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中考改卷一直以来都是项“苦差事”︰劳动强度大，压力大。但今年的中考改卷却让我体会到了别样的“甜味”，学生们精彩的解法，带给我更多的是思考。现与大家共同分享改卷的收获。
此题来源于宁波市2013年数学中考的第26题中的第2小题（2）。原题为：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD.过P，D，B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时
求证：∠BDE=∠ADP
设DE=x，DF=y，请求出y关于x的函数解析式
通过改卷，思考，除了答案提供的方法外，整理了如下几种比较典型的方法来解决第2小题的（2）问。
方法一︰设元
由于此题可供选择的“元”较多，故学生的作答也是五花八门。
第1种：设∠ADP=ɑ，但相同的元，学生的转化过程也是精彩分成：
考生1：如图1连结EP，设∠ADP=ɑ，则∠BDE=ɑ，∠EPB=ɑ，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°∵∠DPB=∠ADP ∠A∴∠DPB=ɑ 45°，∴∠DPE=45°∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：在复杂图形的背景下，考生1利用了第2小题（1）中的结论，同时想到在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等及三角形的外内角关系，从而直接发现了关键角∠DFE=∠A=45°，方法简洁明了。
考生2：如图2，设∠ADP=ɑ，则∠BDE=ɑ∴弧EFB=2ɑ，∵AO=BO，∠AOB=90°∴∠A=45°，∵∠DPB=∠ADP ∠A∴∠DPB=45° ɑ∴弧DEB=90° 2ɑ，∴弧ED=90°，∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：考生2充分利用了第2小题（1）中的结论，利用三角形的内外角关系及圆周角与所对弧之间的关系，发现弧ED的度数在点P的运动过程中始终保持不变，这种方法让人眼前一亮。
考生3：连结EQ，并延长交AB于K，连结EP，PF设∠ADP=ɑ，则∠BDE=ɑ∴∠EPB=ɑ，∠EFP=ɑ∴弧EB=弧PE∵Q为圆心∴EK⊥PB∵AO=BO，∠AOB=90°∴∠A=45°∴∠AEK=45°∵DQ=EQ∴∠EDQ=45°∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：考生3具有扎实的功底，垂径定理的逆定理，圆的半径相等，圆内各个角的关系利用非常充分。
考生4：如图2，设∠ADP=ɑ，则∠BDE=ɑ，∴∠PDB=180°-2ɑ，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°，，∴∠APD=135°-ɑ，∠DPB=45° ɑ，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=∠DBF=90°，∵∠PDE ∠DEF ∠EFB ∠FBP ∠DPB=540°，∴∠EFB=180°-ɑ，∠DFB=135°-ɑ∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
考生5：如图2，设∠ADP=ɑ，则∠BDE=ɑ，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°，∴∠DPB=45° ɑ，∵∠DPB ∠DFB=180°，∴∠DFB=135°-ɑ，∵∠EFB ∠BDE=180°，∴∠EFB=180°-ɑ∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评︰虽然笔者认为这两种方法从过程上看比考生1的方法来得繁琐，但能在考试这么短时间内想到用一个角表示出与之相关的这么多角，从而算出关键角∠DFE=45°，足以显示学生的功力深厚。同时我也在思考：我们在讲解九上3.4圆周角的课后练习题6后，能让优秀生在课后了解圆内接四边形的性质，可以扩展学生的视野！
第2种设∠DCQ=β
考生6：如图4，连结BQ，BE，设∠DCQ=β，∵AO=BO，∠AOB=90°，
∴∠A=∠ABO=45°，∠CDO=∠BDO=90°-β∴∠CPB=135°-β，∵∠DPB ∠DEB=180°
∴∠DEB=45° β，∴∠DQB=90° 2β，∵DQ=BQ∴∠QDB=45°-β，∴∠EDF=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
考生7：如图4，连结BQ，BE，设∠DCQ=β，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=∠ABO=45°，∴∠CPB=135°-β，∠DBA=45°-β，∵∠DPB ∠DEB=180°∴∠DEB=45° β，∴∠DQB=90° 2β，∵DQ=BQ∴∠QDB=45°-β∴DF∥AB∴∠EDF=∠A=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：考生6，7设的元相同，与上面考生的基本思路相同，但比前面考生多想到了一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
