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【摘要】“数学运算”是指在解题过程中，对运算的对象、法则、思路、方法的理解、掌握、探究和选择.本文从“数学运算”核心素养的内涵出发，结合高中生运算水平现状，从解析几何的运算谈如何优化运算.
【关键词】高中数学;数学运算;内涵;现状;优化运算
【基金项目】本文系福建省教育科学“十三五”规划2020年度课题“灵动课堂理念下的高中数学教学研究与实践”（项目编号：FJJKXB20-870）的研究成果
“数学运算”并不是简单的数学计算能力，它反映了一名学生的综合能力.“数学运算”是数学学科核心素养的六个构成要素之一，它几乎贯串其他五个数学核心素养中，是高考中考查比例最大的一个核心素养.
一、“数学运算”核心素养的内涵
“数学运算”意味着在解决问题的过程中，选择适当的算法来解决数学问题的核心水平.它主要包含：清晰计算对象，了解操作算法，利用运算思想，确定操作方法，设计计算过程，找到操作的结果.高中数学课程旨在从多角度标准化中培养学生的数学思维，并可以有效解决实际问题.“数学运算”是解决数学问题的基本途径.因此，在教学中，教师应该注意如何更好地提高学生的“数学运算”素养.
二、高中生运算水平现状
部分学生在学习数学时对数学运算不重视，只注重解题思路方法的探索.比如，解析几何中的求圆锥曲线的弦长，有些学生思路会了就放弃具体运算，结果到了真正运算时，往往因为弦长运算公式的选取缺乏合理性导致计算量偏大，还有些学生因为一个符号或坐标的出错，导致整道题算错.久而久之，很多学生出现解题思路清晰，解题时过多地依赖口算、心算，不愿意在草纸上动笔，结果极容易失误.一旦遇到解析几何中运算量比较大的复杂运算，就产生畏惧心理和不自信心理，经常是一个题目拿到手，不知从何入手开始运算，于是开始依赖计算器和“小猿搜题”等软件，图省事、求快速，不愿自己动脑动手.在数学解题中，有些学生在解题时稍微遇到难一点的运算就没勇气往下算，还有些学生在运算过程中，书写潦草，导致运算出错，运算结束后，缺乏对运算结果的检查、检验过程，导致不能及时发现并改正错误.解题后，学生不善于归纳、总结、反思解题运算的方法技巧，没有思维的发散性，对于能一题多解的问题，只能找到比较常规的解法，没法寻求更简便的运算途径，不去选取更合理的运算策略，运算过程烦琐笨拙，从而导致运算失误或缓慢，必然导致正确率下降，进而打击了学习的积极性.
由于高中数学内容多、课时少，导致教学任务繁重，部分教师对数学运算的理解不到位，在课堂上只注重解题思路和方法的探求，忽视对具体运算过程的示范、引领、指导和要求，很少给学生预留当堂完成运算求解的时间和机会，这就不能及时发现并指正学生的运算错误.而对于学生作业和考试中的运算错误，由于教师缺乏重视，只是让学生自己核对答案并订正，很多学生忙于完成大量的作业，并没有真正将订正落实到位，学生的运算能力自然下降.
