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[摘 要] APOS理论是近年来美国数学家杜宾斯基提出的一种关于概念教学的理论模型，它包括Action（活动阶段），Process（过程阶段），Object（对象阶段）和Scheme（图式阶段）四个阶段. 笔者以“二次函数”为例来研究APOS理论在初中数学概念教学中的应用，这个理论模型实现了旧知识到新知识的自然衔接，在活动中生成、在过程中体验、在操作中建构数学概念.
[关键词] APOS理论；初中数学；二次函数
什么是APOS理论
APOS理论是近年来美国数学家杜宾斯基在数学教学研究的实践中提出的一种关于概念教学的理论模型，它包括Action（活动阶段），Process（过程阶段），Object（对象阶段）和Scheme（图式阶段）四个阶段. 这四个步骤努力营造学生自觉发现、自主建构与形成概念的特点，它是循序渐进、层层递进的.
APOS理论认为，学生学习数学概念的过程其实是一种自我心理建构的过程，在这个过程中学生只有调整自己的认知结构或者外部的认知结构，使得主客观彼此一致，才能建构新的认知结构. 因此，在数学概念的教学中，教师应努力引导学生经过思维的操作、过程和对象等几个阶段，使学生在自主建构和不断反思的基础上，把概念组成图式，通过同化或顺应的方式，完善自己的知识结构，从而顺利解决问题.
鉴于APOS理论对于数学概念教学的科学性和实用性，笔者就如何进行概念教学作了一些探索. 本文以人教版“二次函数”为载体，谈谈对APOS理论应用于概念教学的一些思考.
教学设计
1. 教材分析
“二次函数”是人教版九年级上册第22章第1节的内容，本节课是在学生学习了变量与函数、一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，引出二次函数的概念. 二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是初中阶段整个函数知识体系中最重要的部分. 它在历年的中考题中占有较大比例，它的学习也为高中阶段的函数学习打下了基础，所以本节内容的教学安排符合学生的认知需求和整个函数体系的自然发展，对培养学生的数学思维有着重要的作用. 而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，为后面学习二次函数的图像、性质及二次函数与一元二次方程的关系等做铺垫，所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用. 另外，通过让学生经历实际问题情境的探究，体验二次函数产生的过程，体会到它是实际生活的产物，并逐步让学生体会怎样建立实际问题的函数模型，培养他们用函数思想分析、解决问题的意识和能力.
2. 教学目标
（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围.
（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力.
（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学生学好数学的愿望与信心.
3. 教学重点及难点
教学重点：对二次函数概念的理解.
教学难点：由实际问题确定二次函数解析式和自变量的取值范围.
4. APOS视角下的教学过程
（1）活动阶段（Action）——创设情境，引入概念.
活动1：（多媒体展示图片）学生观察图片，教师创设问题情境.
篮球运动员投篮、运动场上飞舞的跳绳、花园喷水池喷出的水都会形成一条曲线，这些曲线是什么形状？它们能否用函数关系式来表示？这些曲线有什么性质？这些知识将在本章学习.
活动2：我们学习了一次函数和反比例函数，请同学们思考下面问题的函数关系及表达式.
①正方体的棱长为x，它的表面积为S，那么S与x的关系是什么？
②多边形的对角线d与边数n有什么关系？
③某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系该怎样表示？
设计意图：APOS理论中的“活动阶段”相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段，让学生对概念的形成过程有一个充分体验. 情境的引入是概念建构的起点和生长点，是认识概念的必要条件. 活动1的目的是从生活中的实例出发，引起学生对二次函数的好奇和兴趣. 活动2设置的几个实例，让学生体会引入二次函数概念的实际背景，感受其实际意义，自己动手在实际问题中建立函数模型，列出解析式. 这一环节是对函数概念从抽象到具体，再从具体到抽象的再认识过程，也为后面从解析式中观察、抽象出二次函数的概念做好铺垫.
（2）过程阶段（Process）——抽象概括，表述概念.
问题：观察思考上面列出的三个式子有什么共同点.
归纳总结：一般地，形如y=ax2 bx c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数，其中a，b分别是二次项系数和一次项系数，c是常数项.
对于a≠0这个条件准备采用下面的方式进行处理：
问题1：请指出一般式y=ax2 bx c中的常数、变量、自变量、函数.
问题2：a能否为0？
问题3：b，c能否为0？
练习：下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=x； （2）m=2n2-3n；
（3）y=2x（x-1）； （4）y=-x；
（5）y=（x 3）2-x2； （6）y=3x3 2x2；
（7）y=x-2 1.
