论文部分内容阅读
【摘要】《义务教育数学课程标准（2011版）》中指出，数学思考是学生进行数学学习的核心，是数学教学中最有价值的行为。2016年中国学生发展核心素养研究成果发布，培养学生数学核心素养的目标和途径是学会数学思考。本文以数学二年级上册“数学广角——简单的排列”为例，从六个方面：情境，引发数学思考；问题，诱发数学思考；探究，迸发数学思考；留白，深入数学思考；交流，提升数学思考；拓展，延伸数学思考来谈谈数学课堂应为数学思考而教。
【关键词】 数学思考；发展；教学
《义务教育数学课程标准（2011版）解读》中指出，数学思考是学生进行数学学习的核心，是数学教学中最有价值的行为，引发数学思考是数学课堂教学中最需要做的事之一。2016年中国学生发展核心素养研究成果发布，核心素养成了新一轮课程改革中的方向标，引领课程改革，而培养学生数学核心素养的目标和途径是学会数学思考。
数学思考，就是在面临各种现实的问题情境，能够从数学的角度去思考问题，能够发现其中所存在的数学现象并运用数学知识与方法去解决问题。良好的数学教育不仅是传承，更应该是创新，让学生在亲历中学会数学地思考问题，从而发展思维能力，提升理性思维。笔者以数学二年级上册“数学广角——简单排列”为例，谈谈在数学课堂教学中如何关注学生数学思考的发展，积极地实践为数学思考而教。
一、情境，引发数学思考
教育家叶圣陶先生曾说：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要靠老师的善于运用。”我们可以这样理解，对于教材的处理，教师要从学生实际出发，深入研读教材，盘活教材，对教材知识进行重组和整合，变“教材”为“学材”，真正体现“以生为本”。教师由此而创设的情境，必能引发学生数学思考的开启。
本节课教学重点为：经历探索找简单数排列的过程；教学难点为：进行有序、全面思考找出实际问题的排列数。为突破重难点，设计环环相扣的四个环节。
环节一：始动——经验引入。在地图中找家乡温岭市，用红、蓝两种颜色给温岭和相邻的路桥涂上不同的颜色。
环节二：探究——引导建构。（1）增加一种颜色黄色，从红、黄、蓝三种颜色中选出两种颜色，给两个地区涂上不同的颜色；（2）把颜色换成数学1、2、3，把温岭和路桥换成十位和个位，用1、2和3组成两位数。
环节三：应用——提高能力。三人站成一排合影（用字母A、B、C等其他符号记录），有几种站法？
环节四：拓展——联系生活。规划中的台州市轨道交通一号线，假如温岭到椒江只有途经路桥，往返需几种车票？
重组整合后的“学材”，来源于学生的生活，数学问题置身于生活情境之中，每一个情境都是生动的、有趣的，且层层递进，引发学生从数学的角度看待问题、思考问题、解决问题，帮助学生体验有序、全面思考这一数学思想方法，进而利于落实教学目标。
二、问题，诱发数学思考
孔子说过：“学起于思，思源于疑。”问题是数学的心脏，问题是促进数学思考的客观因素。教师要认真创设具有新颖性、挑战性和可行性的问题情境，激起学生思维的波澜，诱发学生的数学思考。
教师设计课堂提问，应着眼于学习过程中所要解决的核心问题而分层次地创设出一系列的问题，由易到难，环环相扣，层层深入。
本节课，细数问题，除去必要的交流提问，只有以下几个关键问题：
问题一：用红、蓝两种颜色在地图中给温岭和路桥涂上不同的颜色，可以怎么涂？
问题二：从红、黄、蓝三种颜色中选出两种颜色，给两个地区涂上不同的颜色，有几种不同的涂法？
问题三：用1、2和3組成两位数，每个两位数的十位上的数字和个位上的数字不能一样，能组成几个不同的两位数？
问题四：三人站成一排合影，有几种站法？（为了方便记录，我们用字母A来表示爷爷，字母B来表示爸爸，字母C来表示儿子或用其他符号表示。）
