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函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，与数学的其他知识之间有着广泛而又密切的联系，揭示并认识这种内在联系，对提高分析问题的能力具有重要的意义.所以函数思想渗透到数学的各个领域.函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系.用函数思想解题，具体表现在两个方面：一是借助函数一些性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造辅助函数，把原问题转化为函数的有关性质讨论，以达到化难为易、化繁为简的目的.
一、以函数为依托，强化函数思想在集合问题中的运用
集合与函数都是数学中最基本、最重要的概念，它们既有区别，又有联系.用函数思想解集合问题，不仅能加强知识间的横向联系，还能培养解题能力，提高解题效率.
例1已知集合A={x|x2-5x 4≤0}，B={x|x2-2ax a 2≤0}，且BA，求实数a的取值范围.
解：当B=时，即方程x2-2ax a 2=0的判别式Δ<0，所以4（a2-a-2）<0，解得-1 当B≠时，设f（x）=x2-2ax a 2，因为A={x|1≤x≤4}，所以f（x）=0的两根在区间[1，4]之间，如图所示，有：
f（1）=1-2a a 2≥0，f（4）=16-8a a 2≥0，Δ=4a2-4（a 2）≥0，1≤--2a2≤4.2≤a≤187.②
综合①、②得a的取值范围为-1 例2设A={x|1 解：设f（x）=x2-2x a=（x-1）2 a-1，
g（x）=x2-2bx 5=（x-b）2 5-b2.
要使AB，则必须使f（x），g（x）在[1，3]上的函数图象落在x轴下方，即：
f（1）≤0，f（3）≤0.a-1≤0，a 3≤0.a≤-3，
且g（1）≤0，g（3）≤0.-2b 6≤0，14-6b≤0.b≥3.
∴满足条件的a、b取值范围为a≤-3且b≥3.
评析：在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用函数知识和方法把问题解决.这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来.运用函数思想来研究集合中有关参数取值范围的问题，就是将集合之间的关系直观地解释成数轴上的区间覆盖关系，从而借助于函数的性质和图象，达到直观、简捷的解题目的.
二、以函数为工具，强化函数思想在方程问题中的运用
函数与方程有着内在的联系，可以说方程是函数的一个局部，而函数则包括方程的全部内涵，因此用函数的思想方法来解决方程问题往往是一种很有效的方法.
例3设x、y为实数，且满足关系式：（x-1）3 2013（x-1）=-1，（y-1）3 2013（y-1）=1.求x y的值.
解：令f（t）=t3 2013t，易知f（t）是奇函数，且在R上是增函数，
∴由已知条件得：f（x-1）=-f（y-1）=f（1-y），
当注意到f（t）是单调函数时，有x-1=1-y，即x y=2.
例4已知（x 2y）5 x5 2x 2y=0，求x y的值.
解：已知方程化为：（x 2y）5 （x 2y）=-（x5 x）.（1）
由（1）式的结构，构造函数f（t）=t5 t，显然，f（t）是奇函数，且在R上的单调递增.
由于（1）式可写成：f（x 2y）=-f（x）=f（-x），所以有x 2y=-x，即x y=0.
评析：函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样，许多函数的问题可以用方程的方法来解决.也就是说，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0；反之，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要.
三、以函数为桥梁，强化函数思想在不等式问题中的应用
由于函数反映变量之间的相互关系，由它的整体性，自然可反映变量间的不等式情况，因此，不等式问题可看成函数问题的另一局部，利用函数思想方法能更深入了解不等式问题的本质.
例5设0≤a、b、c≤2，求证：4a b2 c2 abc≥2ab 2bc 2ca.
证明：视a为自变量，构造一次函数
f（a）=4a b2 c2 abc-2ab-2bc-2ca=（bc-2b-2c 4）a （b2 c2-2bc），
由0≤a≤2，知f（a）表示一条线段.
又f（0）=b2 c2-2bc=（b-c）2≥0，
f（2）=b2 c2-4b-4c 8=（b-2）2 （c-2）2≥0，
可见上述线段在横轴及其上方，∴f（a）≥0，
即4a b2 c2 abc≥2ab 2bc 2ca.