设计意图：APOS理论中的“过程阶段”是学生对具体实体进行思维概括并描述得出数学概念的阶段. 学生通过之前的“活动”对二次函数的概念形成了初步的认识，通过类比一次函数和反比例函数的概念形成过程，引导他们学习观察、归纳二次函数的一般形式，理解解析式的特点，并学会用严谨的数学语言来表述. 而对于概念中的关键词a≠0，通过3个小问题解决，并让学生深刻理解：一个函数是不是二次函数的关键是看二次项系数是否为0，而一次项系数和常数项是否为0无所谓. 为了更好地理解二次函数的概念，及时进行辨析是非常必要的. 在练习中⑤是非常容易判断出错的，这里让学生注意“先化简后判断”. （3）对象阶段（Object）——深入理解，剖析概念.
例1：说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项.
①y=-x2 58x-112；
②y=πx2；
③y=x（1 x）.
例2：已知函数y=ax2 bx c.
①当a，b，c是怎样的数时，它是正比例函数？
②当a，b，c是怎样的数时，它是一次函数？
③当a，b，c是怎样的数时，它是二次函数？
例3：m取何值时，下列函数是二次函数？
y=（m 1）xm2-2m-1 （m-3）x m.
设计意图：APOS理论中的“对象阶段”是将过程看作是一个整体，并将其上升为一种意识，作为独立的对象，不断地理解概念的本质. 例1引导学生从中理解二次函数的不同在于a，b，c的不同，为接下来学习二次函数的不同表达形式铺路，打下基础. 例2引导学生注意这里是“函数”而不是“二次函数”，让学生体会系数对函数的影响，认识到研究函数其实就是研究相应系数的变化，这样更能深刻理解二次函数的概念. 例3考查学生是否理解二次函数的概念，看学生是否考虑到自变量的最高次数为2，是否考虑到二次函数有意义的前提条件是二次项系数不为0. 这三道例题由浅入深，循序渐进，不断引导学生理解二次函数的概念.
（4）图式阶段（Scheme）——实际应用，形成图式.
例4：张大爷用20 m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x m，菜园的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围. 当x=3 m时，计算菜园的面积.
例5：（拓展与提升）若函数y=x2m n-2xm-n 3是以x为自变量的二次函数，求m，n的值.
设计意图：活动、程序、对象可以看作数学知识的三种形态，而图式就是这三种知识形态构成的一种认知结构. 例4体现了二次函数在日常生活中的基本应用，通过练习，学生对概念的理解上升到抽象层面. 同时，体会数学中通过函数建模来解决实际问题的思维方法. 例5考查的是学生对概念的理解运用能力，学生往往能够写出其中的几种答案，但是写全的不多，这里引导学生变换角度思考问题，培养学生分类讨论问题的能力.
（5）课堂小结.
①二次函数的定义.
②二次函数的特殊形式有哪些？一个函数是不是二次函数关键看什么？
课后作业：略.
教学思考
在APOS理论的指导下，“二次函数”的教学案例围绕“活动”“过程”“对象”和“图式”四个阶段实施概念教学，循序渐进，让学生在概念发展的过程中体验、经历生动的思维活动，加深对概念的认识和理解，从而实现概念的建构. 但在运用APOS理论指导数学概念教学时需要注意以下几点.
1. A-P-O-S四阶段是一个相对连续的过程
这四个阶段代表着概念在学生脑海中建立起来的四个阶段，而且是相对连续的过程，不能跳过中间的某个阶段，任何一个阶段都是不可或缺的. 数学概念的建构是从感性到理性、从具体到抽象、从特殊到一般、从简单到复杂的过程，必须遵循循序渐进的原则.
2. 选取合适的问题情境
活动阶段的目的是为了引起学生的兴趣，启动学生的思考. 在这一阶段需要以感性材料为基础，设计的问题情境要注意能提示数学知识的现实背景和形成过程，要适合学生的学习水平和心理建构能力. 因此，在选择问题情境时要关注下列方面：①可以揭示数学概念的背景和形成过程；②能层层挖掘概念；（3）有些趣味性，能引起学生积极参与.
3. 内容的安排要符合学生的“最近发展区”
在安排教学内容时要由易到难，层层递进，符合学生的“最近发展区”. 数学知识有很强的逻辑性，前后知识联系紧密，新知识由旧知识引申、扩展而来，旧知识又能为解决问题服务. 在教学中，教师可以根据学生的差异，帮助学生建立多个递增的“最近发展区”，使教学过程始终有一定的坡度，使学生“跳一跳就能摘到果子”.
