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戎：张教授，自从2001年小学数学新教材使用以来，有一个问题我一直在想：正整数加法和乘法的意义及其交换律怎样表述比较好？教学中怎样处理比较合适？你能抽空指导一下吗？
张：这个问题我也觉得有话要说。
戎：那就让我们先来谈谈加法吧。
张：自然数的加法，其本源意义在于对两个具有有限基数且不相交的集合A和B作并集A∪B之后， A∪B的基数是A的基数与B的基数之和。
戎： 这对一年级小学生而言，没法说明白。
张：但是说白了，很容易懂。这就是“数数”。A 、 B两堆石子，先数A堆的a颗，接着数B堆的b颗，最后的结果就是（a b）颗。
戎： 对，这样说倒是容易理解的。“数数”是最基本的数学活动之一，加法的本质就是“接着数”。我注意到，人教版一年级上册教材就是用“接着数”做加法的。
张：当代数学教育心理学的一个经典结果就是用“数数”这样一种行为性的操作活动来形成自然数的概念。加法概念不是来自于更多的小石子，而是来自于添加或合并的操作活动。现在强调四基，其中的基本数学活动中，一定会包括“数数”这样重要的数学活动。
戎：是啊， 如果用“数数”学习加法交换律，就非常明白易懂。教材上可以画A 、B两堆石子，先数A堆再接着数B堆的结果，和先数B堆接着数A堆的结果是一样的。从本源上看，这就是交换律成立的证明。从小学生的感受而言，这是明白易懂的直观。可是人教版四年级下册教材“加法运算定律”教学内容中（见图1）并没有用“数数”的活动加以说明。
张：非常遗憾。现在教材里提到加法交换律，就是让学生拿两个数来验证一下：5 6=6 5，然后要学生分组举很多例子，归纳出加法交换律成立。至于为什么可以交换，没有从本源上说清道理。现在提出“过程与方法的教学目标”，凡是小学生能够懂的道理，还是要说理。
戎：这种操作方法确实不错。那么“数数”的操作活动能不能用于乘法呢？
张：不仅可以，而且必要。“数数”这样的基本数学活动，需要多次进行，使之成为理解自然数运算规律的一把钥匙。
戎：2013年，人教社出版的二年级上册教材先展示了三个不同的生活情境图片，引出三个加法算式：3 3 3 3 3=15 ，6 6 6 6=24 ，2 2 2 2 2 2 2=14 。然后指出：“这种加数相同的加法，还可以用乘法表示。”针对最后一个加法算式，指出用乘法算式可以写为“2 ×7=14”或“7× 2=14”。同时给出了它们的读法（见图2）。
张：最近我也看到了，颇为惊讶。
戎：这就是说，不管是“2×7”还是“7×2”都表示7个2相加，两个不同的乘法算式，表示的是同一个加法算式。推而广之，当a和b都是大于1的整数时，a×b和b×a都可表示b个a的和，同时也都可表示a个b的和。用这样的方法来给出两个数相乘的意义好像有问题。
张：这里用了一个“或”字。就把“7个2相加”和“2个7相加”两个不同运算过程等同起来了。可是，乘法交换律只说交换乘数次序相乘之后其结果相同，没有说这两个过程相同。它的错误，正好像说一头羊和一头猪都重50千克，就说这头“羊”是一头“猪”，有悖常理。
戎：不知道为什么会改成这样？
张：我回想了一下，在本世纪初课改刚开始的时候，小学数学里曾有乘数和被乘数的区别。即a×b和b×a的意义不尽相同。特别是在解应用问题列式时，如果列式需要写成a×b，那么写成b×a就算错。于是，一些数学家就讽刺“在小学数学里乘法交换律不成立”。当时这成为数学课程改革的重要由头之一。改革是必要的，但是，矫枉过正就会出现失误。
戎：既然教材中把“2×7” 与“7×2”说成是一回事，那么对于大于1的整数a和b而言，a×b和b×a也是一回事。a×b=b×a就是自然成立的，连验证都可以省去。这样一来，乘法交换律还有意义吗？还能称为“数学定律”吗？
张：是啊。像现在这样处理，是一次科学性的失误。
戎：问题还在于《义务教育数学课程标准（2011年版）》第76页上的例5：“教室里有6行座位，每行7个，教室里一共有多少个座位？【说明】 这个例子可以引导学生理解教室中的座位数是6个7的和，可以写成：6×7 或7×6。”
