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摘要 问题解决需要做运算，包括内运算、外运算、仿运算，内运算与外运算具有不完备性。运算符合内运算与外运算对立统一的矛盾律，为“思”而“行”时主运算为内运算，为“行”而“思”时主运算为外运算。运算律分内运算律、外运算律和仿运算律三类。备课运算（内运算）具有目的性、针对性和假设性，上课运算（外运算）具有线索性、示范性和应变性，应该落实学生的仿运算。
关键词 内运算 外运算 仿运算 运算律
中图分类号：G642 文献标识码：A
Research on "Operating Theory" and Its Applcation in Teaching
LI Shengping, TAN Liuqun
(Yichang Sports School, Yichang, Hubei 443000)
AbstractProblem-solving need to do operations, including internal operations and external operations, simulation operations, internal operations and external operations with incompleteness. Operations and external operations consistent with the unity of opposites within the operation of the law of contradiction, as the "thinking " and "OK"when the main operation is in operation, as the "line"and "thinking " when the primary operation for foreign operations. Law since the beginning of operations op law, foreign law computing operations law and three types of imitation. Lesson planning operations (the operation) has the purpose, relevance and hypothetical class operations (foreign operations) of a clue, demonstration and contingency, should implement the student imitation operations.
Key wordsInternal operations; external operations; simulation operations; operational law
1 运算理论的提出
教育应为培养善于解决问题的德才兼备者而改革，国家制定课程标准来转变教育者的教育观念，教材作了符合达到课程标准的“情境画面化、内容生活化、过程问题化”的转变来培养他们会解决实际问题的能力，同时使学生获取文化知识，体现某学科素质教育的内容与过程，可见，培养学生解决问题的能力和改变学生的认知结构是学科素质教育的核心。如何实施培养学生相应学科素质的教育呢？笔者认为重在过程，过程到位，结果便“水到渠成”，这个过程应是怎样的？笔者为回答这个问题而提出运算理论，认为要达到学科素质教育的目标就要师生在授受知识过程中各自做好相应的运算。
2 对运算理论的思考
2.1 引入基本概念
2.1.1 内运算与外运算
在心理学上将心理上的一次操作称作一次运算，在这里笔者将心理操作称为内运算，把实际操作称为外运算。
2.1.2 仿运算
笔者将“仿运算”定义为：仿运算是指对待所遇到的问题采取用一定的思想观念去分析或者按照一定的方法观念去处理，通过借鉴、模仿解决问题的运算。
笔者把内运算、外运算和仿运算统称为运算。
2.2 运算律
2.2.1 运算律分析
一般在解决同一问题中，内运算和外运算这两种运算成对存在，内运算和外运算服从“思”和“行”对立统一的矛盾律。“思”而不“行”的空想不能完成问题解决；“行”而无“思”的盲目干在正常情况下是不存在的。