三、提高高中生数学运算能力的具体实践
无算不成数学题，要有不怕算的思想.高中生的数学计算能力就是能够按照题目的条件、待求等，探求与设计合理的运算路径，在兼顾计算方法的技巧性和计算速度的快捷性的同时，保证计算结果的准确性.算理就是计算过程中的原理，是解决为何这样算的问题.比如，有的同学看到二次方程就用韦达定理，但是没有判别式作保证，算理不对就会使计算结果失去意义.当然，我们还希望简捷，能两步求解就不要搞成三步、四步，多想少算、优算肯定是上策，在运算以前尽量考虑多种可能的方案，比较彼此的优劣，像下围棋一样，走一步要想好后面的几步，所谓“磨刀不误砍柴工”，这就需要解法的设计.拿到题后没有斟酌直接计算，很容易误入歧途，特别是运算比较复杂的问题，运算在求解解析几何问题中的地位大家都是清楚的，那么该如何优化运算呢？
1.优化常规动作
例1 已知点P是圆Q：（x 2）2 y2=32上任意一点，定点R（2，0），线段PR的中垂线与半径PQ相交于M点，点P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为E.若点N在双曲线x24-y22=1（顶点除外）上运动，过点N，R的直线与曲线E相交于A，B，过点N，Q的直线与曲线E相交于C，D，请问：|AB| |CD|是否为定值（说明理由）？
问题分析：这是一道常规的涉及圆锥曲线的弦长的问题，学生基本上按部就班求解即可.易求点M的运动轨迹方程为x28 y24=1①，设直线AB的方程为y=k1（x-2）=2②，联立①②消元得（2k21 1）x2-8k21x 8k21-8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1 x2=8k212k21 1，x1x2=8k21-82k21 1，可以求出
AB= 1 k21· x1 x22-4x1x2
= 1 k21· 8k212k21 12-4·8k21-82k21 1=42（k21 1）2k21 1.（*）
然而，在许多情况下，联立圆锥曲线方程与直线方程消元后得到的一元二次方程的系数都含有参数，利用韦达定理求弦长，计算量都不小.如果用AB= 1 k21 Δa= 1 k21 -8k212-4（2k21 1）8k21-82k21 1=42（k21 1）2k21 1求解，可以发现利用韦达定理实实在在是绕了一大圈，前面写出的韦达定理没有任何作用，这个步骤的优化，可以减少含参数的式子的化简，减少出错的概率.
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22，过左顶点A的直线l与椭圆交于另一点B.若|AB|=43，求直线l的倾斜角.
问題分析：这个问题也与弦长问题有关，容易求得椭圆方程为x22 y2=1.很多学生设直线l的方程为y=kx 2，代入椭圆方程，得到（2k2 1）x2 42k2x 4k2-2=0，不管是直接用韦达定理代入弦长公式AB= 1 k2· x1 x22-4x1x2，或是利用公式AB=1 k2Δa求解，计算量都不小，但是，如果能发现本题中一元二次方程中有一个根是-2，则有-2 xB=-42k22k2 1，就容易求得另外一个根为xB=2-22k22k2 1，则AB= 1 k2xA-xB=1 k2·222k2 1=43，这样运算就可以减少计算量.这就需要学生突破常规，在熟练运算中养成“常规动作”的好习惯，灵活选取最适合的弦长公式解题，优化步骤才能保证解题质量.又如，设直线方程时方程形式的选取，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y=kx b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”;若直线经过的定点在横轴上，一般设为x=my n可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”. 2.优化运算对象
例3 已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若AP=3PB，求|AB|.
问题分析：大部分学生看到这个题目，就是设直线l：y=32x t，A（x1，y1），B（x2，y2），P（p，0）.由AP=3PB，学生往往想到的是利用向量的模长的倍数关系PA=3PB，或者是利用p-x1，-y1=3p-x2，-y2去处理，不管是用哪种方法，计算都比较烦琐.如果把向量的倍数关系结合相似三角形就可以转化为坐标的倍数关系y1=-3y2，从而减少计算量.
例4 过抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2.若抛物线C上存在点M（-2，y0），使得MA⊥MB，求直线l的方程.
问题分析：对已知条件“MA⊥MB”，学生容易想到直线MA与MB的斜率之积为-1，可是在解题过程中往往忽略对直线斜率不存在这种情况的讨论.注意运算对象MA⊥MB，从向量角度看，两直线互相垂直等价于直线的方向向量互相垂直，利用MA·MB=0的坐标运算就可以避免分类讨论，达到简便解题的效果.
“多想”，优化运算对象是比计算更重要的事情，如果方向不对、路径不对、解题跑偏，无疑是考试中的 “灾难”.
3.同构减少运算
例5 如图，已知椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|=4.若|AB| |CD|=487，求直线AB的方程.