[关键词] APOS理论；初中数学；二次函数
什么是APOS理论
APOS理论是近年来美国数学家杜宾斯基在数学教学研究的实践中提出的一种关于概念教学的理论模型，它包括Action（活动阶段），Process（过程阶段），Object（对象阶段）和Scheme（图式阶段）四个阶段. 这四个步骤努力营造学生自觉发现、自主建构与形成概念的特点，它是循序渐进、层层递进的.
APOS理论认为，学生学习数学概念的过程其实是一种自我心理建构的过程，在这个过程中学生只有调整自己的认知结构或者外部的认知结构，使得主客观彼此一致，才能建构新的认知结构. 因此，在数学概念的教学中，教师应努力引导学生经过思维的操作、过程和对象等几个阶段，使学生在自主建构和不断反思的基础上，把概念组成图式，通过同化或顺应的方式，完善自己的知识结构，从而顺利解决问题.
鉴于APOS理论对于数学概念教学的科学性和实用性，笔者就如何进行概念教学作了一些探索. 本文以人教版“二次函数”为载体，谈谈对APOS理论应用于概念教学的一些思考.
教学设计
1. 教材分析
“二次函数”是人教版九年级上册第22章第1节的内容，本节课是在学生学习了变量与函数、一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，引出二次函数的概念. 二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是初中阶段整个函数知识体系中最重要的部分. 它在历年的中考题中占有较大比例，它的学习也为高中阶段的函数学习打下了基础，所以本节内容的教学安排符合学生的认知需求和整个函数体系的自然发展，对培养学生的数学思维有着重要的作用. 而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，为后面学习二次函数的图像、性质及二次函数与一元二次方程的关系等做铺垫，所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用. 另外，通过让学生经历实际问题情境的探究，体验二次函数产生的过程，体会到它是实际生活的产物，并逐步让学生体会怎样建立实际问题的函数模型，培养他们用函数思想分析、解决问题的意识和能力.
2. 教学目标
（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围.
（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力.
（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学生学好数学的愿望与信心.
3. 教学重点及难点
教学重点：对二次函数概念的理解.
教学难点：由实际问题确定二次函数解析式和自变量的取值范围.
4. APOS视角下的教学过程
（1）活动阶段（Action）——创设情境，引入概念.
活动1：（多媒体展示图片）学生观察图片，教师创设问题情境.
篮球运动员投篮、运动场上飞舞的跳绳、花园喷水池喷出的水都会形成一条曲线，这些曲线是什么形状？它们能否用函数关系式来表示？这些曲线有什么性质？这些知识将在本章学习.
活动2：我们学习了一次函数和反比例函数，请同学们思考下面问题的函数关系及表达式.
①正方体的棱长为x，它的表面积为S，那么S与x的关系是什么？
②多边形的对角线d与边数n有什么关系？
③某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系该怎样表示？
设计意图：APOS理论中的“活动阶段”相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段，让学生对概念的形成过程有一个充分体验. 情境的引入是概念建构的起点和生长点，是认识概念的必要条件. 活动1的目的是从生活中的实例出发，引起学生对二次函数的好奇和兴趣. 活动2设置的几个实例，让学生体会引入二次函数概念的实际背景，感受其实际意义，自己动手在实际问题中建立函数模型，列出解析式. 这一环节是对函数概念从抽象到具体，再从具体到抽象的再认识过程，也为后面从解析式中观察、抽象出二次函数的概念做好铺垫.
（2）过程阶段（Process）——抽象概括，表述概念.
问题：观察思考上面列出的三个式子有什么共同点.
归纳总结：一般地，形如y=ax2 bx c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数，其中a，b分别是二次项系数和一次项系数，c是常数项.
对于a≠0这个条件准备采用下面的方式进行处理：
问题1：请指出一般式y=ax2 bx c中的常数、变量、自变量、函数.
问题2：a能否为0？
问题3：b，c能否为0？
练习：下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=x； （2）m=2n2-3n；
（3）y=2x（x-1）； （4）y=-x；
（5）y=（x 3）2-x2； （6）y=3x3 2x2；
（7）y=x-2 1.
