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在这初夏时分，寻常光阴，捧一杯香茗，翻阅《教学月刊·小学版（数学）》，与作者“对话”，求思维碰撞。一册在手，慢慢地品，细细地读，总会遇见一些美好的文字与有见地的观点，在入眸的瞬间便会心生欢喜，遇见美好。
一、研究错误，遇见另类的美好
学生在学习的过程中出现错误是很正常也很自然的现象，与教学如影随形。我们常常会忽视产生错误的根源，只重视错误的结果。对于学生来说出错证明他们在学习，这是一个学习的必经之路。我们如果能研究学生的错误，将它转化成一种有利的教学资源，为“教学”所用，将会遇见另类的美好。《教学月刊·小学版（数学）》2019年第5期中有三篇文章直接指向对学生错误的研究，给我们很多美好的启示。
开篇《“比例”中的直觉与错误》一文中指出：直觉，是直接得到的感觉，即在经验和已有知识的基础上，不经过逻辑推理而直接迅速地认知事物的思维活动。数学学习过程中的错误往往源于直觉。比如，在回答“一个正方形的边长扩大2倍，那么面积是原来的多少倍”时，有学生会认为是原来的2倍，即遵循直觉的规律边长扩大2倍，面积也扩大2倍。这种被称为“线性A-线性B”的线性误解，是直觉规律导致的错误。文章中还梳理了甜度、表面积、体积等与比例相关的错误。通过阅读这篇文章我们可以得到启示：直觉规律是学生面对特定问题思考的一种方式，教师可以预见学生在面对同类型问题时可能出现的错误反应，并借此调整教学环节，帮助学生学习。
吴丽明老师的《小学数学“直觉性错误”现象及教学策略研究》一文，研究“数与代数”领域中一些典型的直觉性错误案例，展开学生的心理思维诊断分析，并针对不同的错误提出了三大教学策略。第一种针对“数学特征”诱导及心理准备不足的直觉错误，采用“题组训练—对比反思—举一反三”的策略。第二种针对“整数计算固有观念”的错误认知，采用“条件互逆—辨析说理—类比寻源”的策略。第三种针对“凭数字计算“的直觉错误，采用“实施符号化结构—回归原点分析—问题出发推理”的策略。
孙露老师的《学生统计认知错误分析》一文，直指统计中学生的认知错误，通过问卷调查，对统计过程中的错误认知及其产生原因进行了初步探讨。学生在对统计数据分析时会表现出一些共性的错误认知，分别是“读取显示时表现出标题意识的不足与缺乏”“数据比较时对于0数值的忽视”“数据推断时聚焦于数据间的信息读取”“分类和表示数据时存在信息的遗失”“组织、推断数据时表现出平均数统计方面的概念性理解有误”。针对这些共性错误本文作者对教材的编写提出了自己的见解。
三篇文章，无一例外地告诉了我们错误是教学的宝贵资源，错误可以反映出学生学习中的困惑所在，反映出对某些概念的理解障碍。教师可通过有意识地收集整理错例，分析产生错误的原因，以实施有针对性的教学。研究错误，遇见美好。
二、找准目标，收获期待的美好
《本期话题》栏目的五篇文章，都与解决问题相关。随着《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）的修订，各版本教材都对“解决问题”相关内容进行了重新调整，相比原来的教材有了明显的变化。一线教师该如何定位目标，如何实施教学呢？通过对这组文章的阅读可以找到答案。
《小学数学“解决问题”教学目标的拟定与解读》一文，依次对《课标》提出的关于“解决问题”的六条目标进行解读，并针对人教版教材给出一些案例，帮助读者理解。特别赞同文中作者对“发现和提出问题”的论述。目前我们的课堂中确实存在着提供的问题情境比较封闭，信息条件单一，导致学生提出问题缺少挑战，课堂只是“应景”的情况。我们的学生习惯于解决问题，不善于自主发现问题，提出问题。该如何培养学生联系生活实际，结合学习生活经验，用数学的语言表述问题的能力呢？读一读这篇文章，会有启发和收获。
