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摘要： 反思是提高学生数学解题能力的重要方式，也是整个数学学习过程的重要环节，而数学解题教学现状和教学实践表明，引导反思是必要和可行的，在一定程度上提高了效率。在简要简述了数学反思的基本含义后，结合教学实际，重点分析了培养学生反思能力的方法和途径。
关键词： 高中数学，反思性学习，反思的途径
【中图分类号】G633.6
我国古代大教育家孔子说过："学而不思则罔"，这里的"思"就有反思的意思。《普通高中数学课程标准》则是这样提出"反思"这一教学理念："人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历......反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断"。"评价应关注学生能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法"。标准的这一提出，要求学生在平时学习中有学后反思的意识及能力.而这恰是我们所要提倡和引导的。但在现实的教育实践中，对学生学习过程的反思还未得到教师的足够重视。下面浅谈在教学中引导学生反思的几种途径：
1.在听课过程中反思
没有反思的听课是被动的、肤浅的。在数学课上，学生对教师所讲的概念、定理、公式等不能只是被动地接受，而应从教师的讲解中反思概念、定理、公式的形成过程，反思思考问题的方法。
例如在学习指数函数（且）的概念时，可指导学生反思"且"这一规定的必要性。让学生分析当、与时出现的情况：当a<0时，若x=1/2，则函数y无意义；当a=0时，若x为负数，则函数y无意义；当a=1时，y=1为一常量，无研究的必要。通过这样的反思，可加深学生对指数函数概念的理解，同时为后面对数函数的学习做好准备。
又如在学习推导等比数列的前项和公式时，采用错项相消法得到该公式之后，要引导学生思考当"公比q=1"时，公式是否也适用。
学生在听课过程中反思，可加深对所学知识的理解及对思考问题方法的掌握，及时解决存在的疑问和知识缺陷。
2.在挖掘中反思
爱因斯坦说过"发现一个问题比解决一个问题更重要"通过挖掘题目内涵找出新问题。例如：一个等差数列的第6项是5，第3项和第8项的和也是5，求这个等差数列前9项的和？
此题要学生解出答案并不难，若仅仅解出答案，则学生的能力没有得到提高，我在讲评时，点击思维，引导学生进入反思 。
师：这里的数字5重要吗？S9=0的根本原因是什么？
经过思考，学生甲："5"并不重要，重要的是根本原因是。
于是学生联想到等差数列的性质，有如下巧解： 所以。
师："能推广吗？"
很快地，不少学生便独立地给出了下面的简单推广：{an}为等差数列。
为了让学生对知识有一个横向的反思， 再问："等比数列有类似的结论吗？"基础好一点的学生便能得出： {an}为等比数列，Tn为其前n的积，若。
通过以上教学，由特殊到一般，由等差数列到等比数列，由单一到综合，一步一步引导学生进行反思、交叉、汇合，提供了学生思维发展的良好素材，同时也培养了学生的解题反思能力。
3.在解题后进行反思
解题后的反思是指学生在解题完成后对自己的解题思路、解题方法和结果的反思。通过反思所完成的解答，重新考虑和检查这个结果和得出这一结果的思路，这样学生可以巩固自己所学的知识、方法和发展自己的解题能力。解题后的反思可从以下几个方面进行：
3.1反思所得结果是否合理
对问题解答后的结论的正确性进行检验，这是解题后反思的最基本层次的要求。如本人曾在《数列》测试中出过这样一道试题：小李把10000元存入银行，年利率为2.7%，按单利计算，求第3年末一共可取出多少钱？就出现有的学生只求出3年所生利息 10000×2.7%×3=810（元） 作为3年末可取出的钱的总额。学生若能在解题后联系实际反思，就不会出现如此荒唐的结果。
3.2反思解题的通法
在平时解题教学中，对例题，习题，作业的学习应引导学生深入探究，展示通性，通法，从建构学的角度可以使学生做一个题，明白一类题，抓住一串题，培养学生的解题反思能力，达到举一反三目的。
例如 证明函数f（x）=-2x+1在R上是减函数。
在利用函数的单调性的定义解完这道题后，学生可反思利用函数单调性定义证明函数y=f（x）在区间D上的单调性的通法。即归纳出证明步骤：①任取x1、x2∈D且x1 又如在解析几何问题：（1）设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9，求点M的轨迹方程。（选修2-1P44例3）；（2）设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是4/9，求点M的轨迹方程。（选修2-1P59探究）
学生很容易求出轨迹方程，若教师点评到此为止，则失去了课本两题的典型性和示范性，其实老师可将本例加以改造，展示试题通性、通法，从而培养学生的反思能力。
改为1：动点M到两点A（a，0）和B（-a，0）连线的斜率的乘积为定值k（k0）， 求动点M的轨迹？