例6已知a、b、c是△ABC的三边，且m为正数，求证：am a 证明：构造函数f（x）=xm x，易证f（x）=xm x=1-mm x，当x>0时单调递增.
∵a 即am a 故am a 评析：在不等式问题中，应重视以函数为桥梁，根据实际问题建立函数观念，用函数思想与函数方法分析、解决问题意义重大.解（证）不等式问题，从实质上说，是研究相应函数的零点、正负值问题.所以，用函数思想来处理这类问题，不仅会优化解题过程，而且会使我们迅速获得解题的途径.
四、以函数为媒介，强化函数思想在数列中的应用
数列是特殊的函数，用函数观点把数列中的数量关系表示出来加以研究，这种利用函数思想合理转化的手段是解决数列问题的重要策略.
例7已知项数为奇数的等差数列奇数项的和为44，偶数项的和为33，求这个数列的项数及中间项.
解：设这个数列共有2n 1项，由于f（n）=Snn是关于n的一次函数，则点（n 1，44n 1），（n，33n），（2n 1，772n 1）共线.
由斜率相等得：772n 1-33n2n 1-n=772n 1-44n 12n 1-（n 1）n=3.
所以该数列共有7项，中间项为11.
评析：在等差数列{an}中，其前n项和公式Sn可以变形为：Snn=d2n （a1-d2），所以Snn是n的一次函数，且点（n，Snn）均在直线y=d2x （a1-d2）上.因此，在解等差数列问题时，若能把问题转化为一次函数来研究，就很方便快捷.
例8已知数列{an}中的通项公式an=（n 1）（1011）n（n∈N*）.试问该数列{an}有没有最大项？
解：∵an 1-an=（n 2）（1011）n 1-（n 1）（1011）n=（1011）n·9-n11，
∴当n<9时，an 1-an>0，即an 1>an；
当n=9时，an 1-an=0，即an 1=an；
当n>9时，an 1-an<0，即an 1 故a1a11>a12>…，
∴数列{an}有最大项a9或a10，其值为10·（1011）9，其项数为9或10.
评析：由通项公式研究数列是常用的方法，此时要注意数列是一类特殊的函数，本例是以数列为背景，借用函数思想研究数列的问题.
五、以函数为载体，强化函数思想在数列与函数交汇题中的应用
函数与数列是高中数学重要内容，它们二者相互联系，相互补充，又可以相互渗透，相互转化，共同构成了高中数学知识网络中的一个重要环节.正由于它们地位的特殊性，以函数与数列的交汇处设计有关综合性考题在高考试卷中占有较大比例，其中不乏有立意新颖，富有创意的试题.
例9已知函数f（x）=log2（x 1），当P（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点M（x3，ny）（n∈N*）在函数y=gn（x）的图象上运动.设Sn（x）=g1（x） g2（x） … gn（x）（n∈N*），x∈[1， ∞）.试问，当n和x分别为何值时，Sn（x）有最小值？并求出这个最小值.
解：∵当P（x，y）在函数y=log2（x 1）的图象上，点M（x3，ny）在函数y=gn（x）的图象上，
∴y=log2（x 1），ny=gn（x3）.gn（x）=nlog2（3x 1）.
∴Sn（x）=g1（x） g2（x） … gn（x）=（1 2 3 … n）log2（3x 1）=n（n 1）2log2（3x 1）.
∵x∈[1， ∞），∴log2（3x 1）>0，
又log2（3x 1）在∈[1， ∞）上是增函数，{n（n 1）2}是递增数列，
∴当n=1且x=1时，Sn（x）取得最小值2.
评析：以函数为引入条件，综合函数与数列交叉部分，密切注意到各部分知识在各自发展中的纵向联系以及部分知识之间的横向联系构筑试题.解此类问题应注意从题目的众多条件和求解（求证）中提取相关信息，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，有效地、灵活地解决问题，这就是解题方向.
例10已知二次函数f（x）=x2 2（10-3n）x 9n2-61n 100，其中n∈N*.