四篇“解决问题”的教学案例，“坐得下吗”侧重阅读理解能力的培养;“用周长解决问题”注重数形结合;“租船问题”重视策略引导;“用方程解决问题”关注回顾与反思。篇篇精彩。通过提出问题—解决问题—回顾梳理这样的基本解决问题路径，培养学生解决问题的能力。在这样的教学过程中，学生也能提出新的问题，继续解决新的问题。教师通过梳理再提问再解决，形成一个循环往复的过程，让学生从“学答”走向“学问”，不仅收获期待的美好，也能收获不经意的美好。
三、厘清关系，期待别样的美好
数学各知识之间存在着这样或那样的关系。只有厘清它们之间的关系，才能真正认清它们的内在联系，明晰知识脉络，构建知识体系。这期有两位大咖发声，帮助我们拨开云雾，厘清关系。
戎松魁老师的《也谈“平行四边形是不是轴对称图形”》一文，探讨了“平行四边形是不是轴对称图形”这个话题。以往我们都认同“平行四边形不是轴对称图形”这个结论，但要让学生理解是个难点，教师通过不断改進教学方式，努力使学生接受。但在戎老师看来，“平行四边形不是轴对称图形”这个结论本身就是错误的。平行四边形的定义是：“两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形。”由此可知，长方形、正方形、菱形都是平行四边形。关系厘清了，结论也就明晰了。这些图形都能找到对称轴，也就是说，有一些平行四边形是轴对称图形。该如何教学呢？戎老师也给出了建议：可以先复习平行四边形的概念，明晰长方形、正方形、菱形也是平行四边形，这是研究平行四边形是不是轴对称图形的基础。然后操作各种平行四边形纸片，有些对折后可以重合，有些不管怎么对折都不能重合。通过实践操作，得到正确的研究结果：有些平行四边形是轴对称图形，有些平行四边形不是轴对称图形。
章勤琼博士的《“ABBABB……”和“AABAAB……”的规律是一样的吗》一文，对规律相关的概念进行了梳理。“规律是事物之间的内在的本质联系。这种联系不断重复出现，在一定条件下经常起作用，并且决定着事物必然向着某种趋向发展。规律是客观存在的，是不以人们的意志为转移的，但人们能够通过实践认识它、利用它，也叫法则。”从中可以看出，“本质”“客观”“不以人们的意志为转移”是“规律”的基本属性。此外，“经常起作用”“决定着某种趋向发展”而且“通过实践认识它、利用它”，应当是“规律”的重要特征。如果以这样的标准来看，正如张奠宙教授提到的，在小学数学“找规律”的情境中，像“后面一个应是什么”这样的问题中的“应”字是不妥当的，这意味着找的规律只有一种，但事实上，我们还可以找到许多其他的规律，也完全可以说得通。实际上，找规律问题是一个开放的问题。任何一个有限序列，都可以生成无限多种规律，认为只有一个规律，推断出“必须是什么”和“应该是什么”，把开放题封闭成只有唯一答案的题目，在数学上是不对的。因此章博士给出了两点教学建议：第一，将教学重心从寻找既定的“客观规律”转为探索可能的“重复模式”。第二，在教学中突出三个重点：发现重复的模式;表达重复的模式;找到现实的模型。
两篇文章都从厘清概念出发，感受知识的联系，明晰知识的异同，把握知识的核心。这也给我们一线教师一个建议，在讨论争议性问题时，多从核心概念出发，厘清关系，才能抓住问题本身，收获教学的美好。
本期好文还有很多，例如六个不同的教学设计给了我们操作的实例。特级教师刘善娜一直致力于探究性作业的研究，读一读她的《探究性作业：推进人教版六年级下册总复习的一种有效教学方法》定会给大家启示，感悟探究的美好。我们总说世界变得太快，让我们目不暇接，总觉得快节奏才是现代社会，有时候我们的教学也变得太快，常常会让我们忘了初心。阅读能让我们回归，让我们能静下心来思考。感谢2019年第5期的所有作者。让我们视野开阔、不断学习、不断思考，遇见美好！