当解决问题在某阶段的主题性质是内运算（或外运算）时称内运算（或外运算）为主运算，称与之对立的外运算（或内运算）为副运算。如准备“三点共线”证明的复习课，思考从哪几方面总结是内运算，找到、集中各相应的证明方法是外运算，“想不到”就“做不到”，在这里为“思”而“行”，内运算是主运算，外运算是副运算。在比较线段长短的上课中，教师在使用直尺、圆规工具授课后组织学生练习，学生提出没有直尺和圆规怎么完成任务的问题，教师立即想到用书本或者纸张边线解决问题：在本子或书边上做记号使两记号间的部分长度等于一个线段，然后用它去与另一条线段重叠比较得出两条线段的长短关系，“做不下去”时“想不到”或“不去想”应对办法就不能解决问题，“不做到”问题就没解决，这里为“行”而“思”，外运算是主运算，内运算是副运算。
由于学生反应不可能与教师的设想完全一致，因此外运算会出现与内运算不一致但结果一致的情况，即内运算的“设想”与外运算的“实际”同归殊途，考虑到教学的内运算和外运算都是为了通过运算达到课程标准或者教学大纲要求，因此笔者称两者的这种关系为同归关系。如教师设想：讨论抛物线在满足什么条件下与横轴有两个交点时，当教师提出考虑开口向上抛物线的顶点纵坐标小于零的方法时，学生则站在抛物线对应的一元二次方程的解的判别式大于零的方法解决问题体现同归殊途。由于同归关系，教师要重视学生的观点并顺其思维导出结果促成同归，不要强求用备课运算的观点方法解决问题，这样容易打击学生学习的积极性，不利于学生思维能力的培养，特别是重要的直觉思维的培养，尽量利用同归关系发展学生的发散思维，解决问题鼓励学生做一题多解，对待问题既让学生入乎其内，又出乎其外，这个外可以是教师的“意外”，甚至是教师向学生学习的意外，在教学相长中，教师教学中的专业成长就在于此。
“人无完人”，内运算不可能完全考虑到外运算中所有情况；外运算也不可能面面俱到，因此内运算和外运算都有共同的特性：不完备性。因为内运算的不完备性，课后需要对内运算进行反思；外运算的不完备性，尤其是不能照顾到所有学生使因材施教全面落实，需要在适当时间对学生实施辅导进行缺憾的弥补（对个体个别辅导或者集体评讲）。
2.2.2 运算律的分类分析
在解决问题的运算关系中，按照主运算为内运算、主运算为外运算或主次在内运算和外运算间交替将运算律具体分为内矛盾律、外矛盾律和仿矛盾律三类。
内矛盾律：“想到了”（思）的内运算与“就去做”（行）的外运算的关系称为内运算与外运算的内对立统一关系，简称为内矛盾律。
内矛盾律的特点：时间上具有内外运算关系的及时对应性，表现在“思”（内运算）中“行”（外运算），其中内运算“思”为主运算。
外矛盾律：“想好了”（思）的内运算与“这样做”（行）的外运算的对立统一关系称为内运算与外运算的外对立统一关系，简称为外矛盾律。
外矛盾律的特点：时间上具有内外运算关系的滞后对应性，表现为“思”（内运算）后“行”（外运算），其中外运算是主运算。
仿矛盾律：解决问题时，既进行“比着想”的“思”与“就去行”，又同时进行“想好了”（思）与“这样做”（行），这种解决问题中内运算与外运算存在内、外对立统一的关系称为内运算与外运算的仿对立统一关系，简称为仿矛盾律。
仿矛盾律一般在解决相同或者类似问题时使用，教师在重复“教”中用，学生在“练”中用。在仿运算中，对教师而言，“比着想”的“思”经过了同一教育者的反思完善（总结以前在“行”中的经验教训扬长避短、思考新对策），运算比原运算中的“思”应该更完备。
3 对教学运算过程的备课（内运算）与上课（外运算）的思考
3.1 备课内运算的运算特性
备课内运算具有三个显著的特性：
特性之一： 备课内运算具有目的性
每一节课都要考虑本节课的三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。
特性之二： 备课内运算具有针对性
要针对学生所用课本的实际，针对学生的知识水平实际，针对学生探求知识能力的实际，针对学生经历的生活实际，选择利用或者构造适合学生获取知识的问题情境。脱离学生的实际，想修建“空中楼阁”难以达到教学目标，备课运算的针对性是备课运算目的性得以实现的一个前提条件。
特性之三：备课内运算具有假设性
要预测学生在学习中的难点并设计突破难点的方法，预测学生在学习中可能出现的误解或者错误尤其是学生常犯错误设计使学生克服的策略和具体措施。难点预测与突破准备是备课必做的基本运算，相对部分学生乃至全班而言的，是针对一些学生实际预备的，针对不同学生没有千篇一律的难点。认为不知道学生的学习难点是什么、会在上课中暴露什么问题，因此不需要备课的观点和拒绝备课的做法是错误的。