张：哦，《课程标准》也把6×7 说成就是7×6，没有想到。我想，如有不妥，《课程标准》也是可以改的。
戎：或许教材的编写者注意到了这个问题，因此在四年级下册教材“运算定律”这一单元教学中就不承认“4×25”和“25×4”是一回事了，也就是说4×25不能写为 25×4，而必须经过计算得到4×25 =100，25×4=100，然后得到等式4×25 =25×4，并在要求学生“再写出几个这样的等式”后得出乘法交换律成立。用字母表示为a×b=b×a。这与二年级上册教材中给出的乘法意义不统一。
张：自相矛盾了。
戎：那该怎么处理为好呢？
张：我想，正本清源，还是回到“数数”这个原始的数学操作活动上来。例如针对二年级上册教材引入乘法意义的例3，画出石子图（见图3）。
接着的文字为：
这堆石子有多少颗呢？我们可以竖着数，每列2颗石子，共7列。7个2相加，写成 2×7，读作2乘以7。我们也可以横着数，每行7颗，共2行，2个7相加，写成7×2，读作7乘以 2。不管竖着数，还是横着数，结果都是14。所以 2×7=7×2。
戎：请说说这样做的理由。
张：我想，这次乘法意义的教学改革，目标是：
①不要提出乘数、被乘数的概念；②知道 2 × 7 = 7 × 2；③懂得其中的道理。
在上面的文字说明里，我们做到了以下三点：第一，我们没有一般化地提出乘数和被乘数的抽象概念，但是用实际的数说明了7个2相加和2个7相加之间的区别，并且保留了“2乘以7”的传统读法。第二，我们导出了2× 7= 7×2，不会出现所谓小学里乘法不服从交换律的毛病。第三，我们用数数的操作活动，以及竖着数、横着数的生活化的语言，说明了等式成立的合理性。这样做，等于把乘法的交换律提前在引入乘法意义时就有所涉及，不知道在教学实践中是否可行？ 戎：我想，有了“数数”这个活动的支持，再利用教材中例1和例2，继续操作几次，类似的，可以得到3×5=5×3，6×4=4×6。最终二年级小学生应该能够理解两个数相乘交换它们的次序乘积不变的结论。不过二年级仅限于具体的数相乘。至于一般地出现a×b=b×a那样的字母式，以及采用交换律这样的专有名词，仍旧可到四年级再提出。这样分为两个阶段，互相连接，没有矛盾。
张：至于《课程标准》里的那个“例5”，有教室里的座位作生活化背景，只要加一句话：“用横着一行行数（7×6）和竖着一列列数（6×7）两种方法计算座位的数目，结果相同。”并将“可以写成：6×7 或7×6 ”改写为“可以写成7×6 ”就行了。
戎：关于2×7的读法，你认为要读成2乘以7， 是不是有乘数、被乘数这样的意思在里面。
张：不。我们只是说明2乘以7，专指7个2相加；7乘以2，是2个7相加。我们要说明这两者是不同的过程，但结果一样。至于在教学中，尤其在考试中，不要刻意去强调其间的差别，更不要一般地提出乘数、被乘数的概念。至于2×7读成2乘以7，那是正规读法。另外，这种读法与接下来学习除法a÷b的读法（a除以b）可以比较自然地衔接起来。当然，对于2×7这种乘法，简单地读作2乘7也可以。
戎：我想，我们的谈话是否可以归纳为以下几点：
1.根据现代学习心理学的研究，对加法、乘法的意义及其运算定律的理解，其本源在于“数数”的操作活动。我们现在强调“四基”教学，“数数”操作活动理应放在突出位置，现行教材还可以进一步予以利用。
2.现行教材中的乘法意义解释，将2×7 和7×2 看作是同一件事，混淆了两种不同的计算过程，使“乘法交换律”变得没有意义，缺乏科学性。应予以改正。
3. 乘数、被乘数概念的过分强调，对日后的学习并无益处，反而与乘法交换律相冲突，故不宜恢复，仍应去掉。
4.恢复7个2相加写成2×7，读作2乘以7，符合国内外的习惯。
5. 在刚开始学习乘法的时候，就将“ 7个2相加”与“2个7相加”区别开来，但说明二者结果相同，这可以为后来学习乘法交换律作铺垫。
6.在二年级上册学习中，将点子图用竖着数、横着数的“数数”活动来说明 2×7 = 7×2，是否可行，需要教学实践的检验。
张：我觉得你的归纳基本上展示了我们谈话的主要内容。我们下次有机会再谈。