设计意图：APOS理论中的“过程阶段”是学生对具体实体进行思维概括并描述得出数学概念的阶段. 学生通过之前的“活动”对二次函数的概念形成了初步的认识，通过类比一次函数和反比例函数的概念形成过程，引导他们学习观察、归纳二次函数的一般形式，理解解析式的特点，并学会用严谨的数学语言来表述. 而对于概念中的关键词a≠0，通过3个小问题解决，并让学生深刻理解：一个函数是不是二次函数的关键是看二次项系数是否为0，而一次项系数和常数项是否为0无所谓. 为了更好地理解二次函数的概念，及时进行辨析是非常必要的. 在练习中⑤是非常容易判断出错的，这里让学生注意“先化简后判断”. （3）对象阶段（Object）——深入理解，剖析概念.
例1：说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项.
①y=-x2 58x-112；
②y=πx2；
③y=x（1 x）.
例2：已知函数y=ax2 bx c.
①当a，b，c是怎样的数时，它是正比例函数？
②当a，b，c是怎样的数时，它是一次函数？
③当a，b，c是怎样的数时，它是二次函数？
例3：m取何值时，下列函数是二次函数？
y=（m 1）xm2-2m-1 （m-3）x m.
设计意图：APOS理论中的“对象阶段”是将过程看作是一个整体，并将其上升为一种意识，作为独立的对象，不断地理解概念的本质. 例1引导学生从中理解二次函数的不同在于a，b，c的不同，为接下来学习二次函数的不同表达形式铺路，打下基础. 例2引导学生注意这里是“函数”而不是“二次函数”，让学生体会系数对函数的影响，认识到研究函数其实就是研究相应系数的变化，这样更能深刻理解二次函数的概念. 例3考查学生是否理解二次函数的概念，看学生是否考虑到自变量的最高次数为2，是否考虑到二次函数有意义的前提条件是二次项系数不为0. 这三道例题由浅入深，循序渐进，不断引导学生理解二次函数的概念.
（4）图式阶段（Scheme）——实际应用，形成图式.
例4：张大爷用20 m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x m，菜园的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围. 当x=3 m时，计算菜园的面积.
例5：（拓展与提升）若函数y=x2m n-2xm-n 3是以x为自变量的二次函数，求m，n的值.
设计意图：活动、程序、对象可以看作数学知识的三种形态，而图式就是这三种知识形态构成的一种认知结构. 例4体现了二次函数在日常生活中的基本应用，通过练习，学生对概念的理解上升到抽象层面. 同时，体会数学中通过函数建模来解决实际问题的思维方法. 例5考查的是学生对概念的理解运用能力，学生往往能够写出其中的几种答案，但是写全的不多，这里引导学生变换角度思考问题，培养学生分类讨论问题的能力.
（5）课堂小结.
①二次函数的定义.
②二次函数的特殊形式有哪些？一个函数是不是二次函数关键看什么？
课后作业：略.
教学思考
在APOS理论的指导下，“二次函数”的教学案例围绕“活动”“过程”“对象”和“图式”四个阶段实施概念教学，循序渐进，让学生在概念发展的过程中体验、经历生动的思维活动，加深对概念的认识和理解，从而实现概念的建构. 但在运用APOS理论指导数学概念教学时需要注意以下几点.
1. A-P-O-S四阶段是一个相对连续的过程
这四个阶段代表着概念在学生脑海中建立起来的四个阶段，而且是相对连续的过程，不能跳过中间的某个阶段，任何一个阶段都是不可或缺的. 数学概念的建构是从感性到理性、从具体到抽象、从特殊到一般、从简单到复杂的过程，必须遵循循序渐进的原则.
2. 选取合适的问题情境
活动阶段的目的是为了引起学生的兴趣，启动学生的思考. 在这一阶段需要以感性材料为基础，设计的问题情境要注意能提示数学知识的现实背景和形成过程，要适合学生的学习水平和心理建构能力. 因此，在选择问题情境时要关注下列方面：①可以揭示数学概念的背景和形成过程；②能层层挖掘概念；（3）有些趣味性，能引起学生积极参与.
3. 内容的安排要符合学生的“最近发展区”
在安排教学内容时要由易到难，层层递进，符合学生的“最近发展区”. 数学知识有很强的逻辑性，前后知识联系紧密，新知识由旧知识引申、扩展而来，旧知识又能为解决问题服务. 在教学中，教师可以根据学生的差异，帮助学生建立多个递增的“最近发展区”，使教学过程始终有一定的坡度，使学生“跳一跳就能摘到果子”.