（浙江省杭州市崇文世纪城实验学校
一、研究错误，遇见另类的美好
学生在学习的过程中出现错误是很正常也很自然的现象，与教学如影随形。我们常常会忽视产生错误的根源，只重视错误的结果。对于学生来说出错证明他们在学习，这是一个学习的必经之路。我们如果能研究学生的错误，将它转化成一种有利的教学资源，为“教学”所用，将会遇见另类的美好。《教学月刊·小学版（数学）》2019年第5期中有三篇文章直接指向对学生错误的研究，给我们很多美好的启示。
开篇《“比例”中的直觉与错误》一文中指出：直觉，是直接得到的感觉，即在经验和已有知识的基础上，不经过逻辑推理而直接迅速地认知事物的思维活动。数学学习过程中的错误往往源于直觉。比如，在回答“一个正方形的边长扩大2倍，那么面积是原来的多少倍”时，有学生会认为是原来的2倍，即遵循直觉的规律边长扩大2倍，面积也扩大2倍。这种被称为“线性A-线性B”的线性误解，是直觉规律导致的错误。文章中还梳理了甜度、表面积、体积等与比例相关的错误。通过阅读这篇文章我们可以得到启示：直觉规律是学生面对特定问题思考的一种方式，教师可以预见学生在面对同类型问题时可能出现的错误反应，并借此调整教学环节，帮助学生学习。
吴丽明老师的《小学数学“直觉性错误”现象及教学策略研究》一文，研究“数与代数”领域中一些典型的直觉性错误案例，展开学生的心理思维诊断分析，并针对不同的错误提出了三大教学策略。第一种针对“数学特征”诱导及心理准备不足的直觉错误，采用“题组训练—对比反思—举一反三”的策略。第二种针对“整数计算固有观念”的错误认知，采用“条件互逆—辨析说理—类比寻源”的策略。第三种针对“凭数字计算“的直觉错误，采用“实施符号化结构—回归原点分析—问题出发推理”的策略。
孙露老师的《学生统计认知错误分析》一文，直指统计中学生的认知错误，通过问卷调查，对统计过程中的错误认知及其产生原因进行了初步探讨。学生在对统计数据分析时会表现出一些共性的错误认知，分别是“读取显示时表现出标题意识的不足与缺乏”“数据比较时对于0数值的忽视”“数据推断时聚焦于数据间的信息读取”“分类和表示数据时存在信息的遗失”“组织、推断数据时表现出平均数统计方面的概念性理解有误”。针对这些共性错误本文作者对教材的编写提出了自己的见解。
三篇文章，无一例外地告诉了我们错误是教学的宝贵资源，错误可以反映出学生学习中的困惑所在，反映出对某些概念的理解障碍。教师可通过有意识地收集整理错例，分析产生错误的原因，以实施有针对性的教学。研究错误，遇见美好。
二、找准目标，收获期待的美好
《本期话题》栏目的五篇文章，都与解决问题相关。随着《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）的修订，各版本教材都对“解决问题”相关内容进行了重新调整，相比原来的教材有了明显的变化。一线教师该如何定位目标，如何实施教学呢？通过对这组文章的阅读可以找到答案。
《小学数学“解决问题”教学目标的拟定与解读》一文，依次对《课标》提出的关于“解决问题”的六条目标进行解读，并针对人教版教材给出一些案例，帮助读者理解。特别赞同文中作者对“发现和提出问题”的论述。目前我们的课堂中确实存在着提供的问题情境比较封闭，信息条件单一，导致学生提出问题缺少挑战，课堂只是“应景”的情况。我们的学生习惯于解决问题，不善于自主发现问题，提出问题。该如何培养学生联系生活实际，结合学习生活经验，用数学的语言表述问题的能力呢？读一读这篇文章，会有启发和收获。