问题五：规划中的台州市轨道交通一号线。假如温岭到椒江只有途经路桥，请问往返需几种车票？
问题六：你喜欢哪一种方法？为什么？
问题七：我们解决了地图涂色问题等问题，有什么相同的地方？
在问题的设置中，真正做到：“易行”，把复杂问题分散到各个环节中，复杂问题分散化，简单化，层次化；“精准”，所提的问题少而有用，准而明确，提在要探究、要解决的重难点处；“向导”，问题具有方向性和引导性，由浅入深，循序渐进，学生在解决一系列的问题后自然达到我们要的目标。本课巧借问题而如期达成，几个关键问题，为学生的思考指明了方向，诱发了学生的数学思考。
三、探究，迸发数学思考
数学课堂，不只是学生获取知识，更重要的是发展学生们的思维能力，促进学生的数学思考。而自主探究学习，就是实现这一目标的重要学习方式。学生自己的认识水平和已有的知识经验的基础上，在教师的精心指导和帮助下，通过自己的独立探索或合作交流，从而获取知识、发现数学本质、发展数学思维的过程。
因此，教师应该在课堂中给予学生充分探究的机会，调动学生参与活动的积极性，发挥学生自主探究的能动性。让学生在探究中自主学习，在探究中质疑问难，在探究中寻找快乐。
自主探究是本节课学生主要的学习方式，针对本节课设计的第二、三、四环节，设计四个探究活动，分别为：我会涂、我会写、我会排、我会画。
课堂中，始终重视学生的主体地位，借助教师精心设计的涂颜色、写数字、排位置、画路线等活动，通过独立思考、自主探究、动手实践而迸发数学思考、获得知识技能，而得到全面发展。
四、留白，深入数学思考
留白来源于绘画艺术形式，其实数学教学也可借鉴留白手法，给学生呼吸的“气眼”，数学思考才能灵动生长，枝繁叶茂。 时下许多课堂，当教师提出问题后，常常让一部分马上举手的尖子生回答，而绝大部分学生还没有好好思考。这样的教学是不可能培养多数学生的思考力的。因此，学生在思考时，需要老师在课堂中耐心等待，不要急于把问题的思路给学生，不要轻易肯定或否定学生的想法，而要留给学生思考的时间和空间。这样学生才能深入数学思考，生成新的智慧。
教学片段：
师：（出示图1）用红、蓝两种颜色给温岭和路桥这两个地区涂上不同的颜色，可以怎么涂？
学生举手踊跃，师指名回答：给温岭涂红色，给路桥涂蓝色；也可以给温岭涂蓝色，路桥涂红色。
师：老师把你们的方法展示出来（课件播放）。
小结：是的，用红蓝两种颜色，交换位置，就形成两种不同的涂法。
如果再增加一种颜色：黄色。
读题：从红、黄、蓝三种颜色中选出两种颜色，给两个地区涂上不同的颜色，有几种不同的涂法？
学生举手，师：不着急说，我们先来涂一涂。拿出作业纸和水彩笔，在第一题“我会涂”中涂一涂。（图2）
图1作为始动——经验引入环节，问题简单，在学生片刻思考后，即指名口头回答；图片2作为探究——引导建构环节，处理方式和图1完全不同。问题一出，学生兴趣高涨，马上有学生举手（这时，学生的答案猜测的为多），但教师不急于让学生回答，而是静候越来越多的学生举手，留给学生独立思考、自由思考的空间。然后出示（图2）让学生在作业纸中涂一涂，学生在教师留给的时间里充分暴露自己的思维过程，也为接下来的方法展示提供了充分的素材。
五、交流，提升数学思考
数学交流是学生把内部思考转变为外部语言的一条重要途径，更是学生进行有效学习的一种手段。在数学交流过程中，学生能够表达自己的思维方法及过程，可以组织和强化自己的数学思考，可理清数学思考的过程，巩固数学思考的结果；同时，通过思考他人的想法，相互启发、相互认可，丰富和扩展自己的知识和思维，深化对数学知识的理解。
1.畅所欲言
教师应在课堂教学中积极创设数学交流的环境，让学生将自己的思考教程用数学语言、数学符号通过口头或书面表达出来，从而促进学生数学思考能力的提高。
