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[摘要]新课改理念下的数学概念教学较注重概念的形成过程，多启发学生，多培养学生的数学能力和数学素养。本文就如何进行新课标下的数学概念的教学提出几点体会。
[关键词]概念 形成 教学
在数学概念教学中，不少教师往往不注重概念的形成过程,只重视概念的运用,强行地将一些新的数学概念灌输给学生,要求学生记忆,严重影响学生形成正确的数学观,阻碍学生能力的发展。如何实施新课标下的数学概念教学?下面就结合新课程的教学实践,谈谈自己的几点体会。
一、创设求知情境，引入概念
在教学中，教师要想方设法去激发学生的求知欲和好奇心，努力创设求知情境，让学生产生探求数学知识的强烈兴趣，使学生由被动接受数学知识转化到主动地去猎取知识，处于最佳的心理状态，为新概念的教学创造良好的氛围。
在讲排列的概念时，我先给学生出了这样一个问题：如果“中超”有4支球队，一个赛季共举行多少场比赛？学生们都在纸上排起来，很快就有学生排好了，积极地回答：12场。我接着说：“大家都知道‘中超’实际有14支球队，一个赛季共举行多少场比赛？” 学生们又开始在纸上排起来，这一回可费事了，排了半天也没有人告诉我答案。这时候我故意调侃地说：“怎么样？不行了吧？想不想知道可以快速解决这一问题的方法？”学生们这时候非常期待地问：“老师还有什么好方法？您快说啊！”在学生这种强烈的求知氛围中我引出了排列及排列数的概念。“在n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。”同学们结合着定义分析了：“中超”的球队没有相同的，每次比赛的队有两个，这两个队甲在主场乙在客场，与乙在主场甲在客场不是同一场比赛，甲乙两个队换了顺序比赛就不一样了，也就是说这两个元素必须按照一定的次序排成一列。学生通过分析最后总结出：这个问题其实就是在不同的14支球队中任取2支队，按照一定的次序排成一列的排列数。学生们很不满意地问：“老师，可是排列数怎么计算呢？”在我的引导下，我们一起推导了排列数公式。学生终于满意地解决了这个问题。在教学过程中创设求知情境，促使学生积极主动地学习，使得对概念的理解更深刻，使学生明确概念产生背景，运用概念能解决哪些数学问题。
二、借助感性材料作铺垫，从具体到抽象，逐步形成概念
任何理性认识都源于感性认识。刚上高中的学生很多都不适应高中上课的快节奏, 而且第一堂数学课就是“集合”这个抽象的概念，初中还没有碰到过这么抽象的概念，如果不动动脑筋好好设计这个概念的教学,学生一定会云里雾里听不懂的。我决定要通过大量的感性材料，使学生自己总结出“集合”的本质属性。我是这样设计的：
老师：今天我们学习集合这个概念，集合是什么呢？我们全班同学是一个集合，我们班女同学是一个集合，我们班男同学也是一个集合。校园里的植物是一个集合，校园里的运动器械也是一个集合。上海市的建筑是一个集合，全国的山脉也是一个集合。大家想想，集合是什么呢？
学生：集合是一个整体。
老师：好，同学们说的很好。但集合是一个什么样的整体呢？我们班学习优秀的同学不是一个集合，中考总分在460分及460分以上的同学是一个集合；我们班大眼睛的女同学不是一个集合，班里视力在1.0及1.0以下的女生是一个集合；我们班高个子的男同学不是一个集合， 班里身高在1.80米及1.80米以上的男生是一个集合。这些整体有的是集合，有的不是集合，它们之间有什么区别呢？
学生：是集合的整体被描述得很清楚，而不是集合的整体，用的都是不能以客观标准来衡量的词描述的，不确切。
老师：同学们说得非常好，我用数学语言帮助大家总结一下，集合就是能够确切指定的一些对象的整体。
学生经过以上过程对集合的概念有了明确的认识，同时也经历了概念发生发展过程的体验。
三．重视概念的内涵与外延的教学，变换角度多方说明剖析概念
在概念教学中，要注意对概念逐字逐句加以推敲、分析，应多角度、多层次地剖析概念，启发学生来理解和掌握概念，防止学生片面地学习概念，以致于引起概念间的混淆。