（1）设函数y=f（x）图象顶点的横坐标构成数列{an}，求证数列{an}为等差数列；
（2）设函数y=f（x）的图象顶点到y轴的距离构成数列{dn}，求数列{dn}前n项的和Sn.
证明：（1）由已知an=3n-10，当n≥2时，an-an-1=3n-10-[3（n-1）-10]=3，
∴数列{an}为等差数列.
解：（2）由题意得：dn=|an|=|3n-10|，
即dn=10-3n，（1≤n≤3）3n-10.（n≥4）
∴当1≤n≤3时，Sn=7 （10-3n）2×n=17n-3n22.
当n≥4时，Sn=-an-a2-a3 a4 a5 … an=a1 a2 a3 a4 … an-2a1-2a2-2a3=-7 3n-102×n 2（7 4 1）=3n2-17n 482.
评析：这是一个以函数为载体，综合函数与数列交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，这样就把函数与数列有机地融合在一起，使得题型新颖、内容综合、解法灵活.
六、以借助函数的手段，强化函数思想在圆锥曲线中的应用
对于曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便.
例11直线m：y=kx 1和双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，直线l过P（-2，0）和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围.
解：由y=kx 1，x2-y2=1.（x≤-1）消去y得（k2-1）x2 2kx 2=0，由题意，有：
Δ=4k2 8（1-k2）>0，x1 x2=2k1-k2<0，x1x2=-21-k2>0.1 由P（-2，0）、M（k1-k2，11-k2）、Q（0，b）三点共线，可求得b=2-2k2 k 2.
设f（k）=-2k2 k 2，则f（k）在（1，2）上为减函数.
∴f（2） ∴-（2-2）2.
评析：通过建立b与k的函数关系式，借用函数的单调性，将问题转化为函数的值域以确定b的变化范围.
例12已知椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0），B为椭圆的下顶点，过B点作椭圆的弦BM，求弦长最大值.
解：设M（x，y），又B（0，-b），则有|BM|2=x2 （y b）2，
由x2a2 y2b2=1得x2=a2b2（b2-y2），代入上式得：
|BM|2=a2-a2b2y2 y2 2by b2=（1-a2b2）y2 2by （a2 b2）（-b≤y≤b）.
∵a>b>0，∴1-a2b2<0，为开口向下的抛物线，则该抛物线顶点横坐标为：
y=-2b2（1-a2b2）=b3a2-b2>0.
当0 |BM|2取得最大值a4a2-b2，此时|BM|取得最大值a2a2-b2.
当b3a2-b2>b，即a<2b，函数f（y）=（1-a2b2）y2 2by （a2 b2）（-b≤y≤b）为增函数，所以y=b时，|BM|2取得最大值4b2，此时|BM|取得最大值2b.
评析：把圆锥曲线方程转化为函数问题，利用函数思想加以解决，在解决问题的过程中，还涉及到其他数学思想的运用，如消元、分类讨论思想，多种数学思想方法的交叉运用是简化解题的有效手段.
七、以借助函数的意识，强化函数思想在实际问题中的运用
函数的应用涉及的知识较多，与许多日常生活知识都有联系，因此，从实际问题出发，通过分析、联想、转化等手段引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，利用函数有关知识解答问题.
例13某家庭今年一月份，二月份，三月份煤气用量支付费如下表所示：
该市煤气收费的方法是：煤气费=基本费 超额费 保险费.若每月用气量不超过最低限定Am3，只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元；若用气量超过Am3时，超过部分每立方米（m3）付B元.又知保险费不超过5元.根据上面的表格求A、B、C.
解：设每月煤气用量为xm3，支付费用为y元，根据题设条件得：
y=3 C，（0≤x≤A）①3 B（x-A） C.（x>A）②
由0 3 B（25-A） C=14，3 B（35-A） C=19.B=0.5，A=2C 3.
再分析一月份的煤气用量是否超过最低限度，不妨设A<4，将x=4代入②，得：
3 0.5[4-（2C 3）] C=4，并由此得3.5=4，矛盾.