在每个活动后，我都让学生来表达自己的想法，“你有什么想说的？”“请你和大家分享一下你的想法。”“有没有不同的方法？”“谁愿意带着自己的作品上台向大家展示下？”“听明白了吗？谁也能像他这样说一说？”
当学生把想法呈现给其他学生的时候，教师给的是等待，让他们充分表达自己的思维。当学生通过语言交流再现数学思考，处于混沌状态的数学思考才能逐渐明晰起来，从而促进了学生数学思考的提高，创造性思维能力的发展；而其他学生在用耳去辨析的过程中也有所收获。
2.及时点拨
小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维发展。随着学生的经验积累，隐藏在数学知识后面的多种方法就会逐渐引起学生的注意和思索，但因学生的思维能力原因，需要教师根据教学的需要，巧妙地运用点拨，进行正面突破，对数学思想方法进行提炼。
【教学片断】
老师收集了几幅典型作品，我们来欣赏一下。
1.无序。
问：你有什么发现？（重复）有没有遗漏？ 板书：重复、遗漏。
2.确定位置法。
师：这是谁的作品？请你来表达一下想法。我们按照他的想法来贴一贴。（用磁铁片在黑板上贴）
3.交换位置法。
师：这是谁的作品？请你和大家分享一下你的想法。我们按照他的想法来贴一贴。（用磁铁片在黑板上贴）
师：有没有不同方法？（如有，据实归为1、2、3种方法。）
师：这三种方法你喜欢哪一种？你为什么喜欢第二种和第三种？
板书：有序思考——不重复、不遗漏。
给有序的两种方法取名。
回过头来看第一种有没有遗漏？
“这三种方法你喜欢哪一种？你为什么喜欢第二种和第三种？”看似随意的问题，为学生指点迷津，拨开疑雾，水到渠成地引出本节课的数学思想方法：有序思考，促进学生由感性认识上升为理性思考，实现知识与能力的双重转化。
“给有序的两种方法取名”，正面地、直截了当地点明“确定位置法”和“交换位置法”，为后续的一系列活动指明了方向。
【拓展，延伸数学思考】
特级教师闫学曾说过：“好课是一道芬芳、幽远的茶。”合理拓展课堂教学内容，沟通数学知识与大千世界的联系，让学生在更广阔的数学天地中解决问题，体验成功，创生思维，提升学习品质。
教学中，只要我们克服随意性、盲目性，围绕教学内容，针对教学重点，客观分析学情，精选内容，凸显自主性、创新性，对课堂教学进行有效拓展，既丰富了课程内容资源，又为发展学生的数学思考服务，最终达到发展思维、提高数学素养的目的。
本课的最后一个活动：拓展——联系生活，我是这样设计的。
（1）我们的家乡在不断地发展。按照台州市规划，椒江至温岭的台州市轨道交通一号线已通过评审， 规划中的一号线北起椒江外沙，南至温岭南屏，连通椒江、路桥、温岭三地。假如温岭到椒江只有途经路桥，请问往返需几种车票？（在操作纸中画一画，后交流反馈，总结有序思考的方法：确定位置法和交换位置法。）
（2）知识链接：地图四色→课前的无色到彩色。（课件演示）
这样的活动与学生现实生活有密切联系，是学生感兴趣的内容；立足于教学实际，围绕教学重难点，实现了知识与生活和儿童认知世界的交汇，是有效的课堂教学拓展。解决问题时，是有序、全面思考的辐射和延续；是方法运用的深化和提高。
总之，我们的数学课堂，要创设引发学生数学思考的良好情境，要设计诱发学生数学思考的关键问题，要开展迸发学生数学思考的探究活动，要留给学生深入数学思考的时间和空间，要给足提升数学思考的交流机会，要增加延伸数学思考的拓展内容，真正使我们的孩子受到良好的数学教育，形成良好的数学素养。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.小学数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]刘娟娟.数学思考：学生必备的数学核心素养[J].教育研究与评论：小学教育数学，2017（06）.