例如，在奇偶函数概念的教学中，要引导学生分析奇偶函数定义中的f（x）、f（-x）同时有意义表明了什么意思？从而得出奇偶函数的定义域必须关于原点对称，因而判断函数的奇偶性时，注意到f（x）和f（-x）有意义，在f（x）和f（-x）无意义时，马上可以下结论f（x）是非奇非偶函数。否则作变形，会得出f（x）为奇偶函数的错误结论。
奇偶函数的定义掌握之后，还可以换个角度，对定义进一步研究。奇函数的定义是这样的：“如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数a,都有 f（-a）=- f（a）,那么就把函数y=f(x)叫做奇函数”。我们知道定义的条件是结论的充要条件,因此定义的否命题、逆命题还有它的逆否命题都是与定义等价的。我让学生写出奇函数定义的否命题，“如果函数y=f(x)的定义域D内存在一个实数a,使得f（-a）≠- f（a）,那么函数y=f(x) 就不是奇函数”。同样的可以写出偶函数定义的否命题，“如果函数y=f(x)的定义域D内存在一个实数a,使得f（-a）≠f（a）,那么函数y=f(x) 就不是偶函数”。这两个结论为我们提供了判断一个函数不是奇函数或不是偶函数的依据,其实就是奇偶函数定义的等价命题。而有很多学生甚至部分教师都错误的把这种判定方法说成是“举反例”。
再如,学习函数的单调性时我们知道, 增函数是这样定义的“对于给定区间上的函数y=f(x)：如果对于属于这个区间上的自变量的任意两个值x1、x2,当x1﹤x2时，都有f(x1)﹤f(x2),那么就说函数y=f(x)在这个区间上是增函数”。 在这个命题中有两个条件 “x1﹤x2”和 “f(x1)﹤f(x2)” ，一个结论“函数y=f(x)在这个区间上是增函数” 。把结论与条件做一对一的交换得到原命题的两个等价命题“对于给定区间上的函数y=f(x):如果对于属于这个区间上的自变量的任意两个值x1、x2,当x1﹤x2时，函数y=f(x)在这个区间上是增函数，那么有f(x1)﹤f(x2)” ，和“对于给定区间上的函数y=f(x)：如果对于属于这个区间上的自变量的任意两个值x1、x2,当f(x1)﹤f(x2)时，函数y=f(x)在这个区间上是增函数，那么有x1﹤x2”。这两个结论我们在高中数学的学习中经常用到,但很多同学不知道其中的道理。其实,这两个函数单调性定义的等价命题是我们在解有关函数单调性题目的理论依据。第一个等价命题经常用于比较函数值的大小, 第二个等价命题经常用于解一些带有函数符号的不等式,也是 “穿”、 “脱”函数符号的依据。
四、利用类比、对比的方法学习数学概念
类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质,推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是从特殊到特殊的推理.通过类比,可以发现新旧知识的相同点,利用已有的旧知识来认识新知识。对比, 就是通过比较,找出一事物区别其他事物的特点,通过对比,可以找出差异,有助于进一步加深对新知识的理解。我们知道人的认知水平划分为三个层次: “已知区”、 “最近发展区”和“未知区”，三个层次的关系是:
人的认知水平就是在这三个层次之间循环往复,不断转化,螺旋式上升。概念教学也是如此,教师可在学生的“已知区”和 “最近发展区”的结合点,即知识增长点建立联系。而类比、对比的方法将“已知区”和 “最近发展区”很好地联系起来,达到加深对概念理解的目的。
例如在引入对数的概念时,我是这样处理教材的。先让学生解一道应用题， “假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍?”学生很快得到算式1.08x=2。这个问题是已知底数和幂，求指数的问题。如何来求呢?我引导学生类比了两个有关幂的运算。x=23, 这个问题是已知指数和底数，求幂的问题,用的是乘方运算。x3=8, 这个问题是已知指数和幂，求底数的问题，用的是开方运算。有了这两个已知的运算的对比，学生很容易地理解了对数的运算。
