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摘要：本文主要探究了高中数学核心素养中对学生数学运算能力的培养，希望能给我们的数学教学带来帮助。
关键词：高中数学；核心素养；数学运算能力；培养
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）01-0037
数学核心素养是指具有数学基本特征的，适应个人终身发展和社会发展的人的关键能力和思维品质。高中数学核心素养主要指：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析这六个方面。其中，涉及高中数学运算素养在课堂培养中需要梳理和明确的有三步，即梳理数学运算常见错误，强化数学运算培养途径，形成数学运算的培养共识。
一、梳理数学运算常见错误
1. 审题出错（看错）
虽然看不懂，没看全，看错字等都是造成审题出错的因素，但缺少审题的步骤和方法也是不容忽视的主要因素。学生通过审题解决三个疑惑：有什么？做什么？怎么做？也就是说要数学运算正确，首先要了解该题的基本情况和答题的基本方向，即首先是要有目标。这体现了数学运算蕴含目标意识。
2. 计算出错（算错）
不少学生对计算能力的内涵缺乏科学认识，常常将计算过程中的錯误原因归结到非智力因素上，认为是“马虎”“粗心”“不注意”才造成计算错误。但是失之毫厘，差之千里。他们总是只看重解题过程中的方法和思路，对计算的具体实施，对计算过程中的合理性、简洁性等都没有给出足够的重视。久而久之，慢慢地就造成了一算就错的尴尬境地。造成错误的主要原因虽有基础性的问题，但缺少规则（规范）意识也是一个主要原因。这体现了数学运算蕴含规则意识。
3. 答案写错（写错）
虽计算等环节正确，但抄错、写错答案也是使运算出错的致命环节，造成这类错误的主要原因是身体疲劳，数字书写不规范这两个方面。对于减少第一个错误的方法就需要强身健体（平时注意身体素质的提升），对于减少第二个错误的方法就需要规范字的书写，这就体现了数学运算需要蕴含强体质意识、写规范字的意识。
4. 方向出错（弄错）
如果说前三种出错是细微是偶然，那么解题方案理解出错是方向性错误，犹如一艘迷航的船，永远达不到目的地，这是颠覆性和毁灭性的。造成方向性出错的主要原因是一些想当然的坏习惯造成的，如三角函数的正弦函数y=Asin（xω φ）的振幅，有的理解是A，有的理解2A，这就体现了数学运算蕴含方向意识。
二、强化运算能力培养途径
1. 理解概念夯实运算根基
概念教育的重要性不言而喻，并且现行高中教学改革和教学考试考查中对于概念的理解和把握越来越引起广泛的重视。根深之树不易折，泉深之水不会涸。准确理解概念是取得数学运算成功的重要根基，而学生许多错误的原因主要是概念理解出错，或者概念理解不全。因此，在课堂上就需要把概念讲清讲透，通过举一反三，强化学生对概念的理解。如在2015年浙江理高考试题第7题：存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A. f（sin2x）=sin（x） B. f（sin2x）=x2 x
C. f（x2 1）=|x 1| D. f（x2 2x）=|x 1|
这个试题的考查就是需要在课堂上落实函数概念教学，这样的考查应该说使考试更具有公平性，给教师和学生一个公平的机会，如果课堂上能准确落实概念教学的教师，那么学生就多了一份可能和胜算。
2. 错错得正巩固运算经验
数学运算中有“负负得正”的运算律，对于学生运算发生错误，教师也要有这样的一种心态，要给学生产生错误的机会，让学生知道出错了，也能知道发生错误的原因，实践出真知，通过一次次的出错，让学生慢慢得出正确的运算方法和运算结论。正如陆游的一首教子诗：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”
3. 优化策略指明运算方向
运算策略是取得运算成功的重要条件，好比作战中的参谋部，可以为运算提供最直接、最有效的运算方向和运算步骤，其重要性不言而喻。如分类讨论虽然是一种很好的数学思想方法，但若能合理避免分类讨论那就是一种更高的境界；从哲学辩证的角度如果能注意克服动辄加以分类讨论的思维定势，并能充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和单一性，尽力打破常规，对应该讨论的正确讨论，对不必讨论的问题能避免分类讨论，就可以很大程度上优化学生的思维品质。这就是分类讨论的一个基本要求：“用之有度、避之有法”。下面举“消除参数，避免讨论”一例进行说明：对于含参问题若能有效回避参数，运用正难则反、等价转化等手段可以使问题的解决与参数的讨论无关，避开对参数的繁琐讨论。