第3种设∠DBP=θ，
考生8：如图1，连结PE，设∠DBP=θ，则∠DEP=θ，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°∵∠EPB=∠AEP ∠A∴∠EPB=45° θ，∵∠EDB=∠EPB=∠ADP，∠DPB=∠ADP ∠A∴45° θ 45°=∠DPE 45° θ，即∠DPE=45°∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x 点评：考生8与考生1只是设的元不同，但利用的知识点相同。不同的元有不同的解题方法，所以在平时解题中要鼓励学生多思，多想。
反思：《义务教育数学课程标准（2011年版）》，明确指出：“要发展学生的符号意识。符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表示和进行数学思考的重要形式”。这就要求我们在平时的教学过程中多让学生从“用字母表示数”到字母表示未知元，把数学的思想方法进行推广，学生的思路将大大扩展。当然此题中除了上面的7种典型设法以外，还可以设∠PDB，设∠APD等，也可以多设几个元，因为所用到知识点相同故不重复。
方法二：相似
考生9：如图1，连结PE，∵AO=BO，∠AOB=90°∴∠A=45°，∵∠EDB=∠ADP∴∠ADB=∠PDE，∵∠EDP=∠DBA∴△ADB∽△PDE，∴∠A=∠DPE=45°，∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：考生9充分利用了第2小题（1）中的结论，并想到等量加等量其和相等，得∠ADB=∠PDE，同时利用在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，进而发现相似，发现关键角∠DFE=∠A=45°，说明要充分利用条件。尤其是前后两小题，在同个条件下，第（1）小题的结论要利用好。
考生10：如图5，连结BE，PE，PE交CB于G，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=∠ABO=45°∵∠DPB=∠ADP ∠A，∠DPB=∠DPE ∠EPB，∠ADP=∠BDE=∠EPB∴∠DPE=∠A=∠ABO=45°∵∠EGB=∠ABO ∠EPB∴∠EGB=∠DPB，∵∠PDB=∠PEB∴△DPB∽△EGB∴∠PBD=∠GBE∴∠ABO=∠DBE=45°，∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=
90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：由于受考场时间限制，考试心理的影响，考生10在求出∠DPE=45°后，未直接得∠DBE=45°，虽然有点绕圈，但能想到构造相似三角形求关键角还是值得肯定。虽然在改卷过程还有考生已经得到∠DPE=45°后，还证明△CPG∽△CBP，在得∠DPE=45°，但学生能想到相似证角相等，都是值得表扬的。
考生11：如图6，连结BE，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=∠ABO=45°∵D，P，B，E四点共圆，∴∠APD=∠BED∵∠ADP=∠BDE∴△ADP∽△BDE∴∠A=∠DBE=45°，∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
考生12：如图7，过D作DH⊥AB，垂足为H，∵DF为⊙Q的直径∴∠DBF=90°
∠DBF=∠DHP∵D，P，B，F四点共圆，∴∠APD=∠BFD∴△DHP∽△DBF
∴∠HDP=∠BDF∵∠ADP=∠BDE∴∠ADH=∠EDF∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°，∵DH⊥AB∴∠ADH=45°，∠EDF=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90o，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
考生13：如图8，延长AB，EF交点M，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°，∴∠A=∠AME=45°，AE=EM∵D，P，B，E四点共圆，∴∠BDE=∠BFM，∵∠ADP=∠BDE∴∠ADP=∠BFM∴△ADP∽△MFB∴∠APD=∠FBM∴∠PDB=∠PBF∴弧PEF=弧BED∴弧PD=弧BF∴PD=BF∴△ADP≌△MFB∴AD=FM∴DE=EF∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：说明考生11，12，13在老师讲解九上3.4圆周角的课后练习题6后，曾经自己去发现，探讨了圆内接四边形的有关性质。这就要求我们对于学有余力的孩子课外应提供给他们更广阔的天地，让他们能有更多的收获。
反思：在这道几何题中，虽然点P的位置是在不断的变化的，但在这个变化过程中，能发现关键角度数，及对应的弧度没发生变化，就能找到解题的突破口。同时利用相似证明角相等是一种常见方法。
因为有学生的生成性资源，故改卷更加精彩！