戎：谢谢张教授的指导。
（ 华东师范大学数学系 200241
杭州师范大学教育学院 311121 ）
张：这个问题我也觉得有话要说。
戎：那就让我们先来谈谈加法吧。
张：自然数的加法，其本源意义在于对两个具有有限基数且不相交的集合A和B作并集A∪B之后， A∪B的基数是A的基数与B的基数之和。
戎： 这对一年级小学生而言，没法说明白。
张：但是说白了，很容易懂。这就是“数数”。A 、 B两堆石子，先数A堆的a颗，接着数B堆的b颗，最后的结果就是（a b）颗。
戎： 对，这样说倒是容易理解的。“数数”是最基本的数学活动之一，加法的本质就是“接着数”。我注意到，人教版一年级上册教材就是用“接着数”做加法的。
张：当代数学教育心理学的一个经典结果就是用“数数”这样一种行为性的操作活动来形成自然数的概念。加法概念不是来自于更多的小石子，而是来自于添加或合并的操作活动。现在强调四基，其中的基本数学活动中，一定会包括“数数”这样重要的数学活动。
戎：是啊， 如果用“数数”学习加法交换律，就非常明白易懂。教材上可以画A 、B两堆石子，先数A堆再接着数B堆的结果，和先数B堆接着数A堆的结果是一样的。从本源上看，这就是交换律成立的证明。从小学生的感受而言，这是明白易懂的直观。可是人教版四年级下册教材“加法运算定律”教学内容中（见图1）并没有用“数数”的活动加以说明。
张：非常遗憾。现在教材里提到加法交换律，就是让学生拿两个数来验证一下：5 6=6 5，然后要学生分组举很多例子，归纳出加法交换律成立。至于为什么可以交换，没有从本源上说清道理。现在提出“过程与方法的教学目标”，凡是小学生能够懂的道理，还是要说理。
戎：这种操作方法确实不错。那么“数数”的操作活动能不能用于乘法呢？
张：不仅可以，而且必要。“数数”这样的基本数学活动，需要多次进行，使之成为理解自然数运算规律的一把钥匙。
戎：2013年，人教社出版的二年级上册教材先展示了三个不同的生活情境图片，引出三个加法算式：3 3 3 3 3=15 ，6 6 6 6=24 ，2 2 2 2 2 2 2=14 。然后指出：“这种加数相同的加法，还可以用乘法表示。”针对最后一个加法算式，指出用乘法算式可以写为“2 ×7=14”或“7× 2=14”。同时给出了它们的读法（见图2）。
张：最近我也看到了，颇为惊讶。
戎：这就是说，不管是“2×7”还是“7×2”都表示7个2相加，两个不同的乘法算式，表示的是同一个加法算式。推而广之，当a和b都是大于1的整数时，a×b和b×a都可表示b个a的和，同时也都可表示a个b的和。用这样的方法来给出两个数相乘的意义好像有问题。
张：这里用了一个“或”字。就把“7个2相加”和“2个7相加”两个不同运算过程等同起来了。可是，乘法交换律只说交换乘数次序相乘之后其结果相同，没有说这两个过程相同。它的错误，正好像说一头羊和一头猪都重50千克，就说这头“羊”是一头“猪”，有悖常理。
戎：不知道为什么会改成这样？
张：我回想了一下，在本世纪初课改刚开始的时候，小学数学里曾有乘数和被乘数的区别。即a×b和b×a的意义不尽相同。特别是在解应用问题列式时，如果列式需要写成a×b，那么写成b×a就算错。于是，一些数学家就讽刺“在小学数学里乘法交换律不成立”。当时这成为数学课程改革的重要由头之一。改革是必要的，但是，矫枉过正就会出现失误。
戎：既然教材中把“2×7” 与“7×2”说成是一回事，那么对于大于1的整数a和b而言，a×b和b×a也是一回事。a×b=b×a就是自然成立的，连验证都可以省去。这样一来，乘法交换律还有意义吗？还能称为“数学定律”吗？
张：是啊。像现在这样处理，是一次科学性的失误。
戎：问题还在于《义务教育数学课程标准（2011年版）》第76页上的例5：“教室里有6行座位，每行7个，教室里一共有多少个座位？【说明】 这个例子可以引导学生理解教室中的座位数是6个7的和，可以写成：6×7 或7×6。”
张：哦，《课程标准》也把6×7 说成就是7×6，没有想到。我想，如有不妥，《课程标准》也是可以改的。