[3]张孝天.新思维数学教学研究[M]. 浙江教育出版社，2008.
[4]陶芳.对“数学思考”的思考[J]. 教育研究與评论：小学教育数学，2015（08）.
【关键词】 数学思考；发展；教学
《义务教育数学课程标准（2011版）解读》中指出，数学思考是学生进行数学学习的核心，是数学教学中最有价值的行为，引发数学思考是数学课堂教学中最需要做的事之一。2016年中国学生发展核心素养研究成果发布，核心素养成了新一轮课程改革中的方向标，引领课程改革，而培养学生数学核心素养的目标和途径是学会数学思考。
数学思考，就是在面临各种现实的问题情境，能够从数学的角度去思考问题，能够发现其中所存在的数学现象并运用数学知识与方法去解决问题。良好的数学教育不仅是传承，更应该是创新，让学生在亲历中学会数学地思考问题，从而发展思维能力，提升理性思维。笔者以数学二年级上册“数学广角——简单排列”为例，谈谈在数学课堂教学中如何关注学生数学思考的发展，积极地实践为数学思考而教。
一、情境，引发数学思考
教育家叶圣陶先生曾说：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要靠老师的善于运用。”我们可以这样理解，对于教材的处理，教师要从学生实际出发，深入研读教材，盘活教材，对教材知识进行重组和整合，变“教材”为“学材”，真正体现“以生为本”。教师由此而创设的情境，必能引发学生数学思考的开启。
本节课教学重点为：经历探索找简单数排列的过程；教学难点为：进行有序、全面思考找出实际问题的排列数。为突破重难点，设计环环相扣的四个环节。
环节一：始动——经验引入。在地图中找家乡温岭市，用红、蓝两种颜色给温岭和相邻的路桥涂上不同的颜色。
环节二：探究——引导建构。（1）增加一种颜色黄色，从红、黄、蓝三种颜色中选出两种颜色，给两个地区涂上不同的颜色；（2）把颜色换成数学1、2、3，把温岭和路桥换成十位和个位，用1、2和3组成两位数。
环节三：应用——提高能力。三人站成一排合影（用字母A、B、C等其他符号记录），有几种站法？
环节四：拓展——联系生活。规划中的台州市轨道交通一号线，假如温岭到椒江只有途经路桥，往返需几种车票？
重组整合后的“学材”，来源于学生的生活，数学问题置身于生活情境之中，每一个情境都是生动的、有趣的，且层层递进，引发学生从数学的角度看待问题、思考问题、解决问题，帮助学生体验有序、全面思考这一数学思想方法，进而利于落实教学目标。
二、问题，诱发数学思考
孔子说过：“学起于思，思源于疑。”问题是数学的心脏，问题是促进数学思考的客观因素。教师要认真创设具有新颖性、挑战性和可行性的问题情境，激起学生思维的波澜，诱发学生的数学思考。
教师设计课堂提问，应着眼于学习过程中所要解决的核心问题而分层次地创设出一系列的问题，由易到难，环环相扣，层层深入。
本节课，细数问题，除去必要的交流提问，只有以下几个关键问题：
问题一：用红、蓝两种颜色在地图中给温岭和路桥涂上不同的颜色，可以怎么涂？
问题二：从红、黄、蓝三种颜色中选出两种颜色，给两个地区涂上不同的颜色，有几种不同的涂法？
问题三：用1、2和3組成两位数，每个两位数的十位上的数字和个位上的数字不能一样，能组成几个不同的两位数？
问题四：三人站成一排合影，有几种站法？（为了方便记录，我们用字母A来表示爷爷，字母B来表示爸爸，字母C来表示儿子或用其他符号表示。）
问题五：规划中的台州市轨道交通一号线。假如温岭到椒江只有途经路桥，请问往返需几种车票？
问题六：你喜欢哪一种方法？为什么？
问题七：我们解决了地图涂色问题等问题，有什么相同的地方？