问题分析：易求椭圆方程为x24 y23=1，且由题易知弦AB与CD所在直线的斜率均存在且不为0，
设直线AB的方程为y=k（x-1），B（x1，y1），A（x2，y2），则直線CD的方程为y=-1k（x-1）.
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得
（3 4k2）x2-8k2x 4k2-12=0，则x1 x2=8k23 4k2，x1·x2=4k2-123 4k2，
所以|AB|=k2 1|x1-x2|=k2 1·（x1 x2）2-4x1x2=12（k2 1）3 4k2.
在求CD时，由于直线AB与CD都是经过点F的弦，在图形的构成中，唯一不同的只有斜率，所以这个过程无须再算，只要把弦AB的运算结果中的k直接换成-1k就可以得到，|CD|=121k2 13 4k2=12（k2 1）3k2 4.从而求得k值，得到直线AB的方程.
例1求解CD时，可以发现直线CD的方程y=k2（x 2）与直线AB的方程y=k1（x-2）有相同的结构特征，而±2的符号差异在利用弦长公式CD=1 k2·x1 x22-4x1x2求解时，会因为（x1 x2）2的作用而消除，利用同构性直接把*中的k1换成k2，得CD=42（k22 1）2k22 1.其本质是直线AB，CD的几何意义完全一致，代数形式自然表示出同构的特点.如果题目中出现对称、对等条件，就可以考虑用同构法减少计算量.
在数学教学中，学生计算能力的培养有待加强，对于高中生来说，解题思路的获取、解题方法的选择、数学工具（参数方程、向量等）的运用等，都是考查学生对知识的综合运用能力和数学方法优化的能力，它有利于学生数学核心素养的培养和形成.
【参考文献】
[1]邱婉珠，周仕荣.从“三角与三角函数”考点看高考中的“数学运算”核心素养：以2016—2019四年高考理科全国卷Ⅰ卷为例[J].数学通报，2020（02）：49-54.
[2]詹长青.基于高中学生数学运算的现状调查与研究[J].中学数学教学参考，2019（13）：67-71.
[3]曹凤山.高中数学解题研究（第12辑：曹凤山讲怎样解题）[M].杭州：浙江大学出版社，2020.
【关键词】高中数学;数学运算;内涵;现状;优化运算
【基金项目】本文系福建省教育科学“十三五”规划2020年度课题“灵动课堂理念下的高中数学教学研究与实践”（项目编号：FJJKXB20-870）的研究成果
“数学运算”并不是简单的数学计算能力，它反映了一名学生的综合能力.“数学运算”是数学学科核心素养的六个构成要素之一，它几乎贯串其他五个数学核心素养中，是高考中考查比例最大的一个核心素养.
一、“数学运算”核心素养的内涵
“数学运算”意味着在解决问题的过程中，选择适当的算法来解决数学问题的核心水平.它主要包含：清晰计算对象，了解操作算法，利用运算思想，确定操作方法，设计计算过程，找到操作的结果.高中数学课程旨在从多角度标准化中培养学生的数学思维，并可以有效解决实际问题.“数学运算”是解决数学问题的基本途径.因此，在教学中，教师应该注意如何更好地提高学生的“数学运算”素养.
二、高中生运算水平现状
部分学生在学习数学时对数学运算不重视，只注重解题思路方法的探索.比如，解析几何中的求圆锥曲线的弦长，有些学生思路会了就放弃具体运算，结果到了真正运算时，往往因为弦长运算公式的选取缺乏合理性导致计算量偏大，还有些学生因为一个符号或坐标的出错，导致整道题算错.久而久之，很多学生出现解题思路清晰，解题时过多地依赖口算、心算，不愿意在草纸上动笔，结果极容易失误.一旦遇到解析几何中运算量比较大的复杂运算，就产生畏惧心理和不自信心理，经常是一个题目拿到手，不知从何入手开始运算，于是开始依赖计算器和“小猿搜题”等软件，图省事、求快速，不愿自己动脑动手.在数学解题中，有些学生在解题时稍微遇到难一点的运算就没勇气往下算，还有些学生在运算过程中，书写潦草，导致运算出错，运算结束后，缺乏对运算结果的检查、检验过程，导致不能及时发现并改正错误.解题后，学生不善于归纳、总结、反思解题运算的方法技巧，没有思维的发散性，对于能一题多解的问题，只能找到比较常规的解法，没法寻求更简便的运算途径，不去选取更合理的运算策略，运算过程烦琐笨拙，从而导致运算失误或缓慢，必然导致正确率下降，进而打击了学习的积极性.