戎：或许教材的编写者注意到了这个问题，因此在四年级下册教材“运算定律”这一单元教学中就不承认“4×25”和“25×4”是一回事了，也就是说4×25不能写为 25×4，而必须经过计算得到4×25 =100，25×4=100，然后得到等式4×25 =25×4，并在要求学生“再写出几个这样的等式”后得出乘法交换律成立。用字母表示为a×b=b×a。这与二年级上册教材中给出的乘法意义不统一。
张：自相矛盾了。
戎：那该怎么处理为好呢？
张：我想，正本清源，还是回到“数数”这个原始的数学操作活动上来。例如针对二年级上册教材引入乘法意义的例3，画出石子图（见图3）。
接着的文字为：
这堆石子有多少颗呢？我们可以竖着数，每列2颗石子，共7列。7个2相加，写成 2×7，读作2乘以7。我们也可以横着数，每行7颗，共2行，2个7相加，写成7×2，读作7乘以 2。不管竖着数，还是横着数，结果都是14。所以 2×7=7×2。
戎：请说说这样做的理由。
张：我想，这次乘法意义的教学改革，目标是：
①不要提出乘数、被乘数的概念；②知道 2 × 7 = 7 × 2；③懂得其中的道理。
在上面的文字说明里，我们做到了以下三点：第一，我们没有一般化地提出乘数和被乘数的抽象概念，但是用实际的数说明了7个2相加和2个7相加之间的区别，并且保留了“2乘以7”的传统读法。第二，我们导出了2× 7= 7×2，不会出现所谓小学里乘法不服从交换律的毛病。第三，我们用数数的操作活动，以及竖着数、横着数的生活化的语言，说明了等式成立的合理性。这样做，等于把乘法的交换律提前在引入乘法意义时就有所涉及，不知道在教学实践中是否可行？ 戎：我想，有了“数数”这个活动的支持，再利用教材中例1和例2，继续操作几次，类似的，可以得到3×5=5×3，6×4=4×6。最终二年级小学生应该能够理解两个数相乘交换它们的次序乘积不变的结论。不过二年级仅限于具体的数相乘。至于一般地出现a×b=b×a那样的字母式，以及采用交换律这样的专有名词，仍旧可到四年级再提出。这样分为两个阶段，互相连接，没有矛盾。
张：至于《课程标准》里的那个“例5”，有教室里的座位作生活化背景，只要加一句话：“用横着一行行数（7×6）和竖着一列列数（6×7）两种方法计算座位的数目，结果相同。”并将“可以写成：6×7 或7×6 ”改写为“可以写成7×6 ”就行了。
戎：关于2×7的读法，你认为要读成2乘以7， 是不是有乘数、被乘数这样的意思在里面。
张：不。我们只是说明2乘以7，专指7个2相加；7乘以2，是2个7相加。我们要说明这两者是不同的过程，但结果一样。至于在教学中，尤其在考试中，不要刻意去强调其间的差别，更不要一般地提出乘数、被乘数的概念。至于2×7读成2乘以7，那是正规读法。另外，这种读法与接下来学习除法a÷b的读法（a除以b）可以比较自然地衔接起来。当然，对于2×7这种乘法，简单地读作2乘7也可以。
戎：我想，我们的谈话是否可以归纳为以下几点：
1.根据现代学习心理学的研究，对加法、乘法的意义及其运算定律的理解，其本源在于“数数”的操作活动。我们现在强调“四基”教学，“数数”操作活动理应放在突出位置，现行教材还可以进一步予以利用。
2.现行教材中的乘法意义解释，将2×7 和7×2 看作是同一件事，混淆了两种不同的计算过程，使“乘法交换律”变得没有意义，缺乏科学性。应予以改正。
3. 乘数、被乘数概念的过分强调，对日后的学习并无益处，反而与乘法交换律相冲突，故不宜恢复，仍应去掉。
4.恢复7个2相加写成2×7，读作2乘以7，符合国内外的习惯。
5. 在刚开始学习乘法的时候，就将“ 7个2相加”与“2个7相加”区别开来，但说明二者结果相同，这可以为后来学习乘法交换律作铺垫。
6.在二年级上册学习中，将点子图用竖着数、横着数的“数数”活动来说明 2×7 = 7×2，是否可行，需要教学实践的检验。
张：我觉得你的归纳基本上展示了我们谈话的主要内容。我们下次有机会再谈。
戎：谢谢张教授的指导。
（ 华东师范大学数学系 200241
杭州师范大学教育学院 311121 ）