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摘 要：《小学数学课程标准》修订版中，提出了在“解决问题”教学中培养学生的“四能”，即发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。我从四维角度来审视“解决问题”教学中，培养学生“四能”的教学策略，即四维、三维、二维、一维，从具体到抽象，由情入理地解决问题。
关键词：四维；感悟；教学；建模
《小学数学课程标准》修订版中提出了培养学生的“四能”，即发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。感觉这四种能力就是呈逐渐上升、逐渐抽象的金字塔形，学生从感性的认识过渡到抽象的建模，再到创新运用。下面我以“确定起跑线”的教学为例，如何在“解决问题”的教学中用“四维”来制定培养学生“四能”的教学策略。
一、四维感悟——发现、提出问题
在现实生活中，你要从数以万千的信息中，提取自己需要的信息，就需要有一双雪亮的眼睛去发现问题。学生在考试中经常存在这样的情况：给出多余的条件时，就会乱用条件。《课标》修订版也提出：人人学有价值的数学。当学生能够在纷繁复杂的条件中去发现问题、提出问题时，他就学到了有价值的数学。因此，解决问题的教学策略，第一步是要让学生从情境中去感悟，从而发现有用的问题，提出相关的问题。教学时，教师应充分利用教材提供的信息资源，或者利用身边的真实情境，选择恰当的方式展示这些问题情境，就像四维电影一样，给人一个逼真、立体的感性认识；再引导学生从情境中观察、发现、收集数学信息，提出相关的问题，同时培养学生认真观察、从数学角度思考问题的习惯。
我在教学六年级“确定起跑线”一课时，就创设了一个学校举行运动会比赛的情境。同学们参加200米赛跑和400米赛跑，借助多媒体，突显同学们起跑时站的起跑线的位置是不同的。运动会的视频放映结束时，屏幕画面定格在同学们站在不同的起跑线上，让同学们说说刚才有什么发现。有的学生说参赛的几个人没有站在同一条线上起跑，不同的跑道，起跑线是不同的。这是为什么呢？为什么不同跑道的人要站在不同的起跑线上呢？
在这里，我借助孩子们熟悉的运动会情境，引出“200米赛跑和400米赛跑时，终点线相同，为什么不同跑道的人要站在不同的起跑线上”这一问题，化抽象为具体、予枯燥以趣味，使学生体会到数学问题来源于生活问题，带着疑问、带着问题，进入下一个环节的学习。
二、三维建模——分析、解决问题
数学问题的解决，指的是按照一定的思维对策进行的思维过程，一步一步地接近目标，最终达到目标。也就是说，数学领域中的解决问题，不只是关心问题的结果，更重要的是关心求得结果的过程——分析、思考解决数学问题的过程，从而建立数学模型。
在“确定起跑线”的教学中，我不急于告诉学生为什么不同跑道的人要站在不同的起跑线上，而是先让学生计算不同半径的圆的周长，并把计算的结果填入表中。
我跟学生开玩笑说：“地面上有三个大小不同的圆，半径分别是3米、4米、5米，我站在最内圈，请学生A和学生B站在外面两圈，和我比赛跑一圈。”学生A和学生B都不愿意跟老师进行比赛，他们直嚷：“老师，你占便宜。”“为什么呢？”我反问他们。
生A回答：“你的半径只有3米，周长是18.84米。我的半径是4米，周长是25.12米，半径比你长1米，周长比你长6.28米，我要比你多跑6.28米。”
生B回答：“你的半径只有3米，周长是18.84米。我的半径是5米，周长是31.4米，半径比你长2米，周长比你长12.56米，我要比你多跑12.56米。”
