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直觉思维是非逻辑思维形式,美国教育家布鲁纳认为:“直觉是指没有明显地依靠个人技巧的分析器官掌握问题或情境的意义、重要性及结构的行为.”我国著名科学家钱学森认为:“直觉是一种人们没有意识到的对信息的加工活动,是在潜意识中酝酿问题然后与显意识突然沟通,于是一下子得到了问题的答案,而对加工的具体过程,我们则没有意识到.”对于直觉思维,国内外的科学家、教育专家看法也有所差异,但有一个共同认识,即直觉思维是客观存在的一种思维形式,它是一种以高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题实质的思维形式.在数学史上,许多数学家都很重视直觉思维的作用.例如,笛卡儿创立解析几何、牛顿发明微积分都受益于数学直觉思维.“逻辑用于论证,直觉用于发明”,彭加勒的这一名言对于数学创造活动中直觉思维的作用,论述得十分精辟.
数学直觉是人们对数学对象的直接地洞察和领悟,是一种不包含普通逻辑推理过程的直接感悟,同时它与感性直观也是不同的,感性直观有依赖器官所造成的局限,正如数学家彭加勒所指出的:“直观不必建立在感觉明白之上,感觉不久就会变得无能为力.例如,我们无法想象千边形,可是能够通过直觉一般地思考多边形,多边形把千边形作为一个特例包括进来.”
一、直觉思维的特性
(一)思维过程的非逻辑性
非逻辑性是数学直觉的主要特征.直觉思维并不是根据一定的规则按部就班地进行的,它不遵循固定的逻辑规则,却可能在非逻辑方面另辟蹊径.数学家高斯在1805年写给朋友的信中,谈到他当年研究高斯和的符号问题最终得到解决的情形:“最后,只是几天前,成功了,就像闪电轰击的一刹那,那个谜解开了,我从前的知识,我最后一次尝试的方法以及成功的原因,这三者究竟是如何联系起来的,我自己也未能理出头绪来.”
(二)偶然性、自发性
直觉思维常以顿悟、灵感的形式出现.灵感是研究或学习者对数学探索的激情,是长期或至少是长时间地沉浸于解决问题的情景之中,然后受到偶发的信息或精神松弛状态下的某种因素的启迪,而产生思维的火花、跃迁式的顿悟.
(三)易失性
直觉思维产生的认识并非锁定在一个逻辑的链条上,它可以像一粒散落的珍珠容易丢失,有经验的人特别关注思维的火花的产生,不轻易让它溜走,并且再思考和锤炼它.
(四)或然性
直觉判断的结果不一定都正确,即使是最伟大的数学家,他们的数学直觉也常有错误,所以,直觉认识都需经过逻辑验证.
(五)整体性
直觉往往表现为对问题的整体洞察.为了从总体上把握问题,可暂时忽略问题的细节.它往往以单刀直入的方式,一次触及问题的本质.所以教学中应丰富背景材料,恰当地创设教学情境,促使学生整体思考.数学直觉思维的重要特征之一,就是思维形式的整体性.人们常常遇到这种情况:拘泥于一部分的研究往往不得要领,而反回头来做整体考察则豁然开朗.因此,从整体上揭示出事物的本质与内在联系,往往可以激发直觉思维,从而导致思维的创新.
二、构建数学直觉思维的方法
现代神经心理学关于右脑思维活动非言语性的分析,清楚地揭示了数学直觉的本质.专家指出:“数学直觉是可以后天培养的.实际上,每个人的数学直觉也是不断提高的.”在教学中重视数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用,使学生真正做到对所学问题的理解.
扎实的基础是产生直觉的源泉.直觉的获得虽然具有偶然性,但绝不是无缘无故的凭空臆想,而是以扎实的知识为基础.没有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花的.阿提雅说:“一旦你真正感到弄懂一样东西,而且你通过大量例子以及通过与其他东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验.对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉.”
教师要善于抓住课堂中学生产生的稍纵即逝的直觉,对问题作出透彻的分析,深刻揭示学生直觉产生的根据.
培养学生广泛的兴趣和高度的求知欲,在数学中注意渗透数学美的鉴赏能力.著名科学史专家库恩所指出的:“在新理论的建立中,美学考虑的重要性有时是决定性的.”例如,由美感产生的直觉导致了射影几何的建立.在欧氏平面几何中,点和直线的关系并不是完全对称的,因为过两点总可以作一条直线,而两条直线并不总有交点.为了解决上述矛盾,法国数学家笛沙格提出如下设想:同圆一样,直线也是一种封闭图形,其两端点的连接点在无穷远处,而且在直线上应有一个无穷远点.正是从这个假想出发,笛沙格初步建立了射影几何的理论.
在实际解题教学中,提供尽可能多的机会让学生交流合作,引导学生大胆进行猜测,鼓励学生猜定理,猜证法.
在教学中教师要致力于暴露数学思维的过程.新的数学课程标准的实施,虽然加强了对概念的形成和实际问题的数学化的处理,把注重提高学生的数学思维能力作为数学教育的基本目标,但学生依然很少真实地应用.如果在教学中,教师能注意分析问题的提出背景,并能把自己直接猜测结果的心理活动告诉学生(尽管是朦胧的),必将有利于学生直觉思维能力的培养.教师必须树立以学生为主体的教育理念.对于直觉思维的开发和培养,教师应重在鼓励、启发和疏导,教师应使学生意识到,思考一个问题,可以用严密的逻辑推理的形式,也完全可以用自己的直觉.要教会学生善于捕捉“一闪之念”,并及时通过实验或实践活动来加以验证.要热情扶植学生的思维萌芽,鼓励学生大胆设疑、求异,启发、引导学生自己想方设法进行解惑.尽管学生通过直觉思维产生的一些“猜想”和“假设”从表面上看有点单纯、幼稚,甚至错误,但这些“猜想”和“假设”都是积极的、体现主体个性的活动,是一种创新思维活动,教师都应予以肯定.