再如，在学习圆锥曲线的定义时,我引导学生使用了类比的方法。学习圆的概念时,我先让学生自己画一些圆,学生们都用圆规完成这个任务。.我问学生,用圆规可以画出圆,那么圆应该如何定义呢?学生毫不犹豫地回答 “到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆”。我追问学生,满足这样的条件的点的轨迹一定是圆吗?学生深入思考,当定长是零时就是个点。学习椭圆的概念时，我同样的让学生自己动手画椭圆，并提供了方法。学生类比圆的定义得到了椭圆定义“到两定点的距离的和等于定长的点的轨迹就是椭圆”。但有的同学想到圆的特殊情况，认为定义没这么简单,还要进一步思考,拿着绳子研究起来,绳子绷直了,就画不出椭圆了。这时,有同学想到了,这个定长一定要大于两定点间的距离才是椭圆。当定长等于两定点间的距离时是线段。学到第三个圆锥曲线——双曲线时,先让学生用拉链,画出双曲线的图象,然后让学生归纳双曲线的定义。这一次,基于前两次的经验,学生没有很快地说出定义,而是经过思考,想到了特殊情况,即定长等于两定点间距离时,轨迹就是射线。由此给出了完整的双曲线定义。在学习抛物线时,定义中的特殊情况“定点在直线上”学生也很容易就发现了。通过这四个圆锥曲线定义的类比学习,学生印象深刻,我的学生做类似的题目,犯错的就很少了。
高中数学新课标提出了与时俱进地认识“双基”的基本理念，概念教学是“双基”教学的重要组成部分。通过概念课教学，力求使学生明确（1）概念的发生、发展过程以及产生背景；（2）概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；（3）概念有没有等价的叙述；（4）运用概念能解决哪些数学问题等。只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学的思想和本质，更好地培养学生的数学素养。因此，数学概念的教与学显得十分重要，我们在进行数学教学时一定要重视数学概念的教学。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
[关键词]概念 形成 教学
在数学概念教学中，不少教师往往不注重概念的形成过程,只重视概念的运用,强行地将一些新的数学概念灌输给学生,要求学生记忆,严重影响学生形成正确的数学观,阻碍学生能力的发展。如何实施新课标下的数学概念教学?下面就结合新课程的教学实践,谈谈自己的几点体会。
一、创设求知情境，引入概念
在教学中，教师要想方设法去激发学生的求知欲和好奇心，努力创设求知情境，让学生产生探求数学知识的强烈兴趣，使学生由被动接受数学知识转化到主动地去猎取知识，处于最佳的心理状态，为新概念的教学创造良好的氛围。
在讲排列的概念时，我先给学生出了这样一个问题：如果“中超”有4支球队，一个赛季共举行多少场比赛？学生们都在纸上排起来，很快就有学生排好了，积极地回答：12场。我接着说：“大家都知道‘中超’实际有14支球队，一个赛季共举行多少场比赛？” 学生们又开始在纸上排起来，这一回可费事了，排了半天也没有人告诉我答案。这时候我故意调侃地说：“怎么样？不行了吧？想不想知道可以快速解决这一问题的方法？”学生们这时候非常期待地问：“老师还有什么好方法？您快说啊！”在学生这种强烈的求知氛围中我引出了排列及排列数的概念。“在n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。”同学们结合着定义分析了：“中超”的球队没有相同的，每次比赛的队有两个，这两个队甲在主场乙在客场，与乙在主场甲在客场不是同一场比赛，甲乙两个队换了顺序比赛就不一样了，也就是说这两个元素必须按照一定的次序排成一列。学生通过分析最后总结出：这个问题其实就是在不同的14支球队中任取2支队，按照一定的次序排成一列的排列数。学生们很不满意地问：“老师，可是排列数怎么计算呢？”在我的引导下，我们一起推导了排列数公式。学生终于满意地解决了这个问题。在教学过程中创设求知情境，促使学生积极主动地学习，使得对概念的理解更深刻，使学生明确概念产生背景，运用概念能解决哪些数学问题。