师：“你们既然不愿意跟老师进行比赛，那你们比赛一下。谁先跑完一圈？”
学生B也不愿意，他说他要比学生A多跑6.28米。
学生通过图中的数据比较得出，半径增加1米，周长增加6.28米（如下图）。
师：“如果我们跑一圈，（上接第9版）要在同一条终点线结束，能不能在同一条起跑线上起跑呢？”
学生争着说：“不能。学生A要比老师向前移动6.28米，学生B要比学生A再向前移动6.28米。”
学生C补充说：“也就是第二道要比第一道向前移6.28米，第三道要比第二道向前移6.28米。”
师：“6.28米是怎么得到的呢？”
分析到这里，学生已经知道半径不同，周长也就不同，所以不同跑道的人要站在不同的起跑线上，外圈的人要比内圈的人往前一定的距离。我引导学生观察向前移6.28米，跟半径有没有关系，跟两个半径的差有什么关系。学生通过分析比较，建立了模型：向前移动的距离跟两个圆的半径的差（也就是跑道的宽）有关系，外圈圆比内圈圆长了（2π×跑道的宽）米。因此，跑一个圆周时，外圈跑道的人比内圈跑道的人向前移动的长度=2π×跑道的宽。
学生通过计算、分析、归纳、概括，得出的数学模型是层层深入、逐步探索形成的。他们经历了将实际的问题转化成数学模型的过程，更能获得对数学的深刻理解。
三、二维反思——交流、评价问题
我把刚才的圆形跑道切成两半（动态出示），再拉开变成右边的图形，让學生观察：外圈跑道比内圈跑道长了多少米？学生通过教师的直观演示，比较容易地得出：外圈跑道与内圈跑道同时增加了两条直道的长度，所以外圈跑道还是比内圈跑道长了（2π×跑道的宽）米，如果要跑一周，终点线相同，外圈起跑线还是要向前移动（2π×跑道的宽）米。这样就能确定起跑线的位置。
学生建立了模型之后，再回到课本中。“直道的长度是85.96米，第一条半圆形跑道的直径为72.6米，每条跑道宽1.25米。400米跑要跑一圈，每一道的起跑线要比前一道提前多少米？”学生能够运用前面总结出来的模型进行解答，也巩固了刚才所学习的内容。然后再完成课本上面的表格，计算每一道的直径、圆的周长、跑道全长。为了减轻学生的计算量，我让学生用计算器进行计算，再填在课本上，从而验算出刚才自己根据模型计算出来的结果是否正确。
上面整个教学过程，我不让学生先计算各条跑道的长度，就是避免让学生陷入繁杂的计算之间。因此我先设计简单的比较，让学生归纳得出数学模型，再运用数学模型解决课本中的数学问题，学生反而学得轻松，理解透彻，运用自如，而且体验到了成功的喜悦。同时注意让学生进行交流合作，检验、评价自己的解答情况、解答的结果是否正确，让检验过程真正成为学生系统反思和自我评价的过程。
四、一维升华——拓展、创新问题
最后，我们要加强问题的开发性训练，举一反三，鼓励创新。学生已经学会了跑一圈时，外圈的起跑线要比前一圈提前（2π×跑道的宽）米，但如果跑半圈呢？或者跑800米（2圈），怎样确定起跑线呢？如果只跑50米呢？外圈要不要向前移动起跑线？我会问：“你还有什么问题？我们学习了确定起跑线，有什么作用？你能不能使用？”学生可能会说：“下一届校运会，我们可以帮助体育老师画场地，确定起跑线。”学生运用刚才学习的知识拓展了解决变化的问题的途径，拓宽了学生解决问题的思路；教师引导学生把所学的数学知识应用到生活中，解决身边的数学问题，同时培养学生的创新思维，从而达到一维的升华。