在问题的设置中，真正做到：“易行”，把复杂问题分散到各个环节中，复杂问题分散化，简单化，层次化；“精准”，所提的问题少而有用，准而明确，提在要探究、要解决的重难点处；“向导”，问题具有方向性和引导性，由浅入深，循序渐进，学生在解决一系列的问题后自然达到我们要的目标。本课巧借问题而如期达成，几个关键问题，为学生的思考指明了方向，诱发了学生的数学思考。
三、探究，迸发数学思考
数学课堂，不只是学生获取知识，更重要的是发展学生们的思维能力，促进学生的数学思考。而自主探究学习，就是实现这一目标的重要学习方式。学生自己的认识水平和已有的知识经验的基础上，在教师的精心指导和帮助下，通过自己的独立探索或合作交流，从而获取知识、发现数学本质、发展数学思维的过程。
因此，教师应该在课堂中给予学生充分探究的机会，调动学生参与活动的积极性，发挥学生自主探究的能动性。让学生在探究中自主学习，在探究中质疑问难，在探究中寻找快乐。
自主探究是本节课学生主要的学习方式，针对本节课设计的第二、三、四环节，设计四个探究活动，分别为：我会涂、我会写、我会排、我会画。
课堂中，始终重视学生的主体地位，借助教师精心设计的涂颜色、写数字、排位置、画路线等活动，通过独立思考、自主探究、动手实践而迸发数学思考、获得知识技能，而得到全面发展。
四、留白，深入数学思考
留白来源于绘画艺术形式，其实数学教学也可借鉴留白手法，给学生呼吸的“气眼”，数学思考才能灵动生长，枝繁叶茂。 时下许多课堂，当教师提出问题后，常常让一部分马上举手的尖子生回答，而绝大部分学生还没有好好思考。这样的教学是不可能培养多数学生的思考力的。因此，学生在思考时，需要老师在课堂中耐心等待，不要急于把问题的思路给学生，不要轻易肯定或否定学生的想法，而要留给学生思考的时间和空间。这样学生才能深入数学思考，生成新的智慧。
教学片段：
师：（出示图1）用红、蓝两种颜色给温岭和路桥这两个地区涂上不同的颜色，可以怎么涂？
学生举手踊跃，师指名回答：给温岭涂红色，给路桥涂蓝色；也可以给温岭涂蓝色，路桥涂红色。
师：老师把你们的方法展示出来（课件播放）。
小结：是的，用红蓝两种颜色，交换位置，就形成两种不同的涂法。
如果再增加一种颜色：黄色。
读题：从红、黄、蓝三种颜色中选出两种颜色，给两个地区涂上不同的颜色，有几种不同的涂法？
学生举手，师：不着急说，我们先来涂一涂。拿出作业纸和水彩笔，在第一题“我会涂”中涂一涂。（图2）
图1作为始动——经验引入环节，问题简单，在学生片刻思考后，即指名口头回答；图片2作为探究——引导建构环节，处理方式和图1完全不同。问题一出，学生兴趣高涨，马上有学生举手（这时，学生的答案猜测的为多），但教师不急于让学生回答，而是静候越来越多的学生举手，留给学生独立思考、自由思考的空间。然后出示（图2）让学生在作业纸中涂一涂，学生在教师留给的时间里充分暴露自己的思维过程，也为接下来的方法展示提供了充分的素材。
五、交流，提升数学思考
数学交流是学生把内部思考转变为外部语言的一条重要途径，更是学生进行有效学习的一种手段。在数学交流过程中，学生能够表达自己的思维方法及过程，可以组织和强化自己的数学思考，可理清数学思考的过程，巩固数学思考的结果；同时，通过思考他人的想法，相互启发、相互认可，丰富和扩展自己的知识和思维，深化对数学知识的理解。
1.畅所欲言
教师应在课堂教学中积极创设数学交流的环境，让学生将自己的思考教程用数学语言、数学符号通过口头或书面表达出来，从而促进学生数学思考能力的提高。
在每个活动后，我都让学生来表达自己的想法，“你有什么想说的？”“请你和大家分享一下你的想法。”“有没有不同的方法？”“谁愿意带着自己的作品上台向大家展示下？”“听明白了吗？谁也能像他这样说一说？”
