论文部分内容阅读
随着十二五计划的全面铺开，各地的中考题出现了越来越多的实际应用型题目：尤其是2011年，应用性试题好题连片，这是同当今社会主义经济市场经济的大背景相一致的，符合数学本身的一个重要特性—应用的广泛性.这类试题源于课本，又高于课本，初中数学教材中含有大量的应用性问题素材，只要我们善于分析、善于联系，通过建立各种数学模型，就可以揭示数学应用性问题的解题规律.下面以2011年的各地考题例举之.
一、 方程型
列方程（组）解应用题的关键是如何找到能够表达题目全部含义的相等关系，常见的相等关系有两种：第一种是通过题目中的关键词表达的相等关系，例如：“多”“少”“增加”“减少”等，另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含着的相等关系，隐含相等关系需结合日常生活知识和自然科学知识才能得到，常用的方法有：（1）译式法；（2）图示法；（3）表格法等，方程（组）常与函数、不等式（组）等知识结合，解决生活中的热点问题.
例1 （2011年?河北）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1） 问乙单独整理多少分钟完工？
（2） 若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用.
分析 （1） 将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2） 设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
解答：解：（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
+=1
解得x=80，
经检验x=80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2） 设甲整理y分钟完工，根据题意，得
+≥1
解得：y≥25
答：甲至少整理25分钟完工．
点评 分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．
例2 （2011年?云南）今年四月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨；一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨．
（1） 李大叔安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（2） 若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，请帮李大叔算一算应选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少元？
考点：不等式组的应用
分析 根据题目中的甲、乙两种货车装的洋葱的总重量大于或等于30，装的黄瓜的总重量大于或等于13，建立不等式组.
解答：（1）设李大叔安排x辆甲种货车，乙种货车有（10－x）辆，则有
4x+2（10－x）?叟30x+2（10－x）?叟13
解之得：5≤x≤7
因为x应取正整数.所以x取5，6，7
方案如下：
① 安排5辆甲种货车，5辆乙种货车；
② 安排6辆甲种货车，4辆乙种货车；
③ 安排7辆甲种货车，3辆乙种货车．
（2） 方案①：5×2000+5×1300=16500（元）
方案②：6×2000+4×1300=17200（元）
方案③：7×2000+3×1300=17900（元）
所以，李大叔应选择方案①才能使运费最少，最少运费是16500元．
点评 方程（组）或不等式（组）是一种重要的数学思想，在解决实际问题时，通过分析数量特征，寻求等量关系，构建数学模型，是一种最基本的方法.
二、 几何形
根据几何图形的特点，寻找相应的数学模型，建立方程（组），不等式（组），把与图形有关的实际问题，转化为数学问题，从而解决问题.在教材中，有许多利用几何图形特性的例子，如零件的加工与测量等.
例3 （2011年?长春）在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求其中一个小矩形花圃的长和宽．
考点：二元一次方程组的应用
分析：从图形的实际出发找出等量关系建立方程
解答：设小矩形花圃的长为xm，宽为ym．
根据题意，得2x+y=10,x+2y=8.
解得x=4，y=2.
答：小矩形花圃的长为4m，宽为2m．
三、 三角形
测量性问题是非常贴近生活的题型，所涉及的内容是锐角三角函数等知识，我们所学的相应的知识为我们解决此类实际问题提供了必要理论支撑，初中学生要掌握相应的测量术语与计算方法.
例4 （2011年?烟台）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度.如图所示是护城河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.
（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08）
分析 观察图形，此题需添加辅助线，将EM平移至点F处，构造直角三角形，从而利用解直角三角形的知识解决.
方法：此题考查解直角三角形的应用. 解题关键是添加辅助线，构造直角三角形. 此题巧妙利用36°与72°之间的特殊关系，证明等腰三角形，从而简化了计算.
解答：过点F作FG∥EM交CD于G. 则MG＝EF＝20米.
∠FGN＝∠α＝36°.
∴ ∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°.
∴ ∠FGN＝∠GFN，
∴ FN＝GN＝50－20＝30（米）.
在Rt△FNR中，
FR＝FN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29（米）.
