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例1 等腰三角形的两边长为4和9，则它的周长是 .
解析 当腰长为4时，∵ 4+4<9，∴此情况不存在.
当腰长为9时，∵ 9+9>4，∴它的周长是22.
■ 本题中，“等腰三角形的边”不能确定是指腰还是底，以此为考点来考查同学们是否具有运用分类讨论思想的意识.
例2 已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：① AB∥CD，② OA=OC，③ AB=CD，④ ∠BAD=∠DCB，⑤ AD∥BC.
（1） 从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）：如①与⑤.
（2） 对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明.
解析 （1） ①②，①③，①④，②⑤，④⑤.（2） 如图1所示：
■ （1） 平行四边形的判定方法有很多，同学们容易产生知识“串联”，设计这道结论开放型问题，意在综合考查大家的逻辑思维能力和构造能力；（2）本试题的价值导向就是要求同学们在平时的学习中关注教材里的问题的呈现方式和设问方式，有意识地培养探究能力.
例3 如图2，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6 cm，DE=2 cm，则BC的长为 cm.
解析 如图3，延长AD交BC于M，延长ED交BC于N.
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AM⊥BC，BM=MC=■BC. ∵∠EBC=∠E=60°，∴△EBN是等边三角形，∴EN=BN=BE=6 cm，∴DN=EN-DE=4 cm.在Rt△DMN中，∵∠MDN=30°，∴MN=■DN=2 cm，∴BM=4 cm，∴BC=2BM=8 cm.
■ 图形构造新颖别致，实际上是将一个等边三角形嵌入并隐藏在等腰三角形内，“留白”令人“若有所思”，考查同学们的直觉思维，在学习内容上考查了特殊三角形的性质及应用.
例4 如图4，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE.试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论.
解析 AB与DE相等.
∵AD、AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=■（∠BAC+∠BAF）=90°.
又∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.
∵BE⊥AE，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=DE.
■ 几何模型是邻补角的角平分线互相垂直，并综合等腰三角形、矩形等知识，考查同学们灵活运用相关知识进行分析和推理的能力的能力.
例5 如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠B =60°，BC=2.点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
（1） ① 当α = 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ；
② 当α = 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ；
（2） 当α =90°时，判断四边形EDBC的形状，并说明理由.
解析？摇（1） ① 30，1；② 60，1.5；
（2） 当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED.？摇∵CE//AB，
∴四边形EDBC是平行四边形.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2， ∴∠A=30°，∴AB=4， AC=2■， ∴AO=■AC=■.
在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形.
■ 此题的知识外延是四边形增设内涵条件就可以得到不同的特殊四边形，同时运用旋转变换创设内涵条件，考查同学们在动手操作中探究、解决问题的能力.
例6 如图6，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动， 动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.
（1） t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形？四边形ABQP为矩形？
（2） 四边形ABQP在某一时刻会不会成为正方形？为什么？
解析 （1） 由题意知：AP=t，PD=24-t，CQ=3t，BQ=26-3t.
∵PD∥CQ，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，即24-t=3t，得t=6 s.
又∵AP∥BQ，∠B=90°，∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，即t=26-3t，得t=6.5 s时，四边形ABQP为矩形.
（2） ∵当t=6.5 s时，四边形ABQP为矩形，但此时AP=1×6.5=6.5≠AB，
∴四边形ABQP不会在某一时刻成为正方形.
■ （1） 几何问题代数化，探寻已知信息中特殊四边形线段之间的数量关系，构建方程模型；（2） 条件设计为开放型，要求同学们从问题的结论出发，运用观察、想象、分析、综合、类比、猜想、归纳、推断等探索活动，逆向追索，寻求解题策略；（3） 由于P、Q的位置随着时间t的变化而改变，因此问题还可变化为： 当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（请同学们自己研究）
例7 如图7，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形.
（1） 当把△ADE绕A点旋转到图8的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2） 当△ADE绕A点旋转到图9的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由.
解析？摇（1） CD=BE.理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°. ∵∠BAE =∠BAC-∠EAC =60°-∠EAC，∠DAC =∠DAE-∠EAC =60°-∠EAC，∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD，∴CD=BE.
（2）△AMN是等边三角形.理由如下：
∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CD的中点，∴AM=AN，NC=MB.∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC，∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°.∴△AMN是等边三角形.
设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a，
易证BE⊥AC，∴BE=■=■=■a，∴EM=■a.
∴AM=■=■=■a.
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S■∶S■∶ S■=a2∶（2a）2∶■a2=1∶4∶■=4∶16∶7.
■ 以△ADE的旋转变换为背景构造问题，切入点是探索动态变化过程中的三角形全等和恒等量关系，考查同学们观察、操作、猜测、归纳、类比、合理推断、计算等数学活动能力及逻辑分析与综合论证的能力.