可见，好的教案应该能从中看出教师的备课内运算，要能体现出备课内运算的目标性、针对性和假设性。
3.2 上课运算的特性
特性之一：线索性
线索性是线索指导性的简称，是指上课运算基本上是以课前准备的教案为线索进行的，备课运算对上课运算发挥了导向作用。对经验老道的教师来说，没有在课前书写教案，利用以前的教学经验临时安排他就能上好课的情况，事实上是该教师的“经验教案”（以前采用过的教案）在发挥线索指导作用，表现为参照方案执行。
特性之二：示范性
示范性是指教师上课间作的运算总起示范作用，学生“心随我动”完成一系列操作，常需要教师进行操作示范（一般是边讲边做）。教师也要注意教个体的运算，“心随他动”地为他示范进行排忧解难，成为学生进行学习的合作者。
特性之三：应变性
应变性是指上课运算要根据学生学习现场出现的未曾料想到的情况随时思索怎样处理（内运算）并处理（外运算）的运算。应变性是由备课运算的假设不全、学生个体水平参差不齐、学生的认知结构差异或者直觉思维方式差异等诸多因素决定的。有时出现备课运算以外情况，上课运算不能严格按照教案进行，可以不完成事前安排的计划任务，甚至改变教学方式方法、去掉或换掉授课准备的素材等等。表现为有调整地执行方案。
备课运算与上课运算是内运算与外运算的外对立统一关系。在教学中，充分的内运算有利于外运算的顺利进行，外运算结果有利于改善内运算的不完备性有利于今后的教学仿运算。提倡教学后反思，修改完善教案不断提高自己的教学水平。
4 抓好学生作“仿运算”运算的重要性
学生在课堂上获得一定的陈述性知识，知道了“是什么”，如果不进行仿运算实践活动，就不能将它形成程序性知识，就不会自动运用知识解决相关问题的运算，不知道“怎么做”，也就没有形成学生解决问题的能力，对学生实施教育的过程（教的过程）就是学生“仿运算”的过程（学与用的过程），对学生实施素质教育需要学生扎实做好“仿运算”，教师应在如何让学生做好“仿运算”上下功夫。
关键词 内运算 外运算 仿运算 运算律
中图分类号：G642 文献标识码：A
Research on "Operating Theory" and Its Applcation in Teaching
LI Shengping, TAN Liuqun
(Yichang Sports School, Yichang, Hubei 443000)
AbstractProblem-solving need to do operations, including internal operations and external operations, simulation operations, internal operations and external operations with incompleteness. Operations and external operations consistent with the unity of opposites within the operation of the law of contradiction, as the "thinking " and "OK"when the main operation is in operation, as the "line"and "thinking " when the primary operation for foreign operations. Law since the beginning of operations op law, foreign law computing operations law and three types of imitation. Lesson planning operations (the operation) has the purpose, relevance and hypothetical class operations (foreign operations) of a clue, demonstration and contingency, should implement the student imitation operations.