答: 河宽FR约是29米.
四、 统计型
例5 （2011年?宿迁）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
（1） 根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是环，乙的平均成绩是环；
（2） 分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3） 根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
（计算方差的公式：s2＝［（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2］）
考点：平均数，方差.
分析：直接用平均数，方差计算和分析.
解答：解：（1） 9；9．
（2） s2甲＝［（10-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（8-9）2+（10-9）2+（9-9）2］
＝（1+1+0+1+1+0）＝；
s2乙＝［（10-9）2+（7-9）2+（10-9）2+（10-9）2+（9-9）2+（8-9）2］
＝（1+4+1+1+0+1）＝；
（3） 推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
点评 初中学生要掌握用样本估计总体的统计思想，掌握平均数、众数、中位数、极差、方差等概念，还要掌握计算平均数、与方差的公式.并且能根据我们获得的数据，作出合理的分析，最后能做出正确的决策，以帮助我们解决实际问题.
五、 函数型
教学大纲要求初中学生要掌握一次函数、反比例函数、二次函数所包含的知识要点，还要能利用函数知识去分析问题、解决问题.函数型的综合性应用题能锻炼学生逻辑思维、发散思维，能提高学生解决实际为题的综合能力.
例6 （2011年?荆门）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
（1） 分别求y和y的函数解析式；
（2） 有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
考点：二次函数的应用．
分析：（1） 根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2） 根据y=y+y得出关于x的二次函数，求出二次函数最值即可．
解答：解：（1） 由题意得：
① 5k=2，k=， ∴ y=x
② 4a+2b=2.4,16a+4b=3.2, ∴ a=－，b=.
∴ y=－x2+x
（2） 设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10-t）万元，共获补贴Q万元．
∴ y=（10－t）=4－t ，y=－t2+t
∴ Q=y+y=4－t－t2+t=－t2+t+4=－（t－3）2+
∵ －＜0， ∴Q有最大值，即当t=3时，Q＝
∴ 10－t=7 （万元）
即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决实际问题是中考的热点问题．
近年来，中考中的应用题不断推陈出新，以致许多学生看后，有种“ 山重水复疑无路”的感觉，但放宽思维，仔细思考，联系数学模型，找出数学应用性问题的解题规律，忽然又有“柳暗花明又一村”新境界.
一、 方程型
列方程（组）解应用题的关键是如何找到能够表达题目全部含义的相等关系，常见的相等关系有两种：第一种是通过题目中的关键词表达的相等关系，例如：“多”“少”“增加”“减少”等，另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含着的相等关系，隐含相等关系需结合日常生活知识和自然科学知识才能得到，常用的方法有：（1）译式法；（2）图示法；（3）表格法等，方程（组）常与函数、不等式（组）等知识结合，解决生活中的热点问题.
例1 （2011年?河北）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1） 问乙单独整理多少分钟完工？
（2） 若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用.
分析 （1） 将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；
（2） 设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．
解答：解：（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：
+=1
解得x=80，
经检验x=80是原分式方程的解．
答：乙单独整理80分钟完工．
（2） 设甲整理y分钟完工，根据题意，得
+≥1
解得：y≥25
答：甲至少整理25分钟完工．
点评 分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．
例2 （2011年?云南）今年四月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨；一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨．
（1） 李大叔安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（2） 若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，请帮李大叔算一算应选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少元？
考点：不等式组的应用
分析 根据题目中的甲、乙两种货车装的洋葱的总重量大于或等于30，装的黄瓜的总重量大于或等于13，建立不等式组.
解答：（1）设李大叔安排x辆甲种货车，乙种货车有（10－x）辆，则有
4x+2（10－x）?叟30x+2（10－x）?叟13
解之得：5≤x≤7
因为x应取正整数.所以x取5，6，7
方案如下：
① 安排5辆甲种货车，5辆乙种货车；
② 安排6辆甲种货车，4辆乙种货车；
③ 安排7辆甲种货车，3辆乙种货车．
（2） 方案①：5×2000+5×1300=16500（元）
方案②：6×2000+4×1300=17200（元）
方案③：7×2000+3×1300=17900（元）
所以，李大叔应选择方案①才能使运费最少，最少运费是16500元．
点评 方程（组）或不等式（组）是一种重要的数学思想，在解决实际问题时，通过分析数量特征，寻求等量关系，构建数学模型，是一种最基本的方法.