参考文献：
[1]《义务教育数学课程标准（2011年版）》
[2]《中学数学解题思想方法技巧》
（作者单位：浙江省慈溪市观海卫中学315300）
此题来源于宁波市2013年数学中考的第26题中的第2小题（2）。原题为：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD.过P，D，B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时
求证：∠BDE=∠ADP
设DE=x，DF=y，请求出y关于x的函数解析式
通过改卷，思考，除了答案提供的方法外，整理了如下几种比较典型的方法来解决第2小题的（2）问。
方法一︰设元
由于此题可供选择的“元”较多，故学生的作答也是五花八门。
第1种：设∠ADP=ɑ，但相同的元，学生的转化过程也是精彩分成：
考生1：如图1连结EP，设∠ADP=ɑ，则∠BDE=ɑ，∠EPB=ɑ，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°∵∠DPB=∠ADP ∠A∴∠DPB=ɑ 45°，∴∠DPE=45°∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：在复杂图形的背景下，考生1利用了第2小题（1）中的结论，同时想到在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等及三角形的外内角关系，从而直接发现了关键角∠DFE=∠A=45°，方法简洁明了。
考生2：如图2，设∠ADP=ɑ，则∠BDE=ɑ∴弧EFB=2ɑ，∵AO=BO，∠AOB=90°∴∠A=45°，∵∠DPB=∠ADP ∠A∴∠DPB=45° ɑ∴弧DEB=90° 2ɑ，∴弧ED=90°，∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：考生2充分利用了第2小题（1）中的结论，利用三角形的内外角关系及圆周角与所对弧之间的关系，发现弧ED的度数在点P的运动过程中始终保持不变，这种方法让人眼前一亮。
考生3：连结EQ，并延长交AB于K，连结EP，PF设∠ADP=ɑ，则∠BDE=ɑ∴∠EPB=ɑ，∠EFP=ɑ∴弧EB=弧PE∵Q为圆心∴EK⊥PB∵AO=BO，∠AOB=90°∴∠A=45°∴∠AEK=45°∵DQ=EQ∴∠EDQ=45°∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：考生3具有扎实的功底，垂径定理的逆定理，圆的半径相等，圆内各个角的关系利用非常充分。
考生4：如图2，设∠ADP=ɑ，则∠BDE=ɑ，∴∠PDB=180°-2ɑ，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°，，∴∠APD=135°-ɑ，∠DPB=45° ɑ，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=∠DBF=90°，∵∠PDE ∠DEF ∠EFB ∠FBP ∠DPB=540°，∴∠EFB=180°-ɑ，∠DFB=135°-ɑ∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
考生5：如图2，设∠ADP=ɑ，则∠BDE=ɑ，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°，∴∠DPB=45° ɑ，∵∠DPB ∠DFB=180°，∴∠DFB=135°-ɑ，∵∠EFB ∠BDE=180°，∴∠EFB=180°-ɑ∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评︰虽然笔者认为这两种方法从过程上看比考生1的方法来得繁琐，但能在考试这么短时间内想到用一个角表示出与之相关的这么多角，从而算出关键角∠DFE=45°，足以显示学生的功力深厚。同时我也在思考：我们在讲解九上3.4圆周角的课后练习题6后，能让优秀生在课后了解圆内接四边形的性质，可以扩展学生的视野！
第2种设∠DCQ=β
考生6：如图4，连结BQ，BE，设∠DCQ=β，∵AO=BO，∠AOB=90°，
∴∠A=∠ABO=45°，∠CDO=∠BDO=90°-β∴∠CPB=135°-β，∵∠DPB ∠DEB=180°
∴∠DEB=45° β，∴∠DQB=90° 2β，∵DQ=BQ∴∠QDB=45°-β，∴∠EDF=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
考生7：如图4，连结BQ，BE，设∠DCQ=β，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=∠ABO=45°，∴∠CPB=135°-β，∠DBA=45°-β，∵∠DPB ∠DEB=180°∴∠DEB=45° β，∴∠DQB=90° 2β，∵DQ=BQ∴∠QDB=45°-β∴DF∥AB∴∠EDF=∠A=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：考生6，7设的元相同，与上面考生的基本思路相同，但比前面考生多想到了一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
