确定直角三角形顶点的位置

• 作 者: 夏鸣
• 出 处: 中学数学杂志(初中版)
• 发表日期: 2013年4期
• 关键词: 分类标准 一元二次方程 直角边 平面直角坐标系 相似三角形 坐标时 条理性 出点 说明理由 可证

　　1 基本模型及其分析
　　基本模型 如图1，已知线段AB以及直线m，在直线m上取一点P使△ABP是直角三角形.
　　分析 已知一条线段，以这条线段为一边确定直角三角
　　形时，通常有两种分类标准：一是根据“边”分类即将线段
　　AB作为直角边或斜边，二是根据“直角的顶点”分类，前一
　　种分类标准具有一定的可行性，但是容易出现遗漏，而后一种
　　分类标准更容易、更准确、更有条理性，具体如下（如图2）：
　　（1）当点A是直角三角形直角的顶点时，那么∠BAP=90°，
　　点P在过点A且垂直AB的直线上.于是可以这样确定点P：
　　过点A作AB的垂线与直线m的交点即为所求.
　　（2）当点B是直角三角形直角的顶点时，点P的探求方法与
　　情况（1）类似.
　　（3）当点P是直角三角形直角的顶点时，那么线段AB是直角
　　三角形的斜边，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”
　　可知，线段AB的中点O到点A、B、P的距离相等，所以点P
　　在以AB为直径的圆上.所以确定点P的方法是以AB为直径作⊙O，与直线m的交点即为所求.当点O到直线m的距离小于12AB时，这样的点P有2个，当点O到直线m的距离等于12AB时，这样的点P只有1个，当点O到直线m的距离大于12AB时，这样的点P不存在.
　　综上所述，已知直角三角形一边，在另一条直线上寻求一点P，使△ABP为直角三角形，这样的点P最少2个，最多4个.