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摘要：关键能力在不同视角下解读的结果可能是有所不同的，数学关键能力应主要包括运算能力、数学交流与表达能力、数学抽象能力、数据分析能力、数学推理能力、空间感知能力六种。在具体的教学中，可以利用分享式教学的经验和“九会融合”教学法，培养学生的数学关键能力。此外，评估学生是否在学习中具备了数学关键能力还需要设计相应的评估标准。
关键词：数学关键能力;分享式教学;“九会融合”教学法;评估标准
当前，我国基础教育已经进入核心素养培养时代，数学学科关键能力的培养是小学数学核心素养培养的重要内容。很多教师从不同视角进行了基于学科关键能力内涵与培育的实践研究，目标是培养“学生应具备适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”，这也是《中国学生发展核心素养》中所明确的目标。在操作层面，很多教师仍困惑于关键能力的界定和实施的途径不清。我们研究了很多关于“数学关键能力”的不同观点，探讨了“数学关键能力”的内涵与“九会融合”教学法的联系，明确了“数学关键能力”达成的评估标准。
一、小学数学关键能力的内涵
关于“数学关键能力”，不同专家对其有不同的解读和观点，目前尚未达成准确的定义。华东师范大学徐斌艳教授认为，应包括从数学角度提出问题、数学表征与变换、数学推理与论证、数学地解决问题、数学交流、数学建模等。江苏省特级教师庄惠芬认为，应包括数学理解与数学表征能力、数学建模能力、数学逻辑思维能力、数学问题解决能力、数学推理与论证能力、数学交流与表达能力。东北师范大学孔凡哲教授认为，应包括数学抽象能力、数学推理能力、数学建模能力、直观想象能力、运算能力、数据分析能力。北京市特级教师吴正宪认为，应包括运算能力、空间观念、数据分析观念、推理能力、抽象能力等。此外，还有许多教师把《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的十个核心词，直接视为数学关键能力，包括：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。上述关于数学关键能力（或核心能力）的论述，有重叠，也有不同之处。学科核心素养是发展学生核心素养的重要组成部分，学科关键能力是学科核心素养的重要组成部分，是对学生学好数学起决定性作用的能力。从定义上来说，数学关键能力应当是数学学科的特质，是不能与其他学科共享的能力。检视这个能力是不是数学学科独有的，可以用一个简单的方法，在上述能力之前加上其它学科字样。比如，“应用意识”前面加上“英语”，成为“英语+应用意识”，“英语应用意识”显然是提高学生英语的应用意识，也是说得通的，这样的能力，便不适合作为数学学科的关键能力了。所以，把课程标准中的十个核心词直接说成是数学的关键能力，是不够严谨的，还需要进一步细分并在实践中求证。
结合多年的教学实践，综合以上专家观点，数学关键能力应包括：运算能力、交流与表达能力、数学抽象能力、数据分析能力、数学推理能力、空间感知能力六种。数学关键能力的培养，要有利于培养学生自主学习的能力，提升学习效率;要有利于引导学生用数学的眼光发现问题，用数学的思维分析问题，用数学的语言表达问题;要有利于增强学生的数学意识，提高学生的实践能力。“九会融合”教学法是我们在分享式教学中的实践，可以通过这种教学法来培养学生的关键能力。“九会融合”教学法包括：会数学阅读，会数学标记，会数学提问，会数学思考，会数学输出，会数学合作，会数学练习，会数学复习，会数学评价。（如表1）
二、 培养数学关键能力的途径
关键能力不是一下子就能习得的。教学中，我们需要在循序渐进的教学情境中，使学生慢慢感悟，有计划地培育。要真正培养学生的数学关键能力，可以通过以下四个途径入手。
（一）教会学生思考，提升运算能力
运算能力是数学关键能力的一种，是学生依据相关公式法则、运算规律探寻合理、简洁运算途径的综合能力。在基于核心素养的数学学科教学中，评价与考核方式对教学过程有着关键性的指引作用，除了考查学生知识技能的获得，还要关注学生学科素养的形成。如在“100以内数的加减”的单元评估中，我们在设计评估题时没有强调计算速度，而是重视思考深度、轻技巧训练，注重学生的思维过程。在评分要求上，我们不是仅通过结果来判断学生答案的对和错，更重要的是判断学生的思维过程是否有道理，是否合乎逻辑;只要学生的思维过程与得到的结论是一致的就给予一定的分数。因此，教师在日常教学中要教会学生思考问题，让他们在掌握所学知识技能的同时，积累思维的和实践的经验，形成数学关键能力。
