论文部分内容阅读
最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是高考重点考查的知识点之一。有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现。其解法灵活，综合能力强，能力要求高。为帮助同学们探索这类问题的解题规律，本文将这类问题作一个简单归纳。
一、利用正弦函数或余弦函数的有界性求最值
这种方法主要针对形如y=asinx+bcosx的函数，这类函数的特点是只含有正、余弦函数，并且是一次式。解决这类问题的指导思想是把正、余弦两种函数转化成只含有一种三角函数的函数。转化时一般都要用到辅助角公式即
asinx+bcosx= sin（x+φ），其中（tanφ= ）
例1、已知函数f(x)＝2sin cos + cos
求函数f(x)的最值. （2008年陕西高考试题）
解：因为f(x)=sin + cos =2sin( + )
所以当sin ( + )=-1时f(x)取得最小值为-2
当sin ( + )=1时f(x)取得最大值为2
例2、已知函数f(x)=4cosxsin(x+ )-1
求函数f(x)在区间[- ， ]上的最大值和最小值.
（2011年北京高考试题）
解：因为f(x)=4cosxsin(x+ )-1
＝4cosx( sinx+ cosx)-1= sin2x+2cos2x-1
= sin2x+ cos2x
=2sin(2x+ )
又因为- ≤x≤ ， 所以- ≤2x+ ≤
于是当2x+ = ，即x= 时 f(x)取得最大值2.
当2x+ = ，即x=- 时 f(x)取得最小值-1.
二、利用均值不等式求最值
这种方法主要针对形如y= （a、m不同时为0）
的函数，这类函数的特点一般是①分子是一次式，分母是二次式②分子是二次式，分母是一次式。解决此类问题的指导思想是用一次式表示二次式，然后给分子、分母同除以一次式，构造倒数或倒数型的项，创设均值不等式的使用条件。用这种方法时要特别注意“一正二定三相等”。
例1、求y= 的最值.
解：当x=0时 y＝0
当x≠0时，y＝
若x＞0时，因为x+ ≥ ＝4（当x＝2时等号成立）
所以y≤
若x＜0时，因为x+ ＝-[-x+ ]≤-4（当x＝-2时等号成立）所以y≥-
综上所述：当x=2时， y取得最大值为 .
当x＝-2时，y取得最小值为- .
例2、设x＜1，求函数y＝ 的最值.
解：y＝ ＝ ＝ + +3
＝-[ + ]+3≤-1+3＝2
当 ＝ 即x＝0时 ， y取得最大值为2.
三、利用导数法求最值
这种方法主要针对三次及三次以上的函数和利用其他方法很难求最值的函数。
例1、设函数f(x)定义在（0， + ）上，f(1)＝0，导函数
f′(x)＝ ，g(x)＝f(x)+f′（x），求g(x)的最小值.
解：由题易知f(x)＝㏑x ， g(x)＝ ㏑x+ （x＞0）
g ′(x)＝ . 令g′(x)＝0 得x＝1
当x∈（0, 1）时，g′(x)＜0
故（0, 1）是g(x)的单调减区间，
当x∈（1, +∞）时，g′(x)＞0
故（1, +∞）是g(x)的单调增区间.
因此x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而也是
g(x)的最小值点.所以g(x)的最小值为g(1)=1
例2、求函数f(x)＝x3-3x2+6x－2 x∈[-1, 1]的最大值和最小值.
