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1米勒问题及相关研究
1.1 米勒问题
1471年。德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，可视角最大？该问题作为数学史上100个著名极值问题的第一个而备受关注。因为问题本身由德国数学家米勒提出。所以最大视角问题又被称为“米勒问题”。
为了方便问题的研究，将米勒问题进行抽象，如图1所示：
已知A。B分别是∠GCK的边CG上的两个定点。点P是CK边上的动点，当点P在什么位置时，∠APB最大？
1.2 中考中的米勒问题简评
追寻近几年米勒问题在中考中的踪迹。笔者发现：2014年淄博中考24（3）为米勒问题，作出辅助圆后，涉及的主要知识点为切线的性质、勾股定理、切割线定理等;2015陕西中考26（3），求cos∠BPC最小即是求∠BPC最大，作出辅助圆，找到切点，用勾股定理可进行求解;2016年金华中考第9题的足球最佳射门位置问题，是米勒问题的实际应用，分析出圆心、半径，作出辅助圆即可解决;2019年衢州中考24（3）也涉及米勒问题。题目虽需要分类讨论。但只要以相切为突破口。打开解题局面，题目可迎刃而解;2019年烟台中考25（3）的米勒问题，题面简洁，解题脉络清晰，易于引发学生的思考。可作为典型的解题案例。
2 波利亚解题理论指导下的解题探究
第（2）问，如图5，因G，D为定点，所以GD长度固定要使四边形GDNF周长最小，也即使GF FN ND最小。作G关于y轴的对称点G’，作D关于x轴的对称点D’，连接G’D’与x轴，y轴分别交于点N，f。此时，以G，D，N，F为顶点的四边形周长最小。为G’D’ GD的租
第（3）问：
1.理解题意
该问为最值问题，已知条件有点B，D为定点，动点P的运动轨迹为y轴正半轴。初步判断，该问题为米勒问题。过B，D两点，作出与y轴相切的辅助圆。此时的切点P是使∠BPD度数最大的点。所以问题的实质是求切点P的坐标。
2.拟定方案
在坐标系中。求点的坐标是常见问题。但是具体到不同的问题情境中。求解方法有所不同。笔者在波利亚解题理论的指导下。对拟定方案过程中的思维活动进行了详细分析：
方案一（如图6）：
（1）点P在y轴上，可先设出其坐标P（0，n）;找到长度为n的线段，设n=OP，进而将n转数为形：
（2）OP長度能直接求吗？无法直接求出怎么办？找与OP相等或成倍数关系的线段代替。或者构造线段OP的和差关系。
4.回顾反思
再次对上述解题活动中用到的知识点进行梳理。重点是对学生解题思维的启发，即：遇到此类问题，我们应该联想什么。怎样联想。
3 反思
由解题到解题教学。从中考题目的研究到中考备考。笔者做出以下几点反思。
3.1 解题教学应重视学生思维活动的清晰建构
笔者认为。要想充分启发学生的逻辑思维，高效开展解题教学。首先要引导学生主动建构清晰的思维活动。思维活动由教师的提问、学生的独立思考和师生之间的对话等激发。思维活动的建构可在拟定方案的过程中充分进行，这对于启发学生思维、总结解题经验、提高备考效率大有裨益。
3.2 中考备考知识点复习重在“联”不求“全”
进人中考备考阶段，知识点多、散，有些知识点灵活度高。因此，与“全面复习”相比，笔者认为更应注重知识点的“内在联系”。这些知识点。学习之初。略显分散，但是进入备考阶段之后，学生们的知识储备达到了一定量。在特定问题情景之下。这些看似分散的知识点，以思维为经络，以运算为骨骼，进行了一次有机的结合。结合能力越强，学生解题能力越强，数学素养越高。因此中考备考阶段。“联系”的作用显而易见。
3.3 数学史上的经典问题应该重回课堂
对米勒问题进行探究后。笔者发现了问题本身的趣味性和实际应用价值。在直线和圆的位置关系之后引入对该问题的探讨，不仅可以将历史名人和名题重现，拉近学生和数学学习的距离。激发学生学习数学的兴趣，而且能够提高学生运用知识的灵活度，增强学生主动进行探究学习的数学能力。