（二）提供探究性问题，发展交流与表达能力
东北师范大学史宁中教授提出了数学核心素养达成的三个标准：用数学的眼光观察现实世界，用数学的思維分析世界，用数学的语言表达数学世界。教学中，要引导学生用语言将自己的想法进行表达与交流，既清楚地展示思维过程和结果，又能激发师生之间、生生之间的相互借鉴、相互学习，使学习变得更加积极主动。
“整理与提高”单元中的“解决问题”一课，在探索“乘坐森林小火车”可能遇到的问题时，我们提出了需要解决的问题：三个年级的同学乘坐红色和蓝色两列小火车，可能会遇到哪些数学问题？进一步提出小组合作交流要求：选择一个问题进行小组探究;列式计算，记录思考过程;跨组交流，分类张贴。在小组交流过程中，有一些不善交流的学生也在小组内表达自己的想法，并吸纳别人的优点。也有一些表达能力强的学生在交流表达中，不断完善自己的想法，同时让思维有条理。引导表达清晰的学生带动组内不善于推理的学生共同解决问题，还能有效地展示和提升全体学生的思维能力。
（三）结合生活实际，培养抽象能力
数学抽象既是一种能力，也是一种思想，要培养学生的抽象能力，需要结合生活实际，从实物中抽象出数学模型。
在“小数的认识与加减法”一章中，可以引导学生首先认识生活中的小数，再通过感受和理解生活中的小数，抽象出小数的意义。通过探究学习单的形式，培养学生会提问、会思考的能力。在教学“圆的认识”时，则可通过观察生活中的圆形物体，如车轮、盘子、水杯盖等，形成圆的直观形象，这就是直观实物抽象。在认识长方体、正方体时，还可以通过观察教学楼、教室房间、黑板、数学书、魔方等，抽象出图形框架;提供吸管和黏土，让学生通过动手操作，拼搭出长方体和正方体的框架，从而体验和理解从生活实物中抽象出数学模型的过程。在练习中，则可以通过提供立体图形和长宽高的数据，让学生通过空间想象，猜测这个图形是从哪一种实物中抽象出来的。 （四）亲历活动过程，提高数据分析能力
苏霍姆林斯基曾说：“当知识与积极的活动紧密联系在一起的时候，学习才能成为学生精神生活的一部分。”数学活动是激发学生学习兴趣的有效途径，是探索规律、掌握知识的重要过程，更是发展数学核心素养的必要手段。
要使学生真正感知数据、理解数据，最好的方法就是让他们清理数据的收集、整理、描述，分析以及做出决策的全过程，在亲历的过程中，感受数据的价值，掌握数据收集和处理方法，并善于用数据分析来解决问题。
在教学“平均数的统计”一课时，我们通过“3秒记数字”游戏活动，让学生亲历数据收集、整理、描述、分析的全过程。通过问题情境激发学生的探索欲望，通过小组讨论、思辨，感悟平均数的虚拟性，以及极端数据对统计结果的影响等现象。
“3秒记数字”游戏规则：
（1）10个数排班表，看三秒杀（不读出声）;
（2）数字消失后，动笔写在格子里;
（3）数字再次出现时，在记住的数字右上角画“√”（如表2）。
此外，教学中还可以通过逐层设置悬念，培养学生的数学推理能力;通过几何直观，培养学生的空间感知能力。鉴于篇幅，在此不作陈述。
三、数学关键能力的评估标准
把评估融入数学关键能力的教学活动中，是现代教学理念的體现，也是让数学关键能力落地的有效策略。我们依据学生的实际情况，通过对关键能力的教学实践与检测评估，生成了基于学生数学关键能力定性定量评价表。我们以此评价标准对照学生关键能力的获得与表现效果，对教学进行不断反思和调整。数学关键能力评价标准的创建，有利于学生关键能力的改善与提升。实践中，我们的数学课堂依据内容类型与关键能力配合“九会融合”教学法，基于学生的关键能力获得情况进行评测，以“不会、初会、会、熟练”等水平进行关键能力描述评估，并以0～4分来量化评估。对于前面界定的数学关键能力，基于数学课程内容进行有针对性的设计与评估，可以是一节课，也可以是一个阶段表现。（如表3）
