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【摘要】数学思想方法是从数学知识中提炼出来的精髓，是学生把数学知识转化为自己能力的一种重要的工具.本文通过对化归、数形结合、分类讨论和方程与函数这四种重要的数学思想方法在初中教学实践中的具体运用进行探讨，为学生数学思想方法的培养提供思路.
【关键词】数学思想;数学方法;渗透
数学思想方法是对数学知识及其所使用数学方法的本质认识，它蕴含于具体的数学内容与数学方法之中，又经过了一定的提炼与概括，成为理性的认识[1].《义务教育数学课程标准》（2011版）明确指出：“数学思想方法是数学知识的重要组成部分，它隐含在具体的数学知识中[2].”这表明对于学生来说，数学思想方法的培养是重要的.在初中阶段，对于如何在日常的数学教学中渗透数学思想方法，教师们都进行了很多有意义的探讨.如：魏光明（2018）探究初中数学教学中渗透数学思想方法的策略[3].在初中阶段，数学思想方法虽然有很多，但是最基本的数学思想方法主要还是体现为化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程和函数思想（谢坚，2017[4];张琳，2019[5]等）这几种.初中数学教师应该在日常的教学中渗透这几种常用的数学思想方法，让学生在潜移默化中很自然地掌握数学思想方法，使学生得到更全面的发展.
一、化归思想
化归就是转化和归结，即在解决具体数学问题时，将现有的问题通过某种方式进行转化，把它转化为更简单的、学生更熟悉的问题去解答的一种解题思路.化归思想是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思想.
化归思想是初中数学中解决问题的基本思想之一.在具体转化方法上，可以通过多种具体手段进行，比如加减法、乘除法之间的转化，乘方和开方之间的转化，添加辅助线以及增设辅助元.在日常的教学中，教师应该潜移默化，让学生意识到很多常用的数学方法实质上就是一种转化的方法.然后教师再结合实际的教学内容对学生进行有针对性的训练，从而让学生很自然地掌握化归的思想方法.当然，在具体的实践教学中，可以先提出具体问题，再引导学生独立思考，让学生去探求转化的思路.
在平时的教学过程中，教师应该有意识地渗透化归思想.比如，在求解分式方程时，让学生回忆一下整式方程的解法，然后运用化归思想，把分式方程转化为学生熟悉的整式方程，从而使学生顺利地求出分式方程的解;再如，在解二元一次方程组时所使用的“消元法”也是化归思想的具体应用，通过适当地恒等变换，先消去一个未知数，使二元一次方程组化归为学生熟悉的一元一次方程，让学生很容易掌握二元一次方程组的求解.类似地，还有解一元二次方程时所采用的“降次法”、化分式为整式等等，这些都是化归思想的具体体现.
例1 （2015年泰安中考题）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲种款型全部售完，乙种款型剩余一半，商店决定对乙种款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，售完这批T恤衫，商店共获利多少元？
二、数形结合思想
数形结合思想就是将抽象的数字与直观的图形结合起来进行分析、研究，进而解决问题的一种最常用的数学思想.通过数形结合，让学生以一种全新的思维方式去理解问题，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，降低问题的难度，从而使学生更容易解决问题，也有利于提高学生运用数学方法解决实际问题的能力.
数形结合思想的具体应用大致可分为“由数解形”和“以形助数”两类.在日常教学中，教师应该灵活地运用数形结合思想.例如，教师在讲授“有理数及其运算”时，可以充分利用数轴，让学生深刻理解“具有相反意义的量”具体表示什么，这对学生掌握相反数、绝对值等概念起了很大的帮助.教师在讲授“生活中的数据”这一章时，可以通过图形来表示数据，更是让学生直观明了.而教师在讲授“平面图形及其位置关系”这一章时，可以通过数量上的变化，让学生对线段的长度和角的大小有一个非常直观的认识，这有助于学生更好地进行线段和角的比较.教师在讲授“平面直角坐标系”时，可以有针对性地引导学生思考，嘗试把教室当作一个平面，构建现实中的平面直角坐标系，这样，每个学生所在的具体位置和数（几排几列）就结合起来了.通过学生的积极参与，数形结合思想很容易渗透到学生的思维中，使学生清楚平面直角坐标系上的每一点所代表的意义，这也为后续学习一次函数，二次函数和反比例函数奠定了更坚实的基础.