二、借助感性材料作铺垫，从具体到抽象，逐步形成概念
任何理性认识都源于感性认识。刚上高中的学生很多都不适应高中上课的快节奏, 而且第一堂数学课就是“集合”这个抽象的概念，初中还没有碰到过这么抽象的概念，如果不动动脑筋好好设计这个概念的教学,学生一定会云里雾里听不懂的。我决定要通过大量的感性材料，使学生自己总结出“集合”的本质属性。我是这样设计的：
老师：今天我们学习集合这个概念，集合是什么呢？我们全班同学是一个集合，我们班女同学是一个集合，我们班男同学也是一个集合。校园里的植物是一个集合，校园里的运动器械也是一个集合。上海市的建筑是一个集合，全国的山脉也是一个集合。大家想想，集合是什么呢？
学生：集合是一个整体。
老师：好，同学们说的很好。但集合是一个什么样的整体呢？我们班学习优秀的同学不是一个集合，中考总分在460分及460分以上的同学是一个集合；我们班大眼睛的女同学不是一个集合，班里视力在1.0及1.0以下的女生是一个集合；我们班高个子的男同学不是一个集合， 班里身高在1.80米及1.80米以上的男生是一个集合。这些整体有的是集合，有的不是集合，它们之间有什么区别呢？
学生：是集合的整体被描述得很清楚，而不是集合的整体，用的都是不能以客观标准来衡量的词描述的，不确切。
老师：同学们说得非常好，我用数学语言帮助大家总结一下，集合就是能够确切指定的一些对象的整体。
学生经过以上过程对集合的概念有了明确的认识，同时也经历了概念发生发展过程的体验。
三．重视概念的内涵与外延的教学，变换角度多方说明剖析概念
在概念教学中，要注意对概念逐字逐句加以推敲、分析，应多角度、多层次地剖析概念，启发学生来理解和掌握概念，防止学生片面地学习概念，以致于引起概念间的混淆。
例如，在奇偶函数概念的教学中，要引导学生分析奇偶函数定义中的f（x）、f（-x）同时有意义表明了什么意思？从而得出奇偶函数的定义域必须关于原点对称，因而判断函数的奇偶性时，注意到f（x）和f（-x）有意义，在f（x）和f（-x）无意义时，马上可以下结论f（x）是非奇非偶函数。否则作变形，会得出f（x）为奇偶函数的错误结论。
奇偶函数的定义掌握之后，还可以换个角度，对定义进一步研究。奇函数的定义是这样的：“如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数a,都有 f（-a）=- f（a）,那么就把函数y=f(x)叫做奇函数”。我们知道定义的条件是结论的充要条件,因此定义的否命题、逆命题还有它的逆否命题都是与定义等价的。我让学生写出奇函数定义的否命题，“如果函数y=f(x)的定义域D内存在一个实数a,使得f（-a）≠- f（a）,那么函数y=f(x) 就不是奇函数”。同样的可以写出偶函数定义的否命题，“如果函数y=f(x)的定义域D内存在一个实数a,使得f（-a）≠f（a）,那么函数y=f(x) 就不是偶函数”。这两个结论为我们提供了判断一个函数不是奇函数或不是偶函数的依据,其实就是奇偶函数定义的等价命题。而有很多学生甚至部分教师都错误的把这种判定方法说成是“举反例”。
再如,学习函数的单调性时我们知道, 增函数是这样定义的“对于给定区间上的函数y=f(x)：如果对于属于这个区间上的自变量的任意两个值x1、x2,当x1﹤x2时，都有f(x1)﹤f(x2),那么就说函数y=f(x)在这个区间上是增函数”。 在这个命题中有两个条件 “x1﹤x2”和 “f(x1)﹤f(x2)” ，一个结论“函数y=f(x)在这个区间上是增函数” 。把结论与条件做一对一的交换得到原命题的两个等价命题“对于给定区间上的函数y=f(x):如果对于属于这个区间上的自变量的任意两个值x1、x2,当x1﹤x2时，函数y=f(x)在这个区间上是增函数，那么有f(x1)﹤f(x2)” ，和“对于给定区间上的函数y=f(x)：如果对于属于这个区间上的自变量的任意两个值x1、x2,当f(x1)﹤f(x2)时，函数y=f(x)在这个区间上是增函数，那么有x1﹤x2”。这两个结论我们在高中数学的学习中经常用到,但很多同学不知道其中的道理。其实,这两个函数单调性定义的等价命题是我们在解有关函数单调性题目的理论依据。第一个等价命题经常用于比较函数值的大小, 第二个等价命题经常用于解一些带有函数符号的不等式,也是 “穿”、 “脱”函数符号的依据。