所以A≥4，即一月份付费方式为①，∴3 C=4，即C=1.
从而A=5，B=0.5，C=1.
例14有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系式可由经验公式给出：P=15x，Q=35x.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？
解：若投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（3-x）万元.
依题意，甲种商品可获利：P=15（3-x）万元，乙种商品可获利：Q=35x万元，甲、乙两种商品
共获利为：y=P Q=15（3-x） 35x
=15（-x 3x 3）=15[-（x-32）2 214].
当x=32，即x=94时，ymax=2120，此时，3-x=34.
即甲种商品投入0.75万元，乙种商品投入2.25万元，可获得最大利润.
评析：在解此类问题时，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素.处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为函数问题，然后应用函数相关知识加以综合解答.
（作者：赵春祥，河北省中学数学特级教师）
一、以函数为依托，强化函数思想在集合问题中的运用
集合与函数都是数学中最基本、最重要的概念，它们既有区别，又有联系.用函数思想解集合问题，不仅能加强知识间的横向联系，还能培养解题能力，提高解题效率.
例1已知集合A={x|x2-5x 4≤0}，B={x|x2-2ax a 2≤0}，且BA，求实数a的取值范围.
解：当B=时，即方程x2-2ax a 2=0的判别式Δ<0，所以4（a2-a-2）<0，解得-1
f（1）=1-2a a 2≥0，f（4）=16-8a a 2≥0，Δ=4a2-4（a 2）≥0，1≤--2a2≤4.2≤a≤187.②
综合①、②得a的取值范围为-1
g（x）=x2-2bx 5=（x-b）2 5-b2.
要使AB，则必须使f（x），g（x）在[1，3]上的函数图象落在x轴下方，即：
f（1）≤0，f（3）≤0.a-1≤0，a 3≤0.a≤-3，
且g（1）≤0，g（3）≤0.-2b 6≤0，14-6b≤0.b≥3.
∴满足条件的a、b取值范围为a≤-3且b≥3.
评析：在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用函数知识和方法把问题解决.这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来.运用函数思想来研究集合中有关参数取值范围的问题，就是将集合之间的关系直观地解释成数轴上的区间覆盖关系，从而借助于函数的性质和图象，达到直观、简捷的解题目的.
二、以函数为工具，强化函数思想在方程问题中的运用
函数与方程有着内在的联系，可以说方程是函数的一个局部，而函数则包括方程的全部内涵，因此用函数的思想方法来解决方程问题往往是一种很有效的方法.
例3设x、y为实数，且满足关系式：（x-1）3 2013（x-1）=-1，（y-1）3 2013（y-1）=1.求x y的值.
解：令f（t）=t3 2013t，易知f（t）是奇函数，且在R上是增函数，
∴由已知条件得：f（x-1）=-f（y-1）=f（1-y），
当注意到f（t）是单调函数时，有x-1=1-y，即x y=2.
例4已知（x 2y）5 x5 2x 2y=0，求x y的值.
解：已知方程化为：（x 2y）5 （x 2y）=-（x5 x）.（1）
由（1）式的结构，构造函数f（t）=t5 t，显然，f（t）是奇函数，且在R上的单调递增.
由于（1）式可写成：f（x 2y）=-f（x）=f（-x），所以有x 2y=-x，即x y=0.
评析：函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看作一个方程，这样，许多函数的问题可以用方程的方法来解决.也就是说，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0；反之，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要.
三、以函数为桥梁，强化函数思想在不等式问题中的应用
由于函数反映变量之间的相互关系，由它的整体性，自然可反映变量间的不等式情况，因此，不等式问题可看成函数问题的另一局部，利用函数思想方法能更深入了解不等式问题的本质.
例5设0≤a、b、c≤2，求证：4a b2 c2 abc≥2ab 2bc 2ca.
证明：视a为自变量，构造一次函数
f（a）=4a b2 c2 abc-2ab-2bc-2ca=（bc-2b-2c 4）a （b2 c2-2bc），
由0≤a≤2，知f（a）表示一条线段.