①当k<-1时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且以AB为其短轴（A，B两点除外，下同不予重复）
②当k=-1时，点M的轨迹为以AB为直径的圆
③当-1 ④当k>0时，点M 的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且以AB为其实轴
通过对习题的归类、改造，揭示两题的本质，展示通性、通法，培养学生的反思能力，使学生的解题能力得到螺旋式上升。这样的反思有助于思维合理化、精确化、概括化。
3.3反思题目的变式
解题后，可对原题的条件、结论进行再思考，看看条件是否可以变化，逆命题是否成立。即反思能否对题目的条件、结论或形式进行变式，并争取做一些推广，激发自己的创造力，提高探索能力。这种举一反三的做法，可使解题的收益大大增加。
例如 某工厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进设备，资金每年增长率为25%，该厂每年年底扣除250万元作为消费基金后，余下的资金投入再生产，求5年后资金可达多少万元？
分析：这是一个数列型的应用题，资金既每年以同一增长率递增，又每年扣除的资金为一常量，该数列既不是等差数列，也不是等比数列，需逐年进行分析。经分析，可得5年后资金数值为。
注意到这是一类综合性强的数列题，有一定的代表性。解题后可引导学生进行变形，得以下变式：
变式一：某工厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进设备，资金每年增长率为25%，该厂每年年底扣除一定量的金额作为消费基金后，余下的资金投入再生产，这家厂每年年底可扣除多少消费基金，才能使5年后资金达到1500万元？
这道题是把上述例题中的条件与结论交换而得到，这种题型在实际预算中更有意义。设每年年底扣除x万元作为消费基金，按上述例题的解题思路，可通过列方程求得。
变式二：某地区原有森林木材存量为1000万亩，且每年增长率为25%，因生产建设需要，每年年底要砍伐一定量的木材。该地区每年年底可砍伐多少木材，才能使5年后森林木材存量为1500万亩？
变式二与变式一只是问题的背景不同，而实质是一样的，无非是换一下"包装"而已。变式二与变式一的解法完全相同。此时，再赋予一个新的背景，学生也能解决。
由变式一到变式二的过渡，可使学生更深刻地领会解应用题的方法，即关键是抓住问题的实质，不要被题目的背景迷惑。通过解题后对题目变式，使学生更能看清题目的本质。
3.4反思题目的多解
在提问、举例、讲评数学问题时，教师要倡导一题多解，一题多变，多题一解的训练，启发探索，诱导反思，养成多角度分析数学问题的习惯。
例如 当x=1时，二次函数f（x）有最小值1；若把f（x）的图象向下移动3个单位，此时函数的图象与x轴相交，并截得x轴上一段线段长为4个单位；求函数f（x）的解析式。
首先让学生认识到图象移动前后所对应的两个函数f（x）、g（x）之间的关系为f（x）=g（x）+3。其次引导学生具体分析函数g（x）所满足的三个条件，并从中探索解题的方法。
从二次函数g（x） 解析式的三种形式入手，引导学生理解与掌握待定系数法这一数学方法，而不停留在单纯的解题上。
在解题训练时要求学生不能仅满足于一种解法，鼓励他们进一步思考其他解法。通过讨论与交流，从中鉴别各种方法的作用与最佳方法，并通过各种方法引导学生认识解题的核心问题与共同本质。有时宁可让学生少做些题，但要求用两种甚至两种以上的方法做好某些题。
通过此法，教学生反思，培养学生思维的广阔性，让学生善于从不同角度，不同方面去思考问题，寻求变异。
4.在单元小结中反思
在数学学习中，指导学生每隔一段时间或每一章节对自己的学习作阶段性的反思。每一章节的反思是学生学习过程中的一个重要环节。学生对知识的获得与理解必须通过章节的复习、反思加以巩固，因此，在每一章节学习完成后，教师要及时引导学生反思该章节的概念、定理、公式等，建构知识体系。还要反思每个知识点的联系，该章涉及的数学方法、数学思想等。在阶段性的测试后，也应引导学生反思得分、失分的原因，分析哪些是不应有的失分，如看错题目、计算出错等，另外，把在听课过程中反思、解题后反思所得进行总结，记下典型的习题的解法或学习方法，容易出错的习题，学习失败的教训等，使得在以后的学习中扬长避短，把好的方法继续发挥，不犯类似的错误，为以后的学习作超前反思，于实践前未雨绸缪。通过反思，用对自己的正确评价去敦促自己。
这种经过反思总结出来的规律，可降低学习数学的难度，增强学数学的信心，同样可举一反三，触类旁通。
总之，要引导学生在数学学习中反思，教师应先在数学教学中反思。在数学教学中引进反思性学习，为学生提供了再创造的沃土和新型的学习方式，为学生的学习注入了活力，适应新课程改革的要求。让学生在反思中真正领悟数学的思想、方法，优化数学认知结构，发展数学思维能力，培养反思习惯和创新意识，提高数学素质。
参考文献：
[1]熊川武.反思性教学。华东师范大学出版社，1999第89页.