二、 几何形
根据几何图形的特点，寻找相应的数学模型，建立方程（组），不等式（组），把与图形有关的实际问题，转化为数学问题，从而解决问题.在教材中，有许多利用几何图形特性的例子，如零件的加工与测量等.
例3 （2011年?长春）在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求其中一个小矩形花圃的长和宽．
考点：二元一次方程组的应用
分析：从图形的实际出发找出等量关系建立方程
解答：设小矩形花圃的长为xm，宽为ym．
根据题意，得2x+y=10,x+2y=8.
解得x=4，y=2.
答：小矩形花圃的长为4m，宽为2m．
三、 三角形
测量性问题是非常贴近生活的题型，所涉及的内容是锐角三角函数等知识，我们所学的相应的知识为我们解决此类实际问题提供了必要理论支撑，初中学生要掌握相应的测量术语与计算方法.
例4 （2011年?烟台）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度.如图所示是护城河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.
（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08）
分析 观察图形，此题需添加辅助线，将EM平移至点F处，构造直角三角形，从而利用解直角三角形的知识解决.
方法：此题考查解直角三角形的应用. 解题关键是添加辅助线，构造直角三角形. 此题巧妙利用36°与72°之间的特殊关系，证明等腰三角形，从而简化了计算.
解答：过点F作FG∥EM交CD于G. 则MG＝EF＝20米.
∠FGN＝∠α＝36°.
∴ ∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°.
∴ ∠FGN＝∠GFN，
∴ FN＝GN＝50－20＝30（米）.
在Rt△FNR中，
FR＝FN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29（米）.
答: 河宽FR约是29米.
四、 统计型
例5 （2011年?宿迁）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
（1） 根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是环，乙的平均成绩是环；
（2） 分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3） 根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
（计算方差的公式：s2＝［（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2］）
考点：平均数，方差.
分析：直接用平均数，方差计算和分析.
解答：解：（1） 9；9．
（2） s2甲＝［（10-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（8-9）2+（10-9）2+（9-9）2］
＝（1+1+0+1+1+0）＝；
s2乙＝［（10-9）2+（7-9）2+（10-9）2+（10-9）2+（9-9）2+（8-9）2］
＝（1+4+1+1+0+1）＝；
（3） 推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
点评 初中学生要掌握用样本估计总体的统计思想，掌握平均数、众数、中位数、极差、方差等概念，还要掌握计算平均数、与方差的公式.并且能根据我们获得的数据，作出合理的分析，最后能做出正确的决策，以帮助我们解决实际问题.
五、 函数型
教学大纲要求初中学生要掌握一次函数、反比例函数、二次函数所包含的知识要点，还要能利用函数知识去分析问题、解决问题.函数型的综合性应用题能锻炼学生逻辑思维、发散思维，能提高学生解决实际为题的综合能力.
例6 （2011年?荆门）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
（1） 分别求y和y的函数解析式；
（2） 有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
考点：二次函数的应用．
分析：（1） 根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2） 根据y=y+y得出关于x的二次函数，求出二次函数最值即可．
解答：解：（1） 由题意得：
① 5k=2，k=， ∴ y=x
② 4a+2b=2.4,16a+4b=3.2, ∴ a=－，b=.
∴ y=－x2+x
（2） 设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10-t）万元，共获补贴Q万元．
∴ y=（10－t）=4－t ，y=－t2+t
∴ Q=y+y=4－t－t2+t=－t2+t+4=－（t－3）2+
∵ －＜0， ∴Q有最大值，即当t=3时，Q＝
∴ 10－t=7 （万元）
即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决实际问题是中考的热点问题．
近年来，中考中的应用题不断推陈出新，以致许多学生看后，有种“ 山重水复疑无路”的感觉，但放宽思维，仔细思考，联系数学模型，找出数学应用性问题的解题规律，忽然又有“柳暗花明又一村”新境界.