解析 当腰长为4时，∵ 4+4<9，∴此情况不存在.
当腰长为9时，∵ 9+9>4，∴它的周长是22.
■ 本题中，“等腰三角形的边”不能确定是指腰还是底，以此为考点来考查同学们是否具有运用分类讨论思想的意识.
例2 已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：① AB∥CD，② OA=OC，③ AB=CD，④ ∠BAD=∠DCB，⑤ AD∥BC.
（1） 从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）：如①与⑤.
（2） 对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明.
解析 （1） ①②，①③，①④，②⑤，④⑤.（2） 如图1所示：
■ （1） 平行四边形的判定方法有很多，同学们容易产生知识“串联”，设计这道结论开放型问题，意在综合考查大家的逻辑思维能力和构造能力；（2）本试题的价值导向就是要求同学们在平时的学习中关注教材里的问题的呈现方式和设问方式，有意识地培养探究能力.
例3 如图2，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6 cm，DE=2 cm，则BC的长为 cm.
解析 如图3，延长AD交BC于M，延长ED交BC于N.
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AM⊥BC，BM=MC=■BC. ∵∠EBC=∠E=60°，∴△EBN是等边三角形，∴EN=BN=BE=6 cm，∴DN=EN-DE=4 cm.在Rt△DMN中，∵∠MDN=30°，∴MN=■DN=2 cm，∴BM=4 cm，∴BC=2BM=8 cm.
■ 图形构造新颖别致，实际上是将一个等边三角形嵌入并隐藏在等腰三角形内，“留白”令人“若有所思”，考查同学们的直觉思维，在学习内容上考查了特殊三角形的性质及应用.
例4 如图4，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE.试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论.
解析 AB与DE相等.
∵AD、AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=■（∠BAC+∠BAF）=90°.
又∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.
∵BE⊥AE，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=DE.
■ 几何模型是邻补角的角平分线互相垂直，并综合等腰三角形、矩形等知识，考查同学们灵活运用相关知识进行分析和推理的能力的能力.
例5 如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠B =60°，BC=2.点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
（1） ① 当α = 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ；
② 当α = 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ；
（2） 当α =90°时，判断四边形EDBC的形状，并说明理由.
解析？摇（1） ① 30，1；② 60，1.5；
（2） 当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED.？摇∵CE//AB，
∴四边形EDBC是平行四边形.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2， ∴∠A=30°，∴AB=4， AC=2■， ∴AO=■AC=■.
在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形.
■ 此题的知识外延是四边形增设内涵条件就可以得到不同的特殊四边形，同时运用旋转变换创设内涵条件，考查同学们在动手操作中探究、解决问题的能力.
例6 如图6，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动， 动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.
（1） t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形？四边形ABQP为矩形？
（2） 四边形ABQP在某一时刻会不会成为正方形？为什么？
解析 （1） 由题意知：AP=t，PD=24-t，CQ=3t，BQ=26-3t.
∵PD∥CQ，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，即24-t=3t，得t=6 s.
又∵AP∥BQ，∠B=90°，∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，即t=26-3t，得t=6.5 s时，四边形ABQP为矩形.
（2） ∵当t=6.5 s时，四边形ABQP为矩形，但此时AP=1×6.5=6.5≠AB，
∴四边形ABQP不会在某一时刻成为正方形.
■ （1） 几何问题代数化，探寻已知信息中特殊四边形线段之间的数量关系，构建方程模型；（2） 条件设计为开放型，要求同学们从问题的结论出发，运用观察、想象、分析、综合、类比、猜想、归纳、推断等探索活动，逆向追索，寻求解题策略；（3） 由于P、Q的位置随着时间t的变化而改变，因此问题还可变化为： 当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（请同学们自己研究）
例7 如图7，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形.
（1） 当把△ADE绕A点旋转到图8的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2） 当△ADE绕A点旋转到图9的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由.
解析？摇（1） CD=BE.理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°. ∵∠BAE =∠BAC-∠EAC =60°-∠EAC，∠DAC =∠DAE-∠EAC =60°-∠EAC，∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD，∴CD=BE.
（2）△AMN是等边三角形.理由如下：
∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CD的中点，∴AM=AN，NC=MB.∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC，∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°.∴△AMN是等边三角形.
设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a，
易证BE⊥AC，∴BE=■=■=■a，∴EM=■a.
∴AM=■=■=■a.
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S■∶S■∶ S■=a2∶（2a）2∶■a2=1∶4∶■=4∶16∶7.
■ 以△ADE的旋转变换为背景构造问题，切入点是探索动态变化过程中的三角形全等和恒等量关系，考查同学们观察、操作、猜测、归纳、类比、合理推断、计算等数学活动能力及逻辑分析与综合论证的能力.