由于高中数学内容多、课时少，导致教学任务繁重，部分教师对数学运算的理解不到位，在课堂上只注重解题思路和方法的探求，忽视对具体运算过程的示范、引领、指导和要求，很少给学生预留当堂完成运算求解的时间和机会，这就不能及时发现并指正学生的运算错误.而对于学生作业和考试中的运算错误，由于教师缺乏重视，只是让学生自己核对答案并订正，很多学生忙于完成大量的作业，并没有真正将订正落实到位，学生的运算能力自然下降.
三、提高高中生数学运算能力的具体实践
无算不成数学题，要有不怕算的思想.高中生的数学计算能力就是能够按照题目的条件、待求等，探求与设计合理的运算路径，在兼顾计算方法的技巧性和计算速度的快捷性的同时，保证计算结果的准确性.算理就是计算过程中的原理，是解决为何这样算的问题.比如，有的同学看到二次方程就用韦达定理，但是没有判别式作保证，算理不对就会使计算结果失去意义.当然，我们还希望简捷，能两步求解就不要搞成三步、四步，多想少算、优算肯定是上策，在运算以前尽量考虑多种可能的方案，比较彼此的优劣，像下围棋一样，走一步要想好后面的几步，所谓“磨刀不误砍柴工”，这就需要解法的设计.拿到题后没有斟酌直接计算，很容易误入歧途，特别是运算比较复杂的问题，运算在求解解析几何问题中的地位大家都是清楚的，那么该如何优化运算呢？
1.优化常规动作
例1 已知点P是圆Q：（x 2）2 y2=32上任意一点，定点R（2，0），线段PR的中垂线与半径PQ相交于M点，点P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为E.若点N在双曲线x24-y22=1（顶点除外）上运动，过点N，R的直线与曲线E相交于A，B，过点N，Q的直线与曲线E相交于C，D，请问：|AB| |CD|是否为定值（说明理由）？
问题分析：这是一道常规的涉及圆锥曲线的弦长的问题，学生基本上按部就班求解即可.易求点M的运动轨迹方程为x28 y24=1①，设直线AB的方程为y=k1（x-2）=2②，联立①②消元得（2k21 1）x2-8k21x 8k21-8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1 x2=8k212k21 1，x1x2=8k21-82k21 1，可以求出
AB= 1 k21· x1 x22-4x1x2
= 1 k21· 8k212k21 12-4·8k21-82k21 1=42（k21 1）2k21 1.（*）
然而，在许多情况下，联立圆锥曲线方程与直线方程消元后得到的一元二次方程的系数都含有参数，利用韦达定理求弦长，计算量都不小.如果用AB= 1 k21 Δa= 1 k21 -8k212-4（2k21 1）8k21-82k21 1=42（k21 1）2k21 1求解，可以发现利用韦达定理实实在在是绕了一大圈，前面写出的韦达定理没有任何作用，这个步骤的优化，可以减少含参数的式子的化简，减少出错的概率.
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22，过左顶点A的直线l与椭圆交于另一点B.若|AB|=43，求直线l的倾斜角.
