一道竞赛题的推广及另一半

• 作 者: 姚国强
• 出 处: 数学教学通讯(教师阅读)
• 发表日期: 2012年4期
• 关键词: 数学知识 推广 变化图形

　　摘 要：本文对2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题的13题的第一小问的结论进行了五种推广，找到每种推广的结论，并且对类似的问题放在一起来研究，找到他们与三角形对应角之间的规律．
　　关键词：数学知识；推广；变化图形
　　
　　2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题的13题为：
　　如图1，P是△ABC内一点．
　　（1）若P是△ABC的内心，证明：∠BPC=90°+∠BAC；
　　（2）若∠BPC=90°+∠BAC且∠APC=90°+∠ABC，
　　证明：P是△ABC的内心．
　　这道题的第一问蕴涵着丰富的数学知识，本人通过研究发现它可以推广，并且经过适当地变化图形可以得到相应的结论．
　　推广1 在△ABC中，∠PBC=k∠ABC，∠PCB=k∠ACB（0　　证明：∠BPC=π－∠PBC－∠PCB=π－k（∠ABC+∠ACB）=π－k（π－∠BAC）=（1－k）π+k∠BAC．
　　这个推广也可以用∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP来证明．
　　推广2 如图2，在△ABC中，∠P1BC=k∠ABC，∠P1CB=k∠ACB，当n≥2时，∠PnBPn-1=k∠ABPn-1，∠PnCPn-1=k∠ACPn-1（0　　简证：n≥2，∠BPnC=∠BPn-1C－∠PnBPn-1－∠PnCPn-1
　　=∠BPn-1C－k（∠BPn-1C－∠BAC）
　　=（1-k）∠BPn-1C+k∠BAC，
　　即∠BPnC－∠BAC=（1-k）（∠BPn-1C－∠BAC）=（1-k）n-1∠BP1C－∠BAC
　　=（1-k）nπ－（1-k）n∠BAC+∠BAC.
　　推广3 如图3，在△ABC中，∠P1BC=k∠ABC，∠P1CB=k∠ACB，∠P1BP2=k∠P1BC，∠P1CP2=k∠P1CB，当n≥2时，∠PnBPn-1=k∠Pn-2BPn-1，∠PnCPn-1=k∠Pn-2CPn-1（0　　简证：∠PnBC=∠P1BC+∠P1BP2+∠P2BP3+…+∠PnBPn-1=k∠ABC+k2·∠ABC+k3∠ABC+…+kn∠ABC=·∠ABC，∠PnCB=∠P1CB+∠P1CP2+∠P2CP3+…+∠PnCPn-1=k∠ACB+k2·∠ACB+k3∠ACB+…+kn∠ACB=·∠ACB，∠BPnC=π－（∠PnBC+∠BCPn）=π－（π－∠BAC）．
　　推广4 如图4，在△ABC中，∠P1BC=k∠ABC，∠P1CB=k∠ACB，当n≥2时，∠PnBC=k∠Pn-1BC，∠PnCB=k∠Pn-1CB（0　　简证：n≥2，∠PnBC=k∠Pn-1BC=…=kn∠ABC
　　∠BCPn=k∠BCPn+1=…=kn∠ACB，
　　∠BPnC=π－∠PnBC－∠PnCB=π－kn（π－∠BAC）．
　　推广5 如图5，在△ABC中，∠ABC=k∠P1BC，∠ACB=k∠P1CB，当n≥2时，∠Pn-1BC=k∠PnBC，∠Pn-1CB=k∠PnCB（0　　推广6 在△ABC中，∠ABC=k∠P1BC，∠ACB=k∠P1CB，当n≥2时，∠ABPn-1=k∠PnBPn-1，∠ACPn-1=k∠PnCPn-1（0　　推广7 在△ABC中，∠ABC=k∠P1BC，∠ACB=k∠P1CB，∠P1BC=k∠P1BP2，∠P1CB=k∠P1CP2，当n≥2时，∠Pn-2BPn-1=k∠PnBPn-1，∠Pn-2CPn-1=k∠PnCPn-1（0　　则∠BPnC=π－（π－∠BAC）（n∈N*）．
　　类似的问题1：如图6，在△ABC中，∠PBC=k∠MBC，∠PCB=k∠NCB（0　　推广8 如图7，在△ABC中，∠P1BC=k∠MBC，∠P1CB=k∠NCB（0　　推广9 如图8，在△ABC中，∠P1BC=k∠MBC，∠P1CB=k∠NCB（0　　推广10 如图9，在△ABC中，∠P1BC=k∠ABC，∠P1CB=k∠ACB，当n≥2时，∠PnBPn-1=k∠Pn-2BPn-1，∠PnCPn-1=k∠Pn-2CPn-1（0　　类似的问题2：如图10，在△ABC中，∠PCB=k∠ACB，∠PBM=k∠ABM（0　　图10
　　推广11 在△ABC中，∠P1CB=k∠ACB，∠P1BM=k∠ABM（0　　一个看起来比较简单的数学问题，通过研究反思后，对它进行推广可以得到我们想象不到的结论.