通过金字塔式的解决问题的教学，学生对学习数学的兴趣越来越浓，问题意识、数学意识得到进一步增强；通过金字塔式的解决问题的教学，不仅帮助学生学会了用数学思想观察、思考和解决问题，掌握解决问题的方法，还开发了学生的潜能，提高了学生学习的主动性，培养了学生的创新能力；通过金字塔式的解决问题的教学，使学生变得越来越聪明，他们会像下面的图形一样，从一维的创新，升华、超越到另一个新的境界。
关键词：四维；感悟；教学；建模
《小学数学课程标准》修订版中提出了培养学生的“四能”，即发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。感觉这四种能力就是呈逐渐上升、逐渐抽象的金字塔形，学生从感性的认识过渡到抽象的建模，再到创新运用。下面我以“确定起跑线”的教学为例，如何在“解决问题”的教学中用“四维”来制定培养学生“四能”的教学策略。
一、四维感悟——发现、提出问题
在现实生活中，你要从数以万千的信息中，提取自己需要的信息，就需要有一双雪亮的眼睛去发现问题。学生在考试中经常存在这样的情况：给出多余的条件时，就会乱用条件。《课标》修订版也提出：人人学有价值的数学。当学生能够在纷繁复杂的条件中去发现问题、提出问题时，他就学到了有价值的数学。因此，解决问题的教学策略，第一步是要让学生从情境中去感悟，从而发现有用的问题，提出相关的问题。教学时，教师应充分利用教材提供的信息资源，或者利用身边的真实情境，选择恰当的方式展示这些问题情境，就像四维电影一样，给人一个逼真、立体的感性认识；再引导学生从情境中观察、发现、收集数学信息，提出相关的问题，同时培养学生认真观察、从数学角度思考问题的习惯。
我在教学六年级“确定起跑线”一课时，就创设了一个学校举行运动会比赛的情境。同学们参加200米赛跑和400米赛跑，借助多媒体，突显同学们起跑时站的起跑线的位置是不同的。运动会的视频放映结束时，屏幕画面定格在同学们站在不同的起跑线上，让同学们说说刚才有什么发现。有的学生说参赛的几个人没有站在同一条线上起跑，不同的跑道，起跑线是不同的。这是为什么呢？为什么不同跑道的人要站在不同的起跑线上呢？
在这里，我借助孩子们熟悉的运动会情境，引出“200米赛跑和400米赛跑时，终点线相同，为什么不同跑道的人要站在不同的起跑线上”这一问题，化抽象为具体、予枯燥以趣味，使学生体会到数学问题来源于生活问题，带着疑问、带着问题，进入下一个环节的学习。
二、三维建模——分析、解决问题
数学问题的解决，指的是按照一定的思维对策进行的思维过程，一步一步地接近目标，最终达到目标。也就是说，数学领域中的解决问题，不只是关心问题的结果，更重要的是关心求得结果的过程——分析、思考解决数学问题的过程，从而建立数学模型。
在“确定起跑线”的教学中，我不急于告诉学生为什么不同跑道的人要站在不同的起跑线上，而是先让学生计算不同半径的圆的周长，并把计算的结果填入表中。
我跟学生开玩笑说：“地面上有三个大小不同的圆，半径分别是3米、4米、5米，我站在最内圈，请学生A和学生B站在外面两圈，和我比赛跑一圈。”学生A和学生B都不愿意跟老师进行比赛，他们直嚷：“老师，你占便宜。”“为什么呢？”我反问他们。
生A回答：“你的半径只有3米，周长是18.84米。我的半径是4米，周长是25.12米，半径比你长1米，周长比你长6.28米，我要比你多跑6.28米。”
生B回答：“你的半径只有3米，周长是18.84米。我的半径是5米，周长是31.4米，半径比你长2米，周长比你长12.56米，我要比你多跑12.56米。”
师：“你们既然不愿意跟老师进行比赛，那你们比赛一下。谁先跑完一圈？”
学生B也不愿意，他说他要比学生A多跑6.28米。
学生通过图中的数据比较得出，半径增加1米，周长增加6.28米（如下图）。