Key wordsInternal operations; external operations; simulation operations; operational law
1 运算理论的提出
教育应为培养善于解决问题的德才兼备者而改革，国家制定课程标准来转变教育者的教育观念，教材作了符合达到课程标准的“情境画面化、内容生活化、过程问题化”的转变来培养他们会解决实际问题的能力，同时使学生获取文化知识，体现某学科素质教育的内容与过程，可见，培养学生解决问题的能力和改变学生的认知结构是学科素质教育的核心。如何实施培养学生相应学科素质的教育呢？笔者认为重在过程，过程到位，结果便“水到渠成”，这个过程应是怎样的？笔者为回答这个问题而提出运算理论，认为要达到学科素质教育的目标就要师生在授受知识过程中各自做好相应的运算。
2 对运算理论的思考
2.1 引入基本概念
2.1.1 内运算与外运算
在心理学上将心理上的一次操作称作一次运算，在这里笔者将心理操作称为内运算，把实际操作称为外运算。
2.1.2 仿运算
笔者将“仿运算”定义为：仿运算是指对待所遇到的问题采取用一定的思想观念去分析或者按照一定的方法观念去处理，通过借鉴、模仿解决问题的运算。
笔者把内运算、外运算和仿运算统称为运算。
2.2 运算律
2.2.1 运算律分析
一般在解决同一问题中，内运算和外运算这两种运算成对存在，内运算和外运算服从“思”和“行”对立统一的矛盾律。“思”而不“行”的空想不能完成问题解决；“行”而无“思”的盲目干在正常情况下是不存在的。
当解决问题在某阶段的主题性质是内运算（或外运算）时称内运算（或外运算）为主运算，称与之对立的外运算（或内运算）为副运算。如准备“三点共线”证明的复习课，思考从哪几方面总结是内运算，找到、集中各相应的证明方法是外运算，“想不到”就“做不到”，在这里为“思”而“行”，内运算是主运算，外运算是副运算。在比较线段长短的上课中，教师在使用直尺、圆规工具授课后组织学生练习，学生提出没有直尺和圆规怎么完成任务的问题，教师立即想到用书本或者纸张边线解决问题：在本子或书边上做记号使两记号间的部分长度等于一个线段，然后用它去与另一条线段重叠比较得出两条线段的长短关系，“做不下去”时“想不到”或“不去想”应对办法就不能解决问题，“不做到”问题就没解决，这里为“行”而“思”，外运算是主运算，内运算是副运算。
由于学生反应不可能与教师的设想完全一致，因此外运算会出现与内运算不一致但结果一致的情况，即内运算的“设想”与外运算的“实际”同归殊途，考虑到教学的内运算和外运算都是为了通过运算达到课程标准或者教学大纲要求，因此笔者称两者的这种关系为同归关系。如教师设想：讨论抛物线在满足什么条件下与横轴有两个交点时，当教师提出考虑开口向上抛物线的顶点纵坐标小于零的方法时，学生则站在抛物线对应的一元二次方程的解的判别式大于零的方法解决问题体现同归殊途。由于同归关系，教师要重视学生的观点并顺其思维导出结果促成同归，不要强求用备课运算的观点方法解决问题，这样容易打击学生学习的积极性，不利于学生思维能力的培养，特别是重要的直觉思维的培养，尽量利用同归关系发展学生的发散思维，解决问题鼓励学生做一题多解，对待问题既让学生入乎其内，又出乎其外，这个外可以是教师的“意外”，甚至是教师向学生学习的意外，在教学相长中，教师教学中的专业成长就在于此。
“人无完人”，内运算不可能完全考虑到外运算中所有情况；外运算也不可能面面俱到，因此内运算和外运算都有共同的特性：不完备性。因为内运算的不完备性，课后需要对内运算进行反思；外运算的不完备性，尤其是不能照顾到所有学生使因材施教全面落实，需要在适当时间对学生实施辅导进行缺憾的弥补（对个体个别辅导或者集体评讲）。
2.2.2 运算律的分类分析
在解决问题的运算关系中，按照主运算为内运算、主运算为外运算或主次在内运算和外运算间交替将运算律具体分为内矛盾律、外矛盾律和仿矛盾律三类。
内矛盾律：“想到了”（思）的内运算与“就去做”（行）的外运算的关系称为内运算与外运算的内对立统一关系，简称为内矛盾律。