三、分类讨论思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法，它贯串整个数学教学过程.首先，初中数学分为代数和几何两大类，这就是分类思想的体现;其次，初中数学中实数的分类、角的分类、方程及函数的分类等，都体现了分类思想.所以教师在教学时，要给学生灌输分类讨论思想，即分类标准不同，得出的结果也不尽相同.在具体的教学过程中，教师要启发学生对不同情况下的同一对象进行思考，根据分类标准，进行严谨且有条理的分类.
一般来说，在问题的答案或结论不唯一的前提条件下，我们就可以考虑采用分类讨论思想，将问题存在的所有可能情况进行逐一分析，得出在不同条件下的答案或结论.
例3 某等腰三角形的两条边长分别为4 cm和6 cm，则它的周长为多少？
解 由于题目中没有明确底边和腰的具体长度，导致该三角形周长出现不唯一的情况，这时就应该采用分类讨论的思想.因此，三角形三边长有4 cm，4 cm，6 cm和6 cm，6 cm，4 cm这两种情况.在第一种情况中，三边长分别为4 cm，4 cm，6 cm的三角形周长为14 cm，在第二种情况中，三边长分别为6 cm，6 cm，4 cm的三角形周长为16 cm. 在该类题型中，还隐含了一个条件，就是三角形的三边关系必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，若所进行的分类不能满足这一要求，则不必讨论.
值得注意的是，虽然分类讨论是一种非常有效的数学方法，但是在具体运用分类讨论解决实际问题时，要根据已知的条件进行严谨且有条理的分类，以免在分类中出现遗漏和重复，即注重分类的完备性.当然，也不要盲目机械地急于进行分类，应对所要解决的问题进行深入研究，充分挖掘已知量和未知量的关系，得出最佳的解决方案.
四、方程与函数思想
函数思想是发现变量与变量之间关系的一种思想.方程思想是将研究的未知变量与已知变量建立联系，或者转化成方程的关系.它们是初中阶段运用较广泛的数学思想方法.无论是一元一次方程、二元一次方程组，还是一元二次方程等都涉及方程思想.而通过分析不同变量间存在的对应关系的函数思想，可以让数学问题更直观，更有逻辑性.因此，教师在日常的教学过程中，要引导学生探究初中数学方程和函数所包含的思想，并灵活运用它们去思考和解决问题.在具体的教学实践中，教师可以从实际问题出发，利用已知条件或熟悉的公式把握问题中已知变量和未知变量之间的数量关系，使其转化为方程（或方程组）、不等式等数学模型，然后通过求解数学模型，使问题获得解答.在“二元一次方程组”这一章中，比较经典的鸡兔同笼的问题就是方程思想的具体应用.
例4 （2015年攀枝花市中考题）某超市销售甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元;乙商品每件进价30元，售价40元.
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价-进价）不少于600元，请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出该超市利润最大的方案.
分析 （1）明显是鸡兔同笼问题的具体应用，可以采用方程思想解题.選择一元一次方程或者二元一次方程组均可.（2）是不等式组的具体应用，可以根据题目中的已知条件构建不等式组来解决问题.
同样，教师在教学过程中也要有意识、有计划、有目的地渗透函数思想.比如在讲授“正、反比例函数以及一次函数”时，自始至终给学生灌输变量之间对应关系的函数思想.
初中数学所包含的思想方法并不局限于上述探讨的几种，还有诸如观察与实验、分析与综合以及归纳与类比等思想方法，具体怎么在教学过程中渗透，这就要求教师在教学环节中不断地挖掘.在具体的教学过程中，教师应根据《义务教育数学课程标准》的要求，充分提炼出教材中具体的数学思想方法，精心设计每一堂课，深思熟虑每一个教学环节，有意识、有针对性地渗透，做到让学生在潜移默化中领悟数学的思想方法.此外，教师在教和授的同时，还要善于引导学生独立思考，逐步明确数学知识的来龙去脉及掌握一些基本的数学思想，使学生在解决实际问题时，能积极主动地运用这些思想.
【参考文献】
[1]刘婧，马文杰. 关于中小学数学思想方法教学的研究[J]. 台州学院学报，2017（06）：65-71.
[2]蒋梦霞，马文杰. 在初中数学教学中渗透数学思想方法的研究[J].台州学院学报，2017（03）：71-75.
[3]魏光明. 初中数学教学中渗透数学思想方法的教学策略研究[J].数学学习与研究，2018（10）：34.
[4]谢坚. 数学思想方法在初中数学教学中的探究[J]. 课程教育研究，2017（34）：109-110.