例：已知适合不等式|x2-4x p| |x-3|≤5的x的最大值为3，求p的值。
分析：本题的第一感觉是去绝对值讨论不等式组的解的最大值，显然去绝对值和后面的分类讨论过程都相当繁琐，计算复杂。不妨回避讨论：由不等式的最大值为3，知道整数“3”是不等式解的一个端点值这一重要信息，利用不等式的性质可把参数问题具体化。
解析：由已知不等式的性质知“3”是不等式解的一个端点值。
“3”是方程|x2-4x p| |x-3|≤5的一个解，带入得p=8或p=-2，
当p=8时，不等式为|x2-4x p| |x-3|≤5的，
∵x2-4x 8>0，∴x≥3x2-4x-8 x-3≤5或x<3x2-4x-8 x-3≤5
2≤x≤3，满足题意
当p=-2时，不等式为|x2-4x-2| |x-3|≤5，
易知5是不等式的解，故x的解肯定大于3，不满足题意，∴p=8。
4. 强化计算提升运算速度
计算是数学运算不可逾越的基本功，提高计算能力首先要避免计算上的错误，而课堂又是培养学生计算能力的重要场地，在课堂上若能借助适当的计算，特别是全员参与的限时计算或竞技计算，对于提高学生的计算能力和纠正计算常见错误十分有效。因为课堂计算是实战计算，是限时计算，是比较计算，（上接第37页）与课后计算有明顯的区别，若能有效运用课堂计算对于提高学生的运算水平十分有益。 5. 一题多解提供运算通途
一题多解是提高学生运算水平和运算能力的有效途径，在课堂上若能借助学生的思维对一些问题进行多解研讨和研究，就可以有效拓展学生对于数学运算和数学知识的认识与理解。如关于不等式性质（同乘性）的讲解中，若能给学生机会，让学生讲讲不同的想法，那就会有下面至少五种不同的方案：
例1. 已知0 证明：1（巧用）因为01，■>1因此有■>1，又ac>0，即有ac 证明2：（换元法）不妨设b=a m，d=c n（m>0，n>0），则有bd=（a m）（b n）=ab nm mb na，因此有bd-ac=nm mb na>0，即有ac 证明3：（传递性）因为0 证明4：（作差法）对于ac-bd=ac-ad ad-bd=a（c-d） d（a-b），
因c-d<0，a-b<0，而a>0，d>0，ac-bd<0，∴ac 证明5：（对数法）因lga 因此有ac 这样一题多解既可以加深学生对不等式基本性质的理解，加深对基本不等式性质的应用，也有利于让学生体现数学知识对于解决数学运算问题中的普通性和通用性。
三、形成数学运算培养共识
就数学而言，核心素养的内涵是核心知识、核心能力、核心品质，“十围之木持千钧之屋，五寸之键制阖之门”，数学运算作为数学核心素养就是那“十围之木，五寸之键”，它是十分关键、十分重要、不可缺少的数学素养。数学运算的课堂培养需要学校、师生形成一个通识，从价值引领、思维启迪、品格塑造三大核心任务入手，形成师生协力强化课堂训练，教师着力推进教法改进，学生用力促成习惯养成的培养意识。
1. 师生协力强化课堂练习
课堂练习是数学课堂教学的重要组成部分，是学生学习过程中不可缺少的重要环节，是学生掌握数学知识，形成技能，发展智力的重要手段，是教师了解学生知识掌握情况的主要途径。要培养学生的运算能力，就要特别重视课堂练习，数学运算能力提高的主阵地主要是课堂。落实运算能力培养的有效载体就是课堂练习，课堂练习正确的可以激发学生的兴趣，而错误的也可以适当引导，使其愈挫愈勇。当然，课堂训练不能让教师演示替代，更不能事不关己、高高挂起，课堂练习不但要有目标，而且需要有梯度，这样数学运算能力才能真正得以提升。
2. 教师着力推进教法改进
教学改进就需要超越表层的符号教学，由符号教学向深层次的逻辑教学和意义教学进军。而运算问题一直以来都是提高数学成绩的瓶颈，教师的课堂教学方法也不容忽视，这就需要教师不断的探索和改变教学方法，发挥教师应有的示范性和引领性。如教师在板书时既要讲知识也要指导学生如何计算，教给学生基本的方法，有针对性地给一些训练计算能力的练习题，要求他们要心算，也要筆算，即使是草稿也要整洁，因为草稿不是“潦草”。
3. 学生用力促成习惯养成