师：“如果我们跑一圈，（上接第9版）要在同一条终点线结束，能不能在同一条起跑线上起跑呢？”
学生争着说：“不能。学生A要比老师向前移动6.28米，学生B要比学生A再向前移动6.28米。”
学生C补充说：“也就是第二道要比第一道向前移6.28米，第三道要比第二道向前移6.28米。”
师：“6.28米是怎么得到的呢？”
分析到这里，学生已经知道半径不同，周长也就不同，所以不同跑道的人要站在不同的起跑线上，外圈的人要比内圈的人往前一定的距离。我引导学生观察向前移6.28米，跟半径有没有关系，跟两个半径的差有什么关系。学生通过分析比较，建立了模型：向前移动的距离跟两个圆的半径的差（也就是跑道的宽）有关系，外圈圆比内圈圆长了（2π×跑道的宽）米。因此，跑一个圆周时，外圈跑道的人比内圈跑道的人向前移动的长度=2π×跑道的宽。
学生通过计算、分析、归纳、概括，得出的数学模型是层层深入、逐步探索形成的。他们经历了将实际的问题转化成数学模型的过程，更能获得对数学的深刻理解。
三、二维反思——交流、评价问题
我把刚才的圆形跑道切成两半（动态出示），再拉开变成右边的图形，让學生观察：外圈跑道比内圈跑道长了多少米？学生通过教师的直观演示，比较容易地得出：外圈跑道与内圈跑道同时增加了两条直道的长度，所以外圈跑道还是比内圈跑道长了（2π×跑道的宽）米，如果要跑一周，终点线相同，外圈起跑线还是要向前移动（2π×跑道的宽）米。这样就能确定起跑线的位置。
学生建立了模型之后，再回到课本中。“直道的长度是85.96米，第一条半圆形跑道的直径为72.6米，每条跑道宽1.25米。400米跑要跑一圈，每一道的起跑线要比前一道提前多少米？”学生能够运用前面总结出来的模型进行解答，也巩固了刚才所学习的内容。然后再完成课本上面的表格，计算每一道的直径、圆的周长、跑道全长。为了减轻学生的计算量，我让学生用计算器进行计算，再填在课本上，从而验算出刚才自己根据模型计算出来的结果是否正确。
上面整个教学过程，我不让学生先计算各条跑道的长度，就是避免让学生陷入繁杂的计算之间。因此我先设计简单的比较，让学生归纳得出数学模型，再运用数学模型解决课本中的数学问题，学生反而学得轻松，理解透彻，运用自如，而且体验到了成功的喜悦。同时注意让学生进行交流合作，检验、评价自己的解答情况、解答的结果是否正确，让检验过程真正成为学生系统反思和自我评价的过程。
四、一维升华——拓展、创新问题
最后，我们要加强问题的开发性训练，举一反三，鼓励创新。学生已经学会了跑一圈时，外圈的起跑线要比前一圈提前（2π×跑道的宽）米，但如果跑半圈呢？或者跑800米（2圈），怎样确定起跑线呢？如果只跑50米呢？外圈要不要向前移动起跑线？我会问：“你还有什么问题？我们学习了确定起跑线，有什么作用？你能不能使用？”学生可能会说：“下一届校运会，我们可以帮助体育老师画场地，确定起跑线。”学生运用刚才学习的知识拓展了解决变化的问题的途径，拓宽了学生解决问题的思路；教师引导学生把所学的数学知识应用到生活中，解决身边的数学问题，同时培养学生的创新思维，从而达到一维的升华。
通过金字塔式的解决问题的教学，学生对学习数学的兴趣越来越浓，问题意识、数学意识得到进一步增强；通过金字塔式的解决问题的教学，不仅帮助学生学会了用数学思想观察、思考和解决问题，掌握解决问题的方法，还开发了学生的潜能，提高了学生学习的主动性，培养了学生的创新能力；通过金字塔式的解决问题的教学，使学生变得越来越聪明，他们会像下面的图形一样，从一维的创新，升华、超越到另一个新的境界。