当学生把想法呈现给其他学生的时候，教师给的是等待，让他们充分表达自己的思维。当学生通过语言交流再现数学思考，处于混沌状态的数学思考才能逐渐明晰起来，从而促进了学生数学思考的提高，创造性思维能力的发展；而其他学生在用耳去辨析的过程中也有所收获。
2.及时点拨
小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维发展。随着学生的经验积累，隐藏在数学知识后面的多种方法就会逐渐引起学生的注意和思索，但因学生的思维能力原因，需要教师根据教学的需要，巧妙地运用点拨，进行正面突破，对数学思想方法进行提炼。
【教学片断】
老师收集了几幅典型作品，我们来欣赏一下。
1.无序。
问：你有什么发现？（重复）有没有遗漏？ 板书：重复、遗漏。
2.确定位置法。
师：这是谁的作品？请你来表达一下想法。我们按照他的想法来贴一贴。（用磁铁片在黑板上贴）
3.交换位置法。
师：这是谁的作品？请你和大家分享一下你的想法。我们按照他的想法来贴一贴。（用磁铁片在黑板上贴）
师：有没有不同方法？（如有，据实归为1、2、3种方法。）
师：这三种方法你喜欢哪一种？你为什么喜欢第二种和第三种？
板书：有序思考——不重复、不遗漏。
给有序的两种方法取名。
回过头来看第一种有没有遗漏？
“这三种方法你喜欢哪一种？你为什么喜欢第二种和第三种？”看似随意的问题，为学生指点迷津，拨开疑雾，水到渠成地引出本节课的数学思想方法：有序思考，促进学生由感性认识上升为理性思考，实现知识与能力的双重转化。
“给有序的两种方法取名”，正面地、直截了当地点明“确定位置法”和“交换位置法”，为后续的一系列活动指明了方向。
【拓展，延伸数学思考】
特级教师闫学曾说过：“好课是一道芬芳、幽远的茶。”合理拓展课堂教学内容，沟通数学知识与大千世界的联系，让学生在更广阔的数学天地中解决问题，体验成功，创生思维，提升学习品质。
教学中，只要我们克服随意性、盲目性，围绕教学内容，针对教学重点，客观分析学情，精选内容，凸显自主性、创新性，对课堂教学进行有效拓展，既丰富了课程内容资源，又为发展学生的数学思考服务，最终达到发展思维、提高数学素养的目的。
本课的最后一个活动：拓展——联系生活，我是这样设计的。
（1）我们的家乡在不断地发展。按照台州市规划，椒江至温岭的台州市轨道交通一号线已通过评审， 规划中的一号线北起椒江外沙，南至温岭南屏，连通椒江、路桥、温岭三地。假如温岭到椒江只有途经路桥，请问往返需几种车票？（在操作纸中画一画，后交流反馈，总结有序思考的方法：确定位置法和交换位置法。）
（2）知识链接：地图四色→课前的无色到彩色。（课件演示）
这样的活动与学生现实生活有密切联系，是学生感兴趣的内容；立足于教学实际，围绕教学重难点，实现了知识与生活和儿童认知世界的交汇，是有效的课堂教学拓展。解决问题时，是有序、全面思考的辐射和延续；是方法运用的深化和提高。
总之，我们的数学课堂，要创设引发学生数学思考的良好情境，要设计诱发学生数学思考的关键问题，要开展迸发学生数学思考的探究活动，要留给学生深入数学思考的时间和空间，要给足提升数学思考的交流机会，要增加延伸数学思考的拓展内容，真正使我们的孩子受到良好的数学教育，形成良好的数学素养。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.小学数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]刘娟娟.数学思考：学生必备的数学核心素养[J].教育研究与评论：小学教育数学，2017（06）.
[3]张孝天.新思维数学教学研究[M]. 浙江教育出版社，2008.
[4]陶芳.对“数学思考”的思考[J]. 教育研究與评论：小学教育数学，2015（08）.