问題分析：这个问题也与弦长问题有关，容易求得椭圆方程为x22 y2=1.很多学生设直线l的方程为y=kx 2，代入椭圆方程，得到（2k2 1）x2 42k2x 4k2-2=0，不管是直接用韦达定理代入弦长公式AB= 1 k2· x1 x22-4x1x2，或是利用公式AB=1 k2Δa求解，计算量都不小，但是，如果能发现本题中一元二次方程中有一个根是-2，则有-2 xB=-42k22k2 1，就容易求得另外一个根为xB=2-22k22k2 1，则AB= 1 k2xA-xB=1 k2·222k2 1=43，这样运算就可以减少计算量.这就需要学生突破常规，在熟练运算中养成“常规动作”的好习惯，灵活选取最适合的弦长公式解题，优化步骤才能保证解题质量.又如，设直线方程时方程形式的选取，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y=kx b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”;若直线经过的定点在横轴上，一般设为x=my n可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”. 2.优化运算对象
例3 已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若AP=3PB，求|AB|.
问题分析：大部分学生看到这个题目，就是设直线l：y=32x t，A（x1，y1），B（x2，y2），P（p，0）.由AP=3PB，学生往往想到的是利用向量的模长的倍数关系PA=3PB，或者是利用p-x1，-y1=3p-x2，-y2去处理，不管是用哪种方法，计算都比较烦琐.如果把向量的倍数关系结合相似三角形就可以转化为坐标的倍数关系y1=-3y2，从而减少计算量.
例4 过抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2.若抛物线C上存在点M（-2，y0），使得MA⊥MB，求直线l的方程.
问题分析：对已知条件“MA⊥MB”，学生容易想到直线MA与MB的斜率之积为-1，可是在解题过程中往往忽略对直线斜率不存在这种情况的讨论.注意运算对象MA⊥MB，从向量角度看，两直线互相垂直等价于直线的方向向量互相垂直，利用MA·MB=0的坐标运算就可以避免分类讨论，达到简便解题的效果.
“多想”，优化运算对象是比计算更重要的事情，如果方向不对、路径不对、解题跑偏，无疑是考试中的 “灾难”.
3.同构减少运算
例5 如图，已知椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|=4.若|AB| |CD|=487，求直线AB的方程.
问题分析：易求椭圆方程为x24 y23=1，且由题易知弦AB与CD所在直线的斜率均存在且不为0，
设直线AB的方程为y=k（x-1），B（x1，y1），A（x2，y2），则直線CD的方程为y=-1k（x-1）.
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得
（3 4k2）x2-8k2x 4k2-12=0，则x1 x2=8k23 4k2，x1·x2=4k2-123 4k2，
所以|AB|=k2 1|x1-x2|=k2 1·（x1 x2）2-4x1x2=12（k2 1）3 4k2.
在求CD时，由于直线AB与CD都是经过点F的弦，在图形的构成中，唯一不同的只有斜率，所以这个过程无须再算，只要把弦AB的运算结果中的k直接换成-1k就可以得到，|CD|=121k2 13 4k2=12（k2 1）3k2 4.从而求得k值，得到直线AB的方程.
例1求解CD时，可以发现直线CD的方程y=k2（x 2）与直线AB的方程y=k1（x-2）有相同的结构特征，而±2的符号差异在利用弦长公式CD=1 k2·x1 x22-4x1x2求解时，会因为（x1 x2）2的作用而消除，利用同构性直接把*中的k1换成k2，得CD=42（k22 1）2k22 1.其本质是直线AB，CD的几何意义完全一致，代数形式自然表示出同构的特点.如果题目中出现对称、对等条件，就可以考虑用同构法减少计算量.
在数学教学中，学生计算能力的培养有待加强，对于高中生来说，解题思路的获取、解题方法的选择、数学工具（参数方程、向量等）的运用等，都是考查学生对知识的综合运用能力和数学方法优化的能力，它有利于学生数学核心素养的培养和形成.
【参考文献】
[1]邱婉珠，周仕荣.从“三角与三角函数”考点看高考中的“数学运算”核心素养：以2016—2019四年高考理科全国卷Ⅰ卷为例[J].数学通报，2020（02）：49-54.
[2]詹长青.基于高中学生数学运算的现状调查与研究[J].中学数学教学参考，2019（13）：67-71.
[3]曹凤山.高中数学解题研究（第12辑：曹凤山讲怎样解题）[M].杭州：浙江大学出版社，2020.