[2]徐永忠.剖析错因，反思教学.数学通报，2003第12页.
[3]龙朝.数学中"悟"的教学策略探索.中学数学，2003年5期第36页.
[4]王长沛.数学教育与素质教育.2003第66页.
关键词： 高中数学，反思性学习，反思的途径
【中图分类号】G633.6
我国古代大教育家孔子说过："学而不思则罔"，这里的"思"就有反思的意思。《普通高中数学课程标准》则是这样提出"反思"这一教学理念："人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历......反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断"。"评价应关注学生能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法"。标准的这一提出，要求学生在平时学习中有学后反思的意识及能力.而这恰是我们所要提倡和引导的。但在现实的教育实践中，对学生学习过程的反思还未得到教师的足够重视。下面浅谈在教学中引导学生反思的几种途径：
1.在听课过程中反思
没有反思的听课是被动的、肤浅的。在数学课上，学生对教师所讲的概念、定理、公式等不能只是被动地接受，而应从教师的讲解中反思概念、定理、公式的形成过程，反思思考问题的方法。
例如在学习指数函数（且）的概念时，可指导学生反思"且"这一规定的必要性。让学生分析当、与时出现的情况：当a<0时，若x=1/2，则函数y无意义；当a=0时，若x为负数，则函数y无意义；当a=1时，y=1为一常量，无研究的必要。通过这样的反思，可加深学生对指数函数概念的理解，同时为后面对数函数的学习做好准备。
又如在学习推导等比数列的前项和公式时，采用错项相消法得到该公式之后，要引导学生思考当"公比q=1"时，公式是否也适用。
学生在听课过程中反思，可加深对所学知识的理解及对思考问题方法的掌握，及时解决存在的疑问和知识缺陷。
2.在挖掘中反思
爱因斯坦说过"发现一个问题比解决一个问题更重要"通过挖掘题目内涵找出新问题。例如：一个等差数列的第6项是5，第3项和第8项的和也是5，求这个等差数列前9项的和？
此题要学生解出答案并不难，若仅仅解出答案，则学生的能力没有得到提高，我在讲评时，点击思维，引导学生进入反思 。
师：这里的数字5重要吗？S9=0的根本原因是什么？
经过思考，学生甲："5"并不重要，重要的是根本原因是。
于是学生联想到等差数列的性质，有如下巧解： 所以。
师："能推广吗？"
很快地，不少学生便独立地给出了下面的简单推广：{an}为等差数列。
为了让学生对知识有一个横向的反思， 再问："等比数列有类似的结论吗？"基础好一点的学生便能得出： {an}为等比数列，Tn为其前n的积，若。
通过以上教学，由特殊到一般，由等差数列到等比数列，由单一到综合，一步一步引导学生进行反思、交叉、汇合，提供了学生思维发展的良好素材，同时也培养了学生的解题反思能力。
3.在解题后进行反思
解题后的反思是指学生在解题完成后对自己的解题思路、解题方法和结果的反思。通过反思所完成的解答，重新考虑和检查这个结果和得出这一结果的思路，这样学生可以巩固自己所学的知识、方法和发展自己的解题能力。解题后的反思可从以下几个方面进行：
3.1反思所得结果是否合理
对问题解答后的结论的正确性进行检验，这是解题后反思的最基本层次的要求。如本人曾在《数列》测试中出过这样一道试题：小李把10000元存入银行，年利率为2.7%，按单利计算，求第3年末一共可取出多少钱？就出现有的学生只求出3年所生利息 10000×2.7%×3=810（元） 作为3年末可取出的钱的总额。学生若能在解题后联系实际反思，就不会出现如此荒唐的结果。
3.2反思解题的通法
在平时解题教学中，对例题，习题，作业的学习应引导学生深入探究，展示通性，通法，从建构学的角度可以使学生做一个题，明白一类题，抓住一串题，培养学生的解题反思能力，达到举一反三目的。
例如 证明函数f（x）=-2x+1在R上是减函数。
在利用函数的单调性的定义解完这道题后，学生可反思利用函数单调性定义证明函数y=f（x）在区间D上的单调性的通法。即归纳出证明步骤：①任取x1、x2∈D且x1
学生很容易求出轨迹方程，若教师点评到此为止，则失去了课本两题的典型性和示范性，其实老师可将本例加以改造，展示试题通性、通法，从而培养学生的反思能力。
改为1：动点M到两点A（a，0）和B（-a，0）连线的斜率的乘积为定值k（k0）， 求动点M的轨迹？
①当k<-1时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且以AB为其短轴（A，B两点除外，下同不予重复）