1.1 米勒问题
1471年。德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，可视角最大？该问题作为数学史上100个著名极值问题的第一个而备受关注。因为问题本身由德国数学家米勒提出。所以最大视角问题又被称为“米勒问题”。
为了方便问题的研究，将米勒问题进行抽象，如图1所示：
已知A。B分别是∠GCK的边CG上的两个定点。点P是CK边上的动点，当点P在什么位置时，∠APB最大？
1.2 中考中的米勒问题简评
追寻近几年米勒问题在中考中的踪迹。笔者发现：2014年淄博中考24（3）为米勒问题，作出辅助圆后，涉及的主要知识点为切线的性质、勾股定理、切割线定理等;2015陕西中考26（3），求cos∠BPC最小即是求∠BPC最大，作出辅助圆，找到切点，用勾股定理可进行求解;2016年金华中考第9题的足球最佳射门位置问题，是米勒问题的实际应用，分析出圆心、半径，作出辅助圆即可解决;2019年衢州中考24（3）也涉及米勒问题。题目虽需要分类讨论。但只要以相切为突破口。打开解题局面，题目可迎刃而解;2019年烟台中考25（3）的米勒问题，题面简洁，解题脉络清晰，易于引发学生的思考。可作为典型的解题案例。
2 波利亚解题理论指导下的解题探究
第（2）问，如图5，因G，D为定点，所以GD长度固定要使四边形GDNF周长最小，也即使GF FN ND最小。作G关于y轴的对称点G’，作D关于x轴的对称点D’，连接G’D’与x轴，y轴分别交于点N，f。此时，以G，D，N，F为顶点的四边形周长最小。为G’D’ GD的租
第（3）问：
1.理解题意
该问为最值问题，已知条件有点B，D为定点，动点P的运动轨迹为y轴正半轴。初步判断，该问题为米勒问题。过B，D两点，作出与y轴相切的辅助圆。此时的切点P是使∠BPD度数最大的点。所以问题的实质是求切点P的坐标。
2.拟定方案
在坐标系中。求点的坐标是常见问题。但是具体到不同的问题情境中。求解方法有所不同。笔者在波利亚解题理论的指导下。对拟定方案过程中的思维活动进行了详细分析：
方案一（如图6）：
（1）点P在y轴上，可先设出其坐标P（0，n）;找到长度为n的线段，设n=OP，进而将n转数为形：
（2）OP長度能直接求吗？无法直接求出怎么办？找与OP相等或成倍数关系的线段代替。或者构造线段OP的和差关系。
4.回顾反思
再次对上述解题活动中用到的知识点进行梳理。重点是对学生解题思维的启发，即：遇到此类问题，我们应该联想什么。怎样联想。
3 反思
由解题到解题教学。从中考题目的研究到中考备考。笔者做出以下几点反思。
3.1 解题教学应重视学生思维活动的清晰建构
笔者认为。要想充分启发学生的逻辑思维，高效开展解题教学。首先要引导学生主动建构清晰的思维活动。思维活动由教师的提问、学生的独立思考和师生之间的对话等激发。思维活动的建构可在拟定方案的过程中充分进行，这对于启发学生思维、总结解题经验、提高备考效率大有裨益。
3.2 中考备考知识点复习重在“联”不求“全”
进人中考备考阶段，知识点多、散，有些知识点灵活度高。因此，与“全面复习”相比，笔者认为更应注重知识点的“内在联系”。这些知识点。学习之初。略显分散，但是进入备考阶段之后，学生们的知识储备达到了一定量。在特定问题情景之下。这些看似分散的知识点，以思维为经络，以运算为骨骼，进行了一次有机的结合。结合能力越强，学生解题能力越强，数学素养越高。因此中考备考阶段。“联系”的作用显而易见。
3.3 数学史上的经典问题应该重回课堂
对米勒问题进行探究后。笔者发现了问题本身的趣味性和实际应用价值。在直线和圆的位置关系之后引入对该问题的探讨，不仅可以将历史名人和名题重现，拉近学生和数学学习的距离。激发学生学习数学的兴趣，而且能够提高学生运用知识的灵活度，增强学生主动进行探究学习的数学能力。