参考文献:
[1]刘云章,马复.数学直觉与发现[M].合肥:安徽教育出版社,1991.7.
[2]范叙保.论数学猜想在数学探究活动中的思维形式[J].数学教育学报,2002,11(4).
[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.
(责任编辑 黄春香)
数学直觉是人们对数学对象的直接地洞察和领悟,是一种不包含普通逻辑推理过程的直接感悟,同时它与感性直观也是不同的,感性直观有依赖器官所造成的局限,正如数学家彭加勒所指出的:“直观不必建立在感觉明白之上,感觉不久就会变得无能为力.例如,我们无法想象千边形,可是能够通过直觉一般地思考多边形,多边形把千边形作为一个特例包括进来.”
一、直觉思维的特性
(一)思维过程的非逻辑性
非逻辑性是数学直觉的主要特征.直觉思维并不是根据一定的规则按部就班地进行的,它不遵循固定的逻辑规则,却可能在非逻辑方面另辟蹊径.数学家高斯在1805年写给朋友的信中,谈到他当年研究高斯和的符号问题最终得到解决的情形:“最后,只是几天前,成功了,就像闪电轰击的一刹那,那个谜解开了,我从前的知识,我最后一次尝试的方法以及成功的原因,这三者究竟是如何联系起来的,我自己也未能理出头绪来.”
(二)偶然性、自发性
直觉思维常以顿悟、灵感的形式出现.灵感是研究或学习者对数学探索的激情,是长期或至少是长时间地沉浸于解决问题的情景之中,然后受到偶发的信息或精神松弛状态下的某种因素的启迪,而产生思维的火花、跃迁式的顿悟.
(三)易失性
直觉思维产生的认识并非锁定在一个逻辑的链条上,它可以像一粒散落的珍珠容易丢失,有经验的人特别关注思维的火花的产生,不轻易让它溜走,并且再思考和锤炼它.
(四)或然性
直觉判断的结果不一定都正确,即使是最伟大的数学家,他们的数学直觉也常有错误,所以,直觉认识都需经过逻辑验证.
(五)整体性
直觉往往表现为对问题的整体洞察.为了从总体上把握问题,可暂时忽略问题的细节.它往往以单刀直入的方式,一次触及问题的本质.所以教学中应丰富背景材料,恰当地创设教学情境,促使学生整体思考.数学直觉思维的重要特征之一,就是思维形式的整体性.人们常常遇到这种情况:拘泥于一部分的研究往往不得要领,而反回头来做整体考察则豁然开朗.因此,从整体上揭示出事物的本质与内在联系,往往可以激发直觉思维,从而导致思维的创新.
二、构建数学直觉思维的方法
现代神经心理学关于右脑思维活动非言语性的分析,清楚地揭示了数学直觉的本质.专家指出:“数学直觉是可以后天培养的.实际上,每个人的数学直觉也是不断提高的.”在教学中重视数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用,使学生真正做到对所学问题的理解.
扎实的基础是产生直觉的源泉.直觉的获得虽然具有偶然性,但绝不是无缘无故的凭空臆想,而是以扎实的知识为基础.没有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花的.阿提雅说:“一旦你真正感到弄懂一样东西,而且你通过大量例子以及通过与其他东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验.对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉.”
教师要善于抓住课堂中学生产生的稍纵即逝的直觉,对问题作出透彻的分析,深刻揭示学生直觉产生的根据.
培养学生广泛的兴趣和高度的求知欲,在数学中注意渗透数学美的鉴赏能力.著名科学史专家库恩所指出的:“在新理论的建立中,美学考虑的重要性有时是决定性的.”例如,由美感产生的直觉导致了射影几何的建立.在欧氏平面几何中,点和直线的关系并不是完全对称的,因为过两点总可以作一条直线,而两条直线并不总有交点.为了解决上述矛盾,法国数学家笛沙格提出如下设想:同圆一样,直线也是一种封闭图形,其两端点的连接点在无穷远处,而且在直线上应有一个无穷远点.正是从这个假想出发,笛沙格初步建立了射影几何的理论.
在实际解题教学中,提供尽可能多的机会让学生交流合作,引导学生大胆进行猜测,鼓励学生猜定理,猜证法.
在教学中教师要致力于暴露数学思维的过程.新的数学课程标准的实施,虽然加强了对概念的形成和实际问题的数学化的处理,把注重提高学生的数学思维能力作为数学教育的基本目标,但学生依然很少真实地应用.如果在教学中,教师能注意分析问题的提出背景,并能把自己直接猜测结果的心理活动告诉学生(尽管是朦胧的),必将有利于学生直觉思维能力的培养.教师必须树立以学生为主体的教育理念.对于直觉思维的开发和培养,教师应重在鼓励、启发和疏导,教师应使学生意识到,思考一个问题,可以用严密的逻辑推理的形式,也完全可以用自己的直觉.要教会学生善于捕捉“一闪之念”,并及时通过实验或实践活动来加以验证.要热情扶植学生的思维萌芽,鼓励学生大胆设疑、求异,启发、引导学生自己想方设法进行解惑.尽管学生通过直觉思维产生的一些“猜想”和“假设”从表面上看有点单纯、幼稚,甚至错误,但这些“猜想”和“假设”都是积极的、体现主体个性的活动,是一种创新思维活动,教师都应予以肯定.
参考文献:
[1]刘云章,马复.数学直觉与发现[M].合肥:安徽教育出版社,1991.7.
[2]范叙保.论数学猜想在数学探究活动中的思维形式[J].数学教育学报,2002,11(4).
[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.
(责任编辑 黄春香)