[5]张琳. 初中数学思想方法在教学中的渗透[J].中学数学教学参考，2019（18）：23-24.
【关键词】数学思想;数学方法;渗透
数学思想方法是对数学知识及其所使用数学方法的本质认识，它蕴含于具体的数学内容与数学方法之中，又经过了一定的提炼与概括，成为理性的认识[1].《义务教育数学课程标准》（2011版）明确指出：“数学思想方法是数学知识的重要组成部分，它隐含在具体的数学知识中[2].”这表明对于学生来说，数学思想方法的培养是重要的.在初中阶段，对于如何在日常的数学教学中渗透数学思想方法，教师们都进行了很多有意义的探讨.如：魏光明（2018）探究初中数学教学中渗透数学思想方法的策略[3].在初中阶段，数学思想方法虽然有很多，但是最基本的数学思想方法主要还是体现为化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程和函数思想（谢坚，2017[4];张琳，2019[5]等）这几种.初中数学教师应该在日常的教学中渗透这几种常用的数学思想方法，让学生在潜移默化中很自然地掌握数学思想方法，使学生得到更全面的发展.
一、化归思想
化归就是转化和归结，即在解决具体数学问题时，将现有的问题通过某种方式进行转化，把它转化为更简单的、学生更熟悉的问题去解答的一种解题思路.化归思想是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思想.
化归思想是初中数学中解决问题的基本思想之一.在具体转化方法上，可以通过多种具体手段进行，比如加减法、乘除法之间的转化，乘方和开方之间的转化，添加辅助线以及增设辅助元.在日常的教学中，教师应该潜移默化，让学生意识到很多常用的数学方法实质上就是一种转化的方法.然后教师再结合实际的教学内容对学生进行有针对性的训练，从而让学生很自然地掌握化归的思想方法.当然，在具体的实践教学中，可以先提出具体问题，再引导学生独立思考，让学生去探求转化的思路.
在平时的教学过程中，教师应该有意识地渗透化归思想.比如，在求解分式方程时，让学生回忆一下整式方程的解法，然后运用化归思想，把分式方程转化为学生熟悉的整式方程，从而使学生顺利地求出分式方程的解;再如，在解二元一次方程组时所使用的“消元法”也是化归思想的具体应用，通过适当地恒等变换，先消去一个未知数，使二元一次方程组化归为学生熟悉的一元一次方程，让学生很容易掌握二元一次方程组的求解.类似地，还有解一元二次方程时所采用的“降次法”、化分式为整式等等，这些都是化归思想的具体体现.
例1 （2015年泰安中考题）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲种款型全部售完，乙种款型剩余一半，商店决定对乙种款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，售完这批T恤衫，商店共获利多少元？
二、数形结合思想
数形结合思想就是将抽象的数字与直观的图形结合起来进行分析、研究，进而解决问题的一种最常用的数学思想.通过数形结合，让学生以一种全新的思维方式去理解问题，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，降低问题的难度，从而使学生更容易解决问题，也有利于提高学生运用数学方法解决实际问题的能力.
数形结合思想的具体应用大致可分为“由数解形”和“以形助数”两类.在日常教学中，教师应该灵活地运用数形结合思想.例如，教师在讲授“有理数及其运算”时，可以充分利用数轴，让学生深刻理解“具有相反意义的量”具体表示什么，这对学生掌握相反数、绝对值等概念起了很大的帮助.教师在讲授“生活中的数据”这一章时，可以通过图形来表示数据，更是让学生直观明了.而教师在讲授“平面图形及其位置关系”这一章时，可以通过数量上的变化，让学生对线段的长度和角的大小有一个非常直观的认识，这有助于学生更好地进行线段和角的比较.教师在讲授“平面直角坐标系”时，可以有针对性地引导学生思考，嘗试把教室当作一个平面，构建现实中的平面直角坐标系，这样，每个学生所在的具体位置和数（几排几列）就结合起来了.通过学生的积极参与，数形结合思想很容易渗透到学生的思维中，使学生清楚平面直角坐标系上的每一点所代表的意义，这也为后续学习一次函数，二次函数和反比例函数奠定了更坚实的基础.
三、分类讨论思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法，它贯串整个数学教学过程.首先，初中数学分为代数和几何两大类，这就是分类思想的体现;其次，初中数学中实数的分类、角的分类、方程及函数的分类等，都体现了分类思想.所以教师在教学时，要给学生灌输分类讨论思想，即分类标准不同，得出的结果也不尽相同.在具体的教学过程中，教师要启发学生对不同情况下的同一对象进行思考，根据分类标准，进行严谨且有条理的分类.