第3种设∠DBP=θ，
考生8：如图1，连结PE，设∠DBP=θ，则∠DEP=θ，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°∵∠EPB=∠AEP ∠A∴∠EPB=45° θ，∵∠EDB=∠EPB=∠ADP，∠DPB=∠ADP ∠A∴45° θ 45°=∠DPE 45° θ，即∠DPE=45°∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x 点评：考生8与考生1只是设的元不同，但利用的知识点相同。不同的元有不同的解题方法，所以在平时解题中要鼓励学生多思，多想。
反思：《义务教育数学课程标准（2011年版）》，明确指出：“要发展学生的符号意识。符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表示和进行数学思考的重要形式”。这就要求我们在平时的教学过程中多让学生从“用字母表示数”到字母表示未知元，把数学的思想方法进行推广，学生的思路将大大扩展。当然此题中除了上面的7种典型设法以外，还可以设∠PDB，设∠APD等，也可以多设几个元，因为所用到知识点相同故不重复。
方法二：相似
考生9：如图1，连结PE，∵AO=BO，∠AOB=90°∴∠A=45°，∵∠EDB=∠ADP∴∠ADB=∠PDE，∵∠EDP=∠DBA∴△ADB∽△PDE，∴∠A=∠DPE=45°，∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：考生9充分利用了第2小题（1）中的结论，并想到等量加等量其和相等，得∠ADB=∠PDE，同时利用在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，进而发现相似，发现关键角∠DFE=∠A=45°，说明要充分利用条件。尤其是前后两小题，在同个条件下，第（1）小题的结论要利用好。
考生10：如图5，连结BE，PE，PE交CB于G，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=∠ABO=45°∵∠DPB=∠ADP ∠A，∠DPB=∠DPE ∠EPB，∠ADP=∠BDE=∠EPB∴∠DPE=∠A=∠ABO=45°∵∠EGB=∠ABO ∠EPB∴∠EGB=∠DPB，∵∠PDB=∠PEB∴△DPB∽△EGB∴∠PBD=∠GBE∴∠ABO=∠DBE=45°，∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=
90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：由于受考场时间限制，考试心理的影响，考生10在求出∠DPE=45°后，未直接得∠DBE=45°，虽然有点绕圈，但能想到构造相似三角形求关键角还是值得肯定。虽然在改卷过程还有考生已经得到∠DPE=45°后，还证明△CPG∽△CBP，在得∠DPE=45°，但学生能想到相似证角相等，都是值得表扬的。
考生11：如图6，连结BE，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=∠ABO=45°∵D，P，B，E四点共圆，∴∠APD=∠BED∵∠ADP=∠BDE∴△ADP∽△BDE∴∠A=∠DBE=45°，∴∠DFE=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
考生12：如图7，过D作DH⊥AB，垂足为H，∵DF为⊙Q的直径∴∠DBF=90°
∠DBF=∠DHP∵D，P，B，F四点共圆，∴∠APD=∠BFD∴△DHP∽△DBF
∴∠HDP=∠BDF∵∠ADP=∠BDE∴∠ADH=∠EDF∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°，∵DH⊥AB∴∠ADH=45°，∠EDF=45°，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90o，∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
考生13：如图8，延长AB，EF交点M，∵DF为⊙Q的直径∴∠DEF=90°，∵AO=BO，∠AOB=90°，∴∠A=45°，∴∠A=∠AME=45°，AE=EM∵D，P，B，E四点共圆，∴∠BDE=∠BFM，∵∠ADP=∠BDE∴∠ADP=∠BFM∴△ADP∽△MFB∴∠APD=∠FBM∴∠PDB=∠PBF∴弧PEF=弧BED∴弧PD=弧BF∴PD=BF∴△ADP≌△MFB∴AD=FM∴DE=EF∴△DEF是等腰直接三角形∴DF=2DE即y=2x
点评：说明考生11，12，13在老师讲解九上3.4圆周角的课后练习题6后，曾经自己去发现，探讨了圆内接四边形的有关性质。这就要求我们对于学有余力的孩子课外应提供给他们更广阔的天地，让他们能有更多的收获。
反思：在这道几何题中，虽然点P的位置是在不断的变化的，但在这个变化过程中，能发现关键角度数，及对应的弧度没发生变化，就能找到解题的突破口。同时利用相似证明角相等是一种常见方法。
因为有学生的生成性资源，故改卷更加精彩！
参考文献：
[1]《义务教育数学课程标准（2011年版）》
[2]《中学数学解题思想方法技巧》
（作者单位：浙江省慈溪市观海卫中学315300）