内矛盾律的特点：时间上具有内外运算关系的及时对应性，表现在“思”（内运算）中“行”（外运算），其中内运算“思”为主运算。
外矛盾律：“想好了”（思）的内运算与“这样做”（行）的外运算的对立统一关系称为内运算与外运算的外对立统一关系，简称为外矛盾律。
外矛盾律的特点：时间上具有内外运算关系的滞后对应性，表现为“思”（内运算）后“行”（外运算），其中外运算是主运算。
仿矛盾律：解决问题时，既进行“比着想”的“思”与“就去行”，又同时进行“想好了”（思）与“这样做”（行），这种解决问题中内运算与外运算存在内、外对立统一的关系称为内运算与外运算的仿对立统一关系，简称为仿矛盾律。
仿矛盾律一般在解决相同或者类似问题时使用，教师在重复“教”中用，学生在“练”中用。在仿运算中，对教师而言，“比着想”的“思”经过了同一教育者的反思完善（总结以前在“行”中的经验教训扬长避短、思考新对策），运算比原运算中的“思”应该更完备。
3 对教学运算过程的备课（内运算）与上课（外运算）的思考
3.1 备课内运算的运算特性
备课内运算具有三个显著的特性：
特性之一： 备课内运算具有目的性
每一节课都要考虑本节课的三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。
特性之二： 备课内运算具有针对性
要针对学生所用课本的实际，针对学生的知识水平实际，针对学生探求知识能力的实际，针对学生经历的生活实际，选择利用或者构造适合学生获取知识的问题情境。脱离学生的实际，想修建“空中楼阁”难以达到教学目标，备课运算的针对性是备课运算目的性得以实现的一个前提条件。
特性之三：备课内运算具有假设性
要预测学生在学习中的难点并设计突破难点的方法，预测学生在学习中可能出现的误解或者错误尤其是学生常犯错误设计使学生克服的策略和具体措施。难点预测与突破准备是备课必做的基本运算，相对部分学生乃至全班而言的，是针对一些学生实际预备的，针对不同学生没有千篇一律的难点。认为不知道学生的学习难点是什么、会在上课中暴露什么问题，因此不需要备课的观点和拒绝备课的做法是错误的。
可见，好的教案应该能从中看出教师的备课内运算，要能体现出备课内运算的目标性、针对性和假设性。
3.2 上课运算的特性
特性之一：线索性
线索性是线索指导性的简称，是指上课运算基本上是以课前准备的教案为线索进行的，备课运算对上课运算发挥了导向作用。对经验老道的教师来说，没有在课前书写教案，利用以前的教学经验临时安排他就能上好课的情况，事实上是该教师的“经验教案”（以前采用过的教案）在发挥线索指导作用，表现为参照方案执行。
特性之二：示范性
示范性是指教师上课间作的运算总起示范作用，学生“心随我动”完成一系列操作，常需要教师进行操作示范（一般是边讲边做）。教师也要注意教个体的运算，“心随他动”地为他示范进行排忧解难，成为学生进行学习的合作者。
特性之三：应变性
应变性是指上课运算要根据学生学习现场出现的未曾料想到的情况随时思索怎样处理（内运算）并处理（外运算）的运算。应变性是由备课运算的假设不全、学生个体水平参差不齐、学生的认知结构差异或者直觉思维方式差异等诸多因素决定的。有时出现备课运算以外情况，上课运算不能严格按照教案进行，可以不完成事前安排的计划任务，甚至改变教学方式方法、去掉或换掉授课准备的素材等等。表现为有调整地执行方案。
备课运算与上课运算是内运算与外运算的外对立统一关系。在教学中，充分的内运算有利于外运算的顺利进行，外运算结果有利于改善内运算的不完备性有利于今后的教学仿运算。提倡教学后反思，修改完善教案不断提高自己的教学水平。
4 抓好学生作“仿运算”运算的重要性
学生在课堂上获得一定的陈述性知识，知道了“是什么”，如果不进行仿运算实践活动，就不能将它形成程序性知识，就不会自动运用知识解决相关问题的运算，不知道“怎么做”，也就没有形成学生解决问题的能力，对学生实施教育的过程（教的过程）就是学生“仿运算”的过程（学与用的过程），对学生实施素质教育需要学生扎实做好“仿运算”，教师应在如何让学生做好“仿运算”上下功夫。