又f（0）=b2 c2-2bc=（b-c）2≥0，
f（2）=b2 c2-4b-4c 8=（b-2）2 （c-2）2≥0，
可见上述线段在横轴及其上方，∴f（a）≥0，
即4a b2 c2 abc≥2ab 2bc 2ca.
例6已知a、b、c是△ABC的三边，且m为正数，求证：am a
∵a 即am a 故am a
数列是特殊的函数，用函数观点把数列中的数量关系表示出来加以研究，这种利用函数思想合理转化的手段是解决数列问题的重要策略.
例7已知项数为奇数的等差数列奇数项的和为44，偶数项的和为33，求这个数列的项数及中间项.
解：设这个数列共有2n 1项，由于f（n）=Snn是关于n的一次函数，则点（n 1，44n 1），（n，33n），（2n 1，772n 1）共线.
由斜率相等得：772n 1-33n2n 1-n=772n 1-44n 12n 1-（n 1）n=3.
所以该数列共有7项，中间项为11.
评析：在等差数列{an}中，其前n项和公式Sn可以变形为：Snn=d2n （a1-d2），所以Snn是n的一次函数，且点（n，Snn）均在直线y=d2x （a1-d2）上.因此，在解等差数列问题时，若能把问题转化为一次函数来研究，就很方便快捷.
例8已知数列{an}中的通项公式an=（n 1）（1011）n（n∈N*）.试问该数列{an}有没有最大项？
解：∵an 1-an=（n 2）（1011）n 1-（n 1）（1011）n=（1011）n·9-n11，
∴当n<9时，an 1-an>0，即an 1>an；
当n=9时，an 1-an=0，即an 1=an；
当n>9时，an 1-an<0，即an 1
∴数列{an}有最大项a9或a10，其值为10·（1011）9，其项数为9或10.
评析：由通项公式研究数列是常用的方法，此时要注意数列是一类特殊的函数，本例是以数列为背景，借用函数思想研究数列的问题.
五、以函数为载体，强化函数思想在数列与函数交汇题中的应用
函数与数列是高中数学重要内容，它们二者相互联系，相互补充，又可以相互渗透，相互转化，共同构成了高中数学知识网络中的一个重要环节.正由于它们地位的特殊性，以函数与数列的交汇处设计有关综合性考题在高考试卷中占有较大比例，其中不乏有立意新颖，富有创意的试题.
例9已知函数f（x）=log2（x 1），当P（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点M（x3，ny）（n∈N*）在函数y=gn（x）的图象上运动.设Sn（x）=g1（x） g2（x） … gn（x）（n∈N*），x∈[1， ∞）.试问，当n和x分别为何值时，Sn（x）有最小值？并求出这个最小值.
解：∵当P（x，y）在函数y=log2（x 1）的图象上，点M（x3，ny）在函数y=gn（x）的图象上，
∴y=log2（x 1），ny=gn（x3）.gn（x）=nlog2（3x 1）.
∴Sn（x）=g1（x） g2（x） … gn（x）=（1 2 3 … n）log2（3x 1）=n（n 1）2log2（3x 1）.
∵x∈[1， ∞），∴log2（3x 1）>0，
又log2（3x 1）在∈[1， ∞）上是增函数，{n（n 1）2}是递增数列，
∴当n=1且x=1时，Sn（x）取得最小值2.
评析：以函数为引入条件，综合函数与数列交叉部分，密切注意到各部分知识在各自发展中的纵向联系以及部分知识之间的横向联系构筑试题.解此类问题应注意从题目的众多条件和求解（求证）中提取相关信息，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，有效地、灵活地解决问题，这就是解题方向.
例10已知二次函数f（x）=x2 2（10-3n）x 9n2-61n 100，其中n∈N*.
（1）设函数y=f（x）图象顶点的横坐标构成数列{an}，求证数列{an}为等差数列；
（2）设函数y=f（x）的图象顶点到y轴的距离构成数列{dn}，求数列{dn}前n项的和Sn.
证明：（1）由已知an=3n-10，当n≥2时，an-an-1=3n-10-[3（n-1）-10]=3，
∴数列{an}为等差数列.