思想上重视，行动上落实，习惯上强化，一般性的目标一定可以实现。数学运算能力的培养也是一样，数学运算良好意识的养成，需要一個过程，而形成的关键是时间，因为根据美国科学家研究表明，一个好习惯、好意识的养成需要21天，90天的重复会形成稳定的习惯或意识，所以一个观念，如果被别人或自己验证两1次以上，它一定会形成你的信念或意识。例如采用《错题本》（课堂和课外结合）收集错误问题，巩固避错经验，做到“有目标、能坚持”，那么提升数学运算能力和水平亦是指日可待。正所谓静待花开，芬芳自来。
（作者单位：山东省济宁高新区第二高级中学 272000）
关键词：高中数学；核心素养；数学运算能力；培养
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）01-0037
数学核心素养是指具有数学基本特征的，适应个人终身发展和社会发展的人的关键能力和思维品质。高中数学核心素养主要指：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析这六个方面。其中，涉及高中数学运算素养在课堂培养中需要梳理和明确的有三步，即梳理数学运算常见错误，强化数学运算培养途径，形成数学运算的培养共识。
一、梳理数学运算常见错误
1. 审题出错（看错）
虽然看不懂，没看全，看错字等都是造成审题出错的因素，但缺少审题的步骤和方法也是不容忽视的主要因素。学生通过审题解决三个疑惑：有什么？做什么？怎么做？也就是说要数学运算正确，首先要了解该题的基本情况和答题的基本方向，即首先是要有目标。这体现了数学运算蕴含目标意识。
2. 计算出错（算错）
不少学生对计算能力的内涵缺乏科学认识，常常将计算过程中的錯误原因归结到非智力因素上，认为是“马虎”“粗心”“不注意”才造成计算错误。但是失之毫厘，差之千里。他们总是只看重解题过程中的方法和思路，对计算的具体实施，对计算过程中的合理性、简洁性等都没有给出足够的重视。久而久之，慢慢地就造成了一算就错的尴尬境地。造成错误的主要原因虽有基础性的问题，但缺少规则（规范）意识也是一个主要原因。这体现了数学运算蕴含规则意识。
3. 答案写错（写错）
虽计算等环节正确，但抄错、写错答案也是使运算出错的致命环节，造成这类错误的主要原因是身体疲劳，数字书写不规范这两个方面。对于减少第一个错误的方法就需要强身健体（平时注意身体素质的提升），对于减少第二个错误的方法就需要规范字的书写，这就体现了数学运算需要蕴含强体质意识、写规范字的意识。
4. 方向出错（弄错）
如果说前三种出错是细微是偶然，那么解题方案理解出错是方向性错误，犹如一艘迷航的船，永远达不到目的地，这是颠覆性和毁灭性的。造成方向性出错的主要原因是一些想当然的坏习惯造成的，如三角函数的正弦函数y=Asin（xω φ）的振幅，有的理解是A，有的理解2A，这就体现了数学运算蕴含方向意识。
二、强化运算能力培养途径
1. 理解概念夯实运算根基
概念教育的重要性不言而喻，并且现行高中教学改革和教学考试考查中对于概念的理解和把握越来越引起广泛的重视。根深之树不易折，泉深之水不会涸。准确理解概念是取得数学运算成功的重要根基，而学生许多错误的原因主要是概念理解出错，或者概念理解不全。因此，在课堂上就需要把概念讲清讲透，通过举一反三，强化学生对概念的理解。如在2015年浙江理高考试题第7题：存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A. f（sin2x）=sin（x） B. f（sin2x）=x2 x
C. f（x2 1）=|x 1| D. f（x2 2x）=|x 1|
这个试题的考查就是需要在课堂上落实函数概念教学，这样的考查应该说使考试更具有公平性，给教师和学生一个公平的机会，如果课堂上能准确落实概念教学的教师，那么学生就多了一份可能和胜算。
2. 错错得正巩固运算经验
数学运算中有“负负得正”的运算律，对于学生运算发生错误，教师也要有这样的一种心态，要给学生产生错误的机会，让学生知道出错了，也能知道发生错误的原因，实践出真知，通过一次次的出错，让学生慢慢得出正确的运算方法和运算结论。正如陆游的一首教子诗：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”
3. 优化策略指明运算方向
