探究一类位似变换构造的点的坐标问题

• 作 者: 吴智勇
• 出 处: 中学数学杂志(初中版)
• 发表日期: 2013年3期
• 关键词: 比例线段 二元一次方程组 函数解析式 全等图形 对应点 数学思想方法 分类讨论 相似三角形 探究过程 数形结合

　　探究位似变换构造的点的坐标问题，联系了坐标系内与坐标轴平行的线段长度计算，一次函数解析式、二元一次方程组解法，以及相似三角形性质、比例线段等知识，问题探究过程渗透“数形结合”、“分类讨论”与“转化”等数学思想方法；下面对位似变换构造的点的坐标问题进行分析，供参考.
　　1 已知两个图形对应顶点坐标和位似比确定另一些点的坐标
　　例1 已知矩形ABCD顶点坐标分别是（1，1）、（5，1）、（5，4）、（1，4），把矩形ABCD 位似变换后点A 的对应点E 坐标是（2，7），确定按下面位似比变换后矩形EFGH 另外三个顶点坐标：（1）矩形ABCD扩大到原来的3倍，（2）矩形ABCD缩小为原来的
　　解 画出图形，结合图形分类讨论：分位似中心P在对应点连接线段上，以及在线段延长线上两种情况解答，结合与坐标轴平行的线段长度之间的倍数关系，确定点的坐标.
　　[TPwzy-2.tif，BP][TS（][JZ][HTK]图3 图4[TS）]
　　（1）①当位似中心P在线段EA的延长线上时，如图1所示，AB∥EF，BC∥FG，DC∥HG，AD∥EH，且EF=3AB=12，FG=3BC=9，HG=3DC=12，EH=3AD=9，得出点F、G、H坐标分别是（14，7）、（14，16）、（2，16）；
　　②当位似中心P在线段EA上时，如图2所示，AB∥EF，BC∥FG，DC∥HG，AD∥EH，且EF=3AB=12，FG=3BC=9，HG=3DC=12，EH=3AD=9，得出点F、G、H坐标分别是（-10，7）、（-10，-2）、（2，-2）；
　　一般结论：两个位似图形EFGH与ABCD的位似比是k∶1，点A、E是一组对应点，坐标分别是（a，b）与（c，d），点B坐标是（e，f），点B 对应点的坐标：①当k>1或者是k<1时，点F坐标是[c+k（e-a），d+k（f-b）]或者是点K[c-k（e-a），d-k（f-b）]（图 5）、（图6），②当k=1时，点F坐标是（a+c-e，b +d-f）.
　　2 已知两个图形对应点坐标、位似比确定位似中心坐标
　　3 已知位似比与一个图形顶点、位似中心坐标确定对应点坐标
　　一般结论： 已知四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，四边形EFGH与四边形ABCD的位似比是k∶1，点A 坐标是（a，b），位似中心点P 的坐标是（m，n），则点A对应点E的坐标为：①当k>1或者是k<1时，坐标为[m+k（a-m），n+k（b-n）]，或者是[m-k（a-m），n-k（b-n）]，②当k=1时，得出点E坐标是即是（2m-a，2n-b）.
　　4 两个位似图形一组对应点坐标、位似比、位似中心坐标的综合应用