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在近几年全国各地的高考试题中，加大了对运用用数学思想方法解决问题的能力的考查，而函数的思想是数学思想方法的核心.从运动变化的观点观察问题、分析问题是函数思想的精髓.取值范围问题和最值问题是我们经常遇到的问题，它更是高考考查的重要题型，这些问题中都含有变化的图形或变化的量，研究它们的变化过程和变化规律，是解决这类问题的基本方法，这种从运动变化的观点解决问题常常可以使解题过程更加简捷直观.
例1在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.
分析：从条件看，四边形ABCD的边BC的长度和四个角的大小是确定的，而其它三边的长度是变化的，我们可以让点A、D动起来，观察它们的变化规律.
解：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得BCsin∠E=BEsin∠C，即2sin30°=BEsin75°，解得BE=6 2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，BFsin∠FCB=BCsin∠BFC，即BFsin30°=2sin75°，解得BF=6-2，又因为ABCD是四边形，所以AB的取值范围为（6-2，6 2）.
例2已知OB=（2，0），OC=（2，2），CA=（2cosα，2sinα），则OA与OB夹角的取值范围是.
分析：题中的点B、C是确定的，点A随着α的变化而变化，故需研究点A的变化规律，即研究点A的轨迹.
解：因为|CA|=2，所以点A在以C为圆心，2为半径的圆上运动，过原点作此圆的切线，那么得到两条切线，这两条切线的倾斜角分别为π4-π6=π12和π4 π6=5π12，从而向量OA与OB夹角的范围是[π12，5π12].
例3满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值为.
分析：如果固定点A、B，让点C运动，建立适当的平面直角坐标系后可求出点C的轨迹方程，再用数形结合的方法就能求出三角形ABC的面积的最大值.
解：以AB所在的直线x轴，AB的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），设点C（x，y），则由AC=2BC得C点的轨迹方程为：（x-3）2 y2=8（y≠0）.所以，点C在以M（3，0）为圆心，半径r=22的圆上.从图中看出，点C到x轴的最大距离为22.
所以，三角形ABC的面积的最大值为：12AB·r=12·2·22=22.
评注：设BC=x，从而AC=2x，可以求出三角形ABC的面积关于x的函数表达式，再用函数的方法求出面积的最大值，但所用知识点较多，且不易得到正确结果.由AC=2BC联想到点C的轨迹是圆，从而可用圆的有关知识去分析，直观、简捷.
例4已知二次函数f（x）=ax2 （2b 1）x-a-2在区间[3，4]上至少有一个零点，则a2 b2的最小值为.
分析：f（x）的零点就是关于x的方程ax2 （2b 1）x-a-2=0的根，这个方程的根随着a、b的变化而变化，若将P（a，b）看成动点，则点P在直线l：（x2-1）a 2xb x-2=0上，且a2 b2=OP2，从而当OP⊥l时，a2 b2取最小值.
解：f（x）=0即ax2 （2b 1）x-a-2=0即（x2-1）a 2xb x-2=0，这是一个关于a、b的方程，表示aOb平面上的一条直线，记为l.
设P（a，b），则点P在直线l：（x2-1）a 2xb x-2=0上，从而当OP⊥l时，a2 b2取最小值.
又OP⊥l时，
OP=|x-2|（x2-1）2 （2x）2
=|x-2|x2 1，
设t=x-2，∵3≤x≤4，∴1≤t≤2，
∴|x-2|x2 1=tt2 4t 5=1t 5t 4，
∵函数y=t 5t 4在[1，2]上是减函数，
∴172≤t 5t 4≤10，
∴|x-2|x2 1=1t 5t 4≥110，
∴当且仅当t=1，即x=3时，a2 b2取最小值1100.
评注：如果先由条件求出a、b满足的不等式组，再从不等式组出发求a2 b2的最小值，将是非常复杂的.我们首先变换主变元，将这个关于x的方程，看成关于a、b的方程，再数形结合求解，就避开了难点，使问题迅速得到了解决.
（作者：卜以军，江苏省建湖高级中学）
例1在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.
分析：从条件看，四边形ABCD的边BC的长度和四个角的大小是确定的，而其它三边的长度是变化的，我们可以让点A、D动起来，观察它们的变化规律.
解：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得BCsin∠E=BEsin∠C，即2sin30°=BEsin75°，解得BE=6 2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，BFsin∠FCB=BCsin∠BFC，即BFsin30°=2sin75°，解得BF=6-2，又因为ABCD是四边形，所以AB的取值范围为（6-2，6 2）.
例2已知OB=（2，0），OC=（2，2），CA=（2cosα，2sinα），则OA与OB夹角的取值范围是.
分析：题中的点B、C是确定的，点A随着α的变化而变化，故需研究点A的变化规律，即研究点A的轨迹.
解：因为|CA|=2，所以点A在以C为圆心，2为半径的圆上运动，过原点作此圆的切线，那么得到两条切线，这两条切线的倾斜角分别为π4-π6=π12和π4 π6=5π12，从而向量OA与OB夹角的范围是[π12，5π12].
例3满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值为.
分析：如果固定点A、B，让点C运动，建立适当的平面直角坐标系后可求出点C的轨迹方程，再用数形结合的方法就能求出三角形ABC的面积的最大值.
解：以AB所在的直线x轴，AB的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），设点C（x，y），则由AC=2BC得C点的轨迹方程为：（x-3）2 y2=8（y≠0）.所以，点C在以M（3，0）为圆心，半径r=22的圆上.从图中看出，点C到x轴的最大距离为22.
所以，三角形ABC的面积的最大值为：12AB·r=12·2·22=22.
评注：设BC=x，从而AC=2x，可以求出三角形ABC的面积关于x的函数表达式，再用函数的方法求出面积的最大值，但所用知识点较多，且不易得到正确结果.由AC=2BC联想到点C的轨迹是圆，从而可用圆的有关知识去分析，直观、简捷.
例4已知二次函数f（x）=ax2 （2b 1）x-a-2在区间[3，4]上至少有一个零点，则a2 b2的最小值为.
分析：f（x）的零点就是关于x的方程ax2 （2b 1）x-a-2=0的根，这个方程的根随着a、b的变化而变化，若将P（a，b）看成动点，则点P在直线l：（x2-1）a 2xb x-2=0上，且a2 b2=OP2，从而当OP⊥l时，a2 b2取最小值.
解：f（x）=0即ax2 （2b 1）x-a-2=0即（x2-1）a 2xb x-2=0，这是一个关于a、b的方程，表示aOb平面上的一条直线，记为l.
设P（a，b），则点P在直线l：（x2-1）a 2xb x-2=0上，从而当OP⊥l时，a2 b2取最小值.
又OP⊥l时，
OP=|x-2|（x2-1）2 （2x）2
=|x-2|x2 1，
设t=x-2，∵3≤x≤4，∴1≤t≤2，
∴|x-2|x2 1=tt2 4t 5=1t 5t 4，
∵函数y=t 5t 4在[1，2]上是减函数，
∴172≤t 5t 4≤10，
∴|x-2|x2 1=1t 5t 4≥110，
∴当且仅当t=1，即x=3时，a2 b2取最小值1100.
评注：如果先由条件求出a、b满足的不等式组，再从不等式组出发求a2 b2的最小值，将是非常复杂的.我们首先变换主变元，将这个关于x的方程，看成关于a、b的方程，再数形结合求解，就避开了难点，使问题迅速得到了解决.
（作者：卜以军，江苏省建湖高级中学）