四篇“解决问题”的教学案例，“坐得下吗”侧重阅读理解能力的培养;“用周长解决问题”注重数形结合;“租船问题”重视策略引导;“用方程解决问题”关注回顾与反思。篇篇精彩。通过提出问题—解决问题—回顾梳理这样的基本解决问题路径，培养学生解决问题的能力。在这样的教学过程中，学生也能提出新的问题，继续解决新的问题。教师通过梳理再提问再解决，形成一个循环往复的过程，让学生从“学答”走向“学问”，不仅收获期待的美好，也能收获不经意的美好。
三、厘清关系，期待别样的美好
数学各知识之间存在着这样或那样的关系。只有厘清它们之间的关系，才能真正认清它们的内在联系，明晰知识脉络，构建知识体系。这期有两位大咖发声，帮助我们拨开云雾，厘清关系。
戎松魁老师的《也谈“平行四边形是不是轴对称图形”》一文，探讨了“平行四边形是不是轴对称图形”这个话题。以往我们都认同“平行四边形不是轴对称图形”这个结论，但要让学生理解是个难点，教师通过不断改進教学方式，努力使学生接受。但在戎老师看来，“平行四边形不是轴对称图形”这个结论本身就是错误的。平行四边形的定义是：“两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形。”由此可知，长方形、正方形、菱形都是平行四边形。关系厘清了，结论也就明晰了。这些图形都能找到对称轴，也就是说，有一些平行四边形是轴对称图形。该如何教学呢？戎老师也给出了建议：可以先复习平行四边形的概念，明晰长方形、正方形、菱形也是平行四边形，这是研究平行四边形是不是轴对称图形的基础。然后操作各种平行四边形纸片，有些对折后可以重合，有些不管怎么对折都不能重合。通过实践操作，得到正确的研究结果：有些平行四边形是轴对称图形，有些平行四边形不是轴对称图形。
章勤琼博士的《“ABBABB……”和“AABAAB……”的规律是一样的吗》一文，对规律相关的概念进行了梳理。“规律是事物之间的内在的本质联系。这种联系不断重复出现，在一定条件下经常起作用，并且决定着事物必然向着某种趋向发展。规律是客观存在的，是不以人们的意志为转移的，但人们能够通过实践认识它、利用它，也叫法则。”从中可以看出，“本质”“客观”“不以人们的意志为转移”是“规律”的基本属性。此外，“经常起作用”“决定着某种趋向发展”而且“通过实践认识它、利用它”，应当是“规律”的重要特征。如果以这样的标准来看，正如张奠宙教授提到的，在小学数学“找规律”的情境中，像“后面一个应是什么”这样的问题中的“应”字是不妥当的，这意味着找的规律只有一种，但事实上，我们还可以找到许多其他的规律，也完全可以说得通。实际上，找规律问题是一个开放的问题。任何一个有限序列，都可以生成无限多种规律，认为只有一个规律，推断出“必须是什么”和“应该是什么”，把开放题封闭成只有唯一答案的题目，在数学上是不对的。因此章博士给出了两点教学建议：第一，将教学重心从寻找既定的“客观规律”转为探索可能的“重复模式”。第二，在教学中突出三个重点：发现重复的模式;表达重复的模式;找到现实的模型。
两篇文章都从厘清概念出发，感受知识的联系，明晰知识的异同，把握知识的核心。这也给我们一线教师一个建议，在讨论争议性问题时，多从核心概念出发，厘清关系，才能抓住问题本身，收获教学的美好。
本期好文还有很多，例如六个不同的教学设计给了我们操作的实例。特级教师刘善娜一直致力于探究性作业的研究，读一读她的《探究性作业：推进人教版六年级下册总复习的一种有效教学方法》定会给大家启示，感悟探究的美好。我们总说世界变得太快，让我们目不暇接，总觉得快节奏才是现代社会，有时候我们的教学也变得太快，常常会让我们忘了初心。阅读能让我们回归，让我们能静下心来思考。感谢2019年第5期的所有作者。让我们视野开阔、不断学习、不断思考，遇见美好！
（浙江省杭州市崇文世纪城实验学校