运算策略是取得运算成功的重要条件，好比作战中的参谋部，可以为运算提供最直接、最有效的运算方向和运算步骤，其重要性不言而喻。如分类讨论虽然是一种很好的数学思想方法，但若能合理避免分类讨论那就是一种更高的境界；从哲学辩证的角度如果能注意克服动辄加以分类讨论的思维定势，并能充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和单一性，尽力打破常规，对应该讨论的正确讨论，对不必讨论的问题能避免分类讨论，就可以很大程度上优化学生的思维品质。这就是分类讨论的一个基本要求：“用之有度、避之有法”。下面举“消除参数，避免讨论”一例进行说明：对于含参问题若能有效回避参数，运用正难则反、等价转化等手段可以使问题的解决与参数的讨论无关，避开对参数的繁琐讨论。
例：已知适合不等式|x2-4x p| |x-3|≤5的x的最大值为3，求p的值。
分析：本题的第一感觉是去绝对值讨论不等式组的解的最大值，显然去绝对值和后面的分类讨论过程都相当繁琐，计算复杂。不妨回避讨论：由不等式的最大值为3，知道整数“3”是不等式解的一个端点值这一重要信息，利用不等式的性质可把参数问题具体化。
解析：由已知不等式的性质知“3”是不等式解的一个端点值。
“3”是方程|x2-4x p| |x-3|≤5的一个解，带入得p=8或p=-2，
当p=8时，不等式为|x2-4x p| |x-3|≤5的，
∵x2-4x 8>0，∴x≥3x2-4x-8 x-3≤5或x<3x2-4x-8 x-3≤5
2≤x≤3，满足题意
当p=-2时，不等式为|x2-4x-2| |x-3|≤5，
易知5是不等式的解，故x的解肯定大于3，不满足题意，∴p=8。
4. 强化计算提升运算速度
计算是数学运算不可逾越的基本功，提高计算能力首先要避免计算上的错误，而课堂又是培养学生计算能力的重要场地，在课堂上若能借助适当的计算，特别是全员参与的限时计算或竞技计算，对于提高学生的计算能力和纠正计算常见错误十分有效。因为课堂计算是实战计算，是限时计算，是比较计算，（上接第37页）与课后计算有明顯的区别，若能有效运用课堂计算对于提高学生的运算水平十分有益。 5. 一题多解提供运算通途
一题多解是提高学生运算水平和运算能力的有效途径，在课堂上若能借助学生的思维对一些问题进行多解研讨和研究，就可以有效拓展学生对于数学运算和数学知识的认识与理解。如关于不等式性质（同乘性）的讲解中，若能给学生机会，让学生讲讲不同的想法，那就会有下面至少五种不同的方案：
例1. 已知0
因c-d<0，a-b<0，而a>0，d>0，ac-bd<0，∴ac
三、形成数学运算培养共识
就数学而言，核心素养的内涵是核心知识、核心能力、核心品质，“十围之木持千钧之屋，五寸之键制阖之门”，数学运算作为数学核心素养就是那“十围之木，五寸之键”，它是十分关键、十分重要、不可缺少的数学素养。数学运算的课堂培养需要学校、师生形成一个通识，从价值引领、思维启迪、品格塑造三大核心任务入手，形成师生协力强化课堂训练，教师着力推进教法改进，学生用力促成习惯养成的培养意识。
1. 师生协力强化课堂练习
课堂练习是数学课堂教学的重要组成部分，是学生学习过程中不可缺少的重要环节，是学生掌握数学知识，形成技能，发展智力的重要手段，是教师了解学生知识掌握情况的主要途径。要培养学生的运算能力，就要特别重视课堂练习，数学运算能力提高的主阵地主要是课堂。落实运算能力培养的有效载体就是课堂练习，课堂练习正确的可以激发学生的兴趣，而错误的也可以适当引导，使其愈挫愈勇。当然，课堂训练不能让教师演示替代，更不能事不关己、高高挂起，课堂练习不但要有目标，而且需要有梯度，这样数学运算能力才能真正得以提升。
2. 教师着力推进教法改进
教学改进就需要超越表层的符号教学，由符号教学向深层次的逻辑教学和意义教学进军。而运算问题一直以来都是提高数学成绩的瓶颈，教师的课堂教学方法也不容忽视，这就需要教师不断的探索和改变教学方法，发挥教师应有的示范性和引领性。如教师在板书时既要讲知识也要指导学生如何计算，教给学生基本的方法，有针对性地给一些训练计算能力的练习题，要求他们要心算，也要筆算，即使是草稿也要整洁，因为草稿不是“潦草”。
3. 学生用力促成习惯养成
思想上重视，行动上落实，习惯上强化，一般性的目标一定可以实现。数学运算能力的培养也是一样，数学运算良好意识的养成，需要一個过程，而形成的关键是时间，因为根据美国科学家研究表明，一个好习惯、好意识的养成需要21天，90天的重复会形成稳定的习惯或意识，所以一个观念，如果被别人或自己验证两1次以上，它一定会形成你的信念或意识。例如采用《错题本》（课堂和课外结合）收集错误问题，巩固避错经验，做到“有目标、能坚持”，那么提升数学运算能力和水平亦是指日可待。正所谓静待花开，芬芳自来。
（作者单位：山东省济宁高新区第二高级中学 272000）