解：f′(x)＝3x2－6x+6 令f′(x)＝0 方程无解
而f′(x)＝3x2－6x+6＝3（x－1）2+3＞0
所以函数f(x)在x∈[-1, 1]上是增函数
当x＝-1时f(x)取得最小值为-12
当x＝1时f(x)取得最大值为2
以上就是在高考中根据函数式的特点求函数最值的最基本的方法。此外对于最基本的初等函数我们还可以直接利用它的单调性来求最值，这种情况相对简单不再举例。在实际解题中，除了根据函数式特点选用方法之外，还要注意各种方法之间的相互联系，希望大家在今后的解题中慢慢体会和领悟。
一、利用正弦函数或余弦函数的有界性求最值
这种方法主要针对形如y=asinx+bcosx的函数，这类函数的特点是只含有正、余弦函数，并且是一次式。解决这类问题的指导思想是把正、余弦两种函数转化成只含有一种三角函数的函数。转化时一般都要用到辅助角公式即
asinx+bcosx= sin（x+φ），其中（tanφ= ）
例1、已知函数f(x)＝2sin cos + cos
求函数f(x)的最值. （2008年陕西高考试题）
解：因为f(x)=sin + cos =2sin( + )
所以当sin ( + )=-1时f(x)取得最小值为-2
当sin ( + )=1时f(x)取得最大值为2
例2、已知函数f(x)=4cosxsin(x+ )-1
求函数f(x)在区间[- ， ]上的最大值和最小值.
（2011年北京高考试题）
解：因为f(x)=4cosxsin(x+ )-1
＝4cosx( sinx+ cosx)-1= sin2x+2cos2x-1
= sin2x+ cos2x
=2sin(2x+ )
又因为- ≤x≤ ， 所以- ≤2x+ ≤
于是当2x+ = ，即x= 时 f(x)取得最大值2.
当2x+ = ，即x=- 时 f(x)取得最小值-1.
二、利用均值不等式求最值
这种方法主要针对形如y= （a、m不同时为0）
的函数，这类函数的特点一般是①分子是一次式，分母是二次式②分子是二次式，分母是一次式。解决此类问题的指导思想是用一次式表示二次式，然后给分子、分母同除以一次式，构造倒数或倒数型的项，创设均值不等式的使用条件。用这种方法时要特别注意“一正二定三相等”。
例1、求y= 的最值.
解：当x=0时 y＝0
当x≠0时，y＝
若x＞0时，因为x+ ≥ ＝4（当x＝2时等号成立）
所以y≤
若x＜0时，因为x+ ＝-[-x+ ]≤-4（当x＝-2时等号成立）所以y≥-
综上所述：当x=2时， y取得最大值为 .
当x＝-2时，y取得最小值为- .
例2、设x＜1，求函数y＝ 的最值.
解：y＝ ＝ ＝ + +3
＝-[ + ]+3≤-1+3＝2
当 ＝ 即x＝0时 ， y取得最大值为2.
三、利用导数法求最值
这种方法主要针对三次及三次以上的函数和利用其他方法很难求最值的函数。
例1、设函数f(x)定义在（0， + ）上，f(1)＝0，导函数
f′(x)＝ ，g(x)＝f(x)+f′（x），求g(x)的最小值.
解：由题易知f(x)＝㏑x ， g(x)＝ ㏑x+ （x＞0）
g ′(x)＝ . 令g′(x)＝0 得x＝1
当x∈（0, 1）时，g′(x)＜0
故（0, 1）是g(x)的单调减区间，
当x∈（1, +∞）时，g′(x)＞0
故（1, +∞）是g(x)的单调增区间.
因此x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而也是
g(x)的最小值点.所以g(x)的最小值为g(1)=1
例2、求函数f(x)＝x3-3x2+6x－2 x∈[-1, 1]的最大值和最小值.
解：f′(x)＝3x2－6x+6 令f′(x)＝0 方程无解
而f′(x)＝3x2－6x+6＝3（x－1）2+3＞0
所以函数f(x)在x∈[-1, 1]上是增函数
当x＝-1时f(x)取得最小值为-12
当x＝1时f(x)取得最大值为2
以上就是在高考中根据函数式的特点求函数最值的最基本的方法。此外对于最基本的初等函数我们还可以直接利用它的单调性来求最值，这种情况相对简单不再举例。在实际解题中，除了根据函数式特点选用方法之外，还要注意各种方法之间的相互联系，希望大家在今后的解题中慢慢体会和领悟。