一般来说，在问题的答案或结论不唯一的前提条件下，我们就可以考虑采用分类讨论思想，将问题存在的所有可能情况进行逐一分析，得出在不同条件下的答案或结论.
例3 某等腰三角形的两条边长分别为4 cm和6 cm，则它的周长为多少？
解 由于题目中没有明确底边和腰的具体长度，导致该三角形周长出现不唯一的情况，这时就应该采用分类讨论的思想.因此，三角形三边长有4 cm，4 cm，6 cm和6 cm，6 cm，4 cm这两种情况.在第一种情况中，三边长分别为4 cm，4 cm，6 cm的三角形周长为14 cm，在第二种情况中，三边长分别为6 cm，6 cm，4 cm的三角形周长为16 cm. 在该类题型中，还隐含了一个条件，就是三角形的三边关系必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，若所进行的分类不能满足这一要求，则不必讨论.
值得注意的是，虽然分类讨论是一种非常有效的数学方法，但是在具体运用分类讨论解决实际问题时，要根据已知的条件进行严谨且有条理的分类，以免在分类中出现遗漏和重复，即注重分类的完备性.当然，也不要盲目机械地急于进行分类，应对所要解决的问题进行深入研究，充分挖掘已知量和未知量的关系，得出最佳的解决方案.
四、方程与函数思想
函数思想是发现变量与变量之间关系的一种思想.方程思想是将研究的未知变量与已知变量建立联系，或者转化成方程的关系.它们是初中阶段运用较广泛的数学思想方法.无论是一元一次方程、二元一次方程组，还是一元二次方程等都涉及方程思想.而通过分析不同变量间存在的对应关系的函数思想，可以让数学问题更直观，更有逻辑性.因此，教师在日常的教学过程中，要引导学生探究初中数学方程和函数所包含的思想，并灵活运用它们去思考和解决问题.在具体的教学实践中，教师可以从实际问题出发，利用已知条件或熟悉的公式把握问题中已知变量和未知变量之间的数量关系，使其转化为方程（或方程组）、不等式等数学模型，然后通过求解数学模型，使问题获得解答.在“二元一次方程组”这一章中，比较经典的鸡兔同笼的问题就是方程思想的具体应用.
例4 （2015年攀枝花市中考题）某超市销售甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元;乙商品每件进价30元，售价40元.
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价-进价）不少于600元，请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出该超市利润最大的方案.
分析 （1）明显是鸡兔同笼问题的具体应用，可以采用方程思想解题.選择一元一次方程或者二元一次方程组均可.（2）是不等式组的具体应用，可以根据题目中的已知条件构建不等式组来解决问题.
同样，教师在教学过程中也要有意识、有计划、有目的地渗透函数思想.比如在讲授“正、反比例函数以及一次函数”时，自始至终给学生灌输变量之间对应关系的函数思想.
初中数学所包含的思想方法并不局限于上述探讨的几种，还有诸如观察与实验、分析与综合以及归纳与类比等思想方法，具体怎么在教学过程中渗透，这就要求教师在教学环节中不断地挖掘.在具体的教学过程中，教师应根据《义务教育数学课程标准》的要求，充分提炼出教材中具体的数学思想方法，精心设计每一堂课，深思熟虑每一个教学环节，有意识、有针对性地渗透，做到让学生在潜移默化中领悟数学的思想方法.此外，教师在教和授的同时，还要善于引导学生独立思考，逐步明确数学知识的来龙去脉及掌握一些基本的数学思想，使学生在解决实际问题时，能积极主动地运用这些思想.
【参考文献】
[1]刘婧，马文杰. 关于中小学数学思想方法教学的研究[J]. 台州学院学报，2017（06）：65-71.
[2]蒋梦霞，马文杰. 在初中数学教学中渗透数学思想方法的研究[J].台州学院学报，2017（03）：71-75.
[3]魏光明. 初中数学教学中渗透数学思想方法的教学策略研究[J].数学学习与研究，2018（10）：34.
[4]谢坚. 数学思想方法在初中数学教学中的探究[J]. 课程教育研究，2017（34）：109-110.
[5]张琳. 初中数学思想方法在教学中的渗透[J].中学数学教学参考，2019（18）：23-24.