四、利用类比、对比的方法学习数学概念
类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质,推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是从特殊到特殊的推理.通过类比,可以发现新旧知识的相同点,利用已有的旧知识来认识新知识。对比, 就是通过比较,找出一事物区别其他事物的特点,通过对比,可以找出差异,有助于进一步加深对新知识的理解。我们知道人的认知水平划分为三个层次: “已知区”、 “最近发展区”和“未知区”，三个层次的关系是:
人的认知水平就是在这三个层次之间循环往复,不断转化,螺旋式上升。概念教学也是如此,教师可在学生的“已知区”和 “最近发展区”的结合点,即知识增长点建立联系。而类比、对比的方法将“已知区”和 “最近发展区”很好地联系起来,达到加深对概念理解的目的。
例如在引入对数的概念时,我是这样处理教材的。先让学生解一道应用题， “假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍?”学生很快得到算式1.08x=2。这个问题是已知底数和幂，求指数的问题。如何来求呢?我引导学生类比了两个有关幂的运算。x=23, 这个问题是已知指数和底数，求幂的问题,用的是乘方运算。x3=8, 这个问题是已知指数和幂，求底数的问题，用的是开方运算。有了这两个已知的运算的对比，学生很容易地理解了对数的运算。
再如，在学习圆锥曲线的定义时,我引导学生使用了类比的方法。学习圆的概念时,我先让学生自己画一些圆,学生们都用圆规完成这个任务。.我问学生,用圆规可以画出圆,那么圆应该如何定义呢?学生毫不犹豫地回答 “到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆”。我追问学生,满足这样的条件的点的轨迹一定是圆吗?学生深入思考,当定长是零时就是个点。学习椭圆的概念时，我同样的让学生自己动手画椭圆，并提供了方法。学生类比圆的定义得到了椭圆定义“到两定点的距离的和等于定长的点的轨迹就是椭圆”。但有的同学想到圆的特殊情况，认为定义没这么简单,还要进一步思考,拿着绳子研究起来,绳子绷直了,就画不出椭圆了。这时,有同学想到了,这个定长一定要大于两定点间的距离才是椭圆。当定长等于两定点间的距离时是线段。学到第三个圆锥曲线——双曲线时,先让学生用拉链,画出双曲线的图象,然后让学生归纳双曲线的定义。这一次,基于前两次的经验,学生没有很快地说出定义,而是经过思考,想到了特殊情况,即定长等于两定点间距离时,轨迹就是射线。由此给出了完整的双曲线定义。在学习抛物线时,定义中的特殊情况“定点在直线上”学生也很容易就发现了。通过这四个圆锥曲线定义的类比学习,学生印象深刻,我的学生做类似的题目,犯错的就很少了。
高中数学新课标提出了与时俱进地认识“双基”的基本理念，概念教学是“双基”教学的重要组成部分。通过概念课教学，力求使学生明确（1）概念的发生、发展过程以及产生背景；（2）概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；（3）概念有没有等价的叙述；（4）运用概念能解决哪些数学问题等。只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学的思想和本质，更好地培养学生的数学素养。因此，数学概念的教与学显得十分重要，我们在进行数学教学时一定要重视数学概念的教学。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。