°、105°（45° 60°）、120°（30° 90°）、135°（45° 90°）、150°（60° 90°）、180°（90° 90°）。接着，笔者让学生观察这组角的度数，他们迅速发现从最小的角开始依次增加15°，一直到180°，只是很遗憾，其中没有165°的角。根据这样的排列规律，有学生展开“完形猜想”：应该还有一个角为165°，只是我们还没有发现。那么，这是一种数学本身的遗憾还是我们探究中的疏漏呢？为什么会缺少一个165°的角呢？笔者让学生小组交流，继续拼角、找角。过了一会儿，一位学生高举着拼接的三角形，“老师，这个角是165°。”循声望去，这位学生用小手指着165°的角（如图1），并用量角器量出了度数。孩子们兴奋极了，他们为自己的数学“完形猜想”得到验证而高兴不已，产生了如同人本主义心理学家马斯洛所说的一种类似于科学发现的“高峰体验”。试想，如果不是孩子们敢于猜想，那么这一个“165°”的角极有可能被遗漏掉，这里真正见证了“数学猜想”的力量。
“数学猜想”是数学发现、数学创造的基石，是实施数学“创客教育”的触发器。正是在数学猜想与验证的过程中，儿童成了一个个名副其实的“数学小创客”！