解：（2）由题意得：dn=|an|=|3n-10|，
即dn=10-3n，（1≤n≤3）3n-10.（n≥4）
∴当1≤n≤3时，Sn=7 （10-3n）2×n=17n-3n22.
当n≥4时，Sn=-an-a2-a3 a4 a5 … an=a1 a2 a3 a4 … an-2a1-2a2-2a3=-7 3n-102×n 2（7 4 1）=3n2-17n 482.
评析：这是一个以函数为载体，综合函数与数列交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，这样就把函数与数列有机地融合在一起，使得题型新颖、内容综合、解法灵活.
六、以借助函数的手段，强化函数思想在圆锥曲线中的应用
对于曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便.
例11直线m：y=kx 1和双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，直线l过P（-2，0）和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围.
解：由y=kx 1，x2-y2=1.（x≤-1）消去y得（k2-1）x2 2kx 2=0，由题意，有：
Δ=4k2 8（1-k2）>0，x1 x2=2k1-k2<0，x1x2=-21-k2>0.1
设f（k）=-2k2 k 2，则f（k）在（1，2）上为减函数.
∴f（2）
评析：通过建立b与k的函数关系式，借用函数的单调性，将问题转化为函数的值域以确定b的变化范围.
例12已知椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0），B为椭圆的下顶点，过B点作椭圆的弦BM，求弦长最大值.
解：设M（x，y），又B（0，-b），则有|BM|2=x2 （y b）2，
由x2a2 y2b2=1得x2=a2b2（b2-y2），代入上式得：
|BM|2=a2-a2b2y2 y2 2by b2=（1-a2b2）y2 2by （a2 b2）（-b≤y≤b）.
∵a>b>0，∴1-a2b2<0，为开口向下的抛物线，则该抛物线顶点横坐标为：
y=-2b2（1-a2b2）=b3a2-b2>0.
当0
当b3a2-b2>b，即a<2b，函数f（y）=（1-a2b2）y2 2by （a2 b2）（-b≤y≤b）为增函数，所以y=b时，|BM|2取得最大值4b2，此时|BM|取得最大值2b.
评析：把圆锥曲线方程转化为函数问题，利用函数思想加以解决，在解决问题的过程中，还涉及到其他数学思想的运用，如消元、分类讨论思想，多种数学思想方法的交叉运用是简化解题的有效手段.
七、以借助函数的意识，强化函数思想在实际问题中的运用
函数的应用涉及的知识较多，与许多日常生活知识都有联系，因此，从实际问题出发，通过分析、联想、转化等手段引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，利用函数有关知识解答问题.
例13某家庭今年一月份，二月份，三月份煤气用量支付费如下表所示：
该市煤气收费的方法是：煤气费=基本费 超额费 保险费.若每月用气量不超过最低限定Am3，只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元；若用气量超过Am3时，超过部分每立方米（m3）付B元.又知保险费不超过5元.根据上面的表格求A、B、C.
解：设每月煤气用量为xm3，支付费用为y元，根据题设条件得：
y=3 C，（0≤x≤A）①3 B（x-A） C.（x>A）②
由0
再分析一月份的煤气用量是否超过最低限度，不妨设A<4，将x=4代入②，得：
3 0.5[4-（2C 3）] C=4，并由此得3.5=4，矛盾.
所以A≥4，即一月份付费方式为①，∴3 C=4，即C=1.
从而A=5，B=0.5，C=1.
例14有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系式可由经验公式给出：P=15x，Q=35x.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？
解：若投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（3-x）万元.
依题意，甲种商品可获利：P=15（3-x）万元，乙种商品可获利：Q=35x万元，甲、乙两种商品
共获利为：y=P Q=15（3-x） 35x
=15（-x 3x 3）=15[-（x-32）2 214].
当x=32，即x=94时，ymax=2120，此时，3-x=34.
即甲种商品投入0.75万元，乙种商品投入2.25万元，可获得最大利润.
评析：在解此类问题时，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素.处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为函数问题，然后应用函数相关知识加以综合解答.
（作者：赵春祥，河北省中学数学特级教师）