②当k=-1时，点M的轨迹为以AB为直径的圆
③当-1
3.3反思题目的变式
解题后，可对原题的条件、结论进行再思考，看看条件是否可以变化，逆命题是否成立。即反思能否对题目的条件、结论或形式进行变式，并争取做一些推广，激发自己的创造力，提高探索能力。这种举一反三的做法，可使解题的收益大大增加。
例如 某工厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进设备，资金每年增长率为25%，该厂每年年底扣除250万元作为消费基金后，余下的资金投入再生产，求5年后资金可达多少万元？
分析：这是一个数列型的应用题，资金既每年以同一增长率递增，又每年扣除的资金为一常量，该数列既不是等差数列，也不是等比数列，需逐年进行分析。经分析，可得5年后资金数值为。
注意到这是一类综合性强的数列题，有一定的代表性。解题后可引导学生进行变形，得以下变式：
变式一：某工厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进设备，资金每年增长率为25%，该厂每年年底扣除一定量的金额作为消费基金后，余下的资金投入再生产，这家厂每年年底可扣除多少消费基金，才能使5年后资金达到1500万元？
这道题是把上述例题中的条件与结论交换而得到，这种题型在实际预算中更有意义。设每年年底扣除x万元作为消费基金，按上述例题的解题思路，可通过列方程求得。
变式二：某地区原有森林木材存量为1000万亩，且每年增长率为25%，因生产建设需要，每年年底要砍伐一定量的木材。该地区每年年底可砍伐多少木材，才能使5年后森林木材存量为1500万亩？
变式二与变式一只是问题的背景不同，而实质是一样的，无非是换一下"包装"而已。变式二与变式一的解法完全相同。此时，再赋予一个新的背景，学生也能解决。
由变式一到变式二的过渡，可使学生更深刻地领会解应用题的方法，即关键是抓住问题的实质，不要被题目的背景迷惑。通过解题后对题目变式，使学生更能看清题目的本质。
3.4反思题目的多解
在提问、举例、讲评数学问题时，教师要倡导一题多解，一题多变，多题一解的训练，启发探索，诱导反思，养成多角度分析数学问题的习惯。
例如 当x=1时，二次函数f（x）有最小值1；若把f（x）的图象向下移动3个单位，此时函数的图象与x轴相交，并截得x轴上一段线段长为4个单位；求函数f（x）的解析式。
首先让学生认识到图象移动前后所对应的两个函数f（x）、g（x）之间的关系为f（x）=g（x）+3。其次引导学生具体分析函数g（x）所满足的三个条件，并从中探索解题的方法。
从二次函数g（x） 解析式的三种形式入手，引导学生理解与掌握待定系数法这一数学方法，而不停留在单纯的解题上。
在解题训练时要求学生不能仅满足于一种解法，鼓励他们进一步思考其他解法。通过讨论与交流，从中鉴别各种方法的作用与最佳方法，并通过各种方法引导学生认识解题的核心问题与共同本质。有时宁可让学生少做些题，但要求用两种甚至两种以上的方法做好某些题。
通过此法，教学生反思，培养学生思维的广阔性，让学生善于从不同角度，不同方面去思考问题，寻求变异。
4.在单元小结中反思
在数学学习中，指导学生每隔一段时间或每一章节对自己的学习作阶段性的反思。每一章节的反思是学生学习过程中的一个重要环节。学生对知识的获得与理解必须通过章节的复习、反思加以巩固，因此，在每一章节学习完成后，教师要及时引导学生反思该章节的概念、定理、公式等，建构知识体系。还要反思每个知识点的联系，该章涉及的数学方法、数学思想等。在阶段性的测试后，也应引导学生反思得分、失分的原因，分析哪些是不应有的失分，如看错题目、计算出错等，另外，把在听课过程中反思、解题后反思所得进行总结，记下典型的习题的解法或学习方法，容易出错的习题，学习失败的教训等，使得在以后的学习中扬长避短，把好的方法继续发挥，不犯类似的错误，为以后的学习作超前反思，于实践前未雨绸缪。通过反思，用对自己的正确评价去敦促自己。
这种经过反思总结出来的规律，可降低学习数学的难度，增强学数学的信心，同样可举一反三，触类旁通。
总之，要引导学生在数学学习中反思，教师应先在数学教学中反思。在数学教学中引进反思性学习，为学生提供了再创造的沃土和新型的学习方式，为学生的学习注入了活力，适应新课程改革的要求。让学生在反思中真正领悟数学的思想、方法，优化数学认知结构，发展数学思维能力，培养反思习惯和创新意识，提高数学素质。
参考文献：
[1]熊川武.反思性教学。华东师范大学出版社，1999第89页.
[2]徐永忠.剖析错因，反思教学.数学通报，2003第12页.
[3]龙朝.数学中"悟"的教学策略探索.中学数学，2003年5期第36页.
[4]王长沛.数学教育与素质教育.2003第66页.