为了更好的发挥课堂教学主阵地作用，充分发展学生的核心素养，除上述针对学生的关键能力评估设计之外，我们还设计了针对教师课堂教学的评价表——小学数学核心素养课堂教学评价表。从学生表现、教师表现和自主评价三个维度，在师生交流、关键能力、课堂表现、操作过程四个细分领域，将关键能力与“九会融合”教学法有机整合。让关键能力的培养更具有可操作性。数学关键能力的培养是一个动态变化的系统，随着学生个体生活经验的丰富，随着自我成长的需要，数学关键能力也会发生变化。特别是在培养途径与评价方面，我们还需要立足当下，不断完善改进。作为学生核心素养的核心内容——关键能力的培养，需要结合数学内容和教学操作描述，在不同能力水平上的不同行为的表现，设计更具体的师生评价指标，进一步细分四级指标评价框架，为关键能力的深入培养提供操作性参照。
关键能力的培养不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程。作为教师，即便对关键能力的解读和界定不同，只要始终站在学生未来发展的视角，以数学基本思想为指引，以数学核心内容为载体，重视激发数学思维，以数学理性思维为旨趣，以数学基本活动为途径，就能使数学关键能力的培养落地生根。
参考文献：
[1]史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（1）.
[2]马菁菁.发展核心素养，培养关键能力——小学生数学关键能力培养的策略探究[J].数学教学通讯，2020（25）.
[3]曹一鸣，冯启磊，陈鹏举.基于学生核心素养的数学学科能力研究[M].北京：北京师范大学出版社，2017.
（责任编辑：杨强）
关键词：数学关键能力;分享式教学;“九会融合”教学法;评估标准
当前，我国基础教育已经进入核心素养培养时代，数学学科关键能力的培养是小学数学核心素养培养的重要内容。很多教师从不同视角进行了基于学科关键能力内涵与培育的实践研究，目标是培养“学生应具备适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”，这也是《中国学生发展核心素养》中所明确的目标。在操作层面，很多教师仍困惑于关键能力的界定和实施的途径不清。我们研究了很多关于“数学关键能力”的不同观点，探讨了“数学关键能力”的内涵与“九会融合”教学法的联系，明确了“数学关键能力”达成的评估标准。
一、小学数学关键能力的内涵
关于“数学关键能力”，不同专家对其有不同的解读和观点，目前尚未达成准确的定义。华东师范大学徐斌艳教授认为，应包括从数学角度提出问题、数学表征与变换、数学推理与论证、数学地解决问题、数学交流、数学建模等。江苏省特级教师庄惠芬认为，应包括数学理解与数学表征能力、数学建模能力、数学逻辑思维能力、数学问题解决能力、数学推理与论证能力、数学交流与表达能力。东北师范大学孔凡哲教授认为，应包括数学抽象能力、数学推理能力、数学建模能力、直观想象能力、运算能力、数据分析能力。北京市特级教师吴正宪认为，应包括运算能力、空间观念、数据分析观念、推理能力、抽象能力等。此外，还有许多教师把《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的十个核心词，直接视为数学关键能力，包括：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。上述关于数学关键能力（或核心能力）的论述，有重叠，也有不同之处。学科核心素养是发展学生核心素养的重要组成部分，学科关键能力是学科核心素养的重要组成部分，是对学生学好数学起决定性作用的能力。从定义上来说，数学关键能力应当是数学学科的特质，是不能与其他学科共享的能力。检视这个能力是不是数学学科独有的，可以用一个简单的方法，在上述能力之前加上其它学科字样。比如，“应用意识”前面加上“英语”，成为“英语+应用意识”，“英语应用意识”显然是提高学生英语的应用意识，也是说得通的，这样的能力，便不适合作为数学学科的关键能力了。所以，把课程标准中的十个核心词直接说成是数学的关键能力，是不够严谨的，还需要进一步细分并在实践中求证。
结合多年的教学实践，综合以上专家观点，数学关键能力应包括：运算能力、交流与表达能力、数学抽象能力、数据分析能力、数学推理能力、空间感知能力六种。数学关键能力的培养，要有利于培养学生自主学习的能力，提升学习效率;要有利于引导学生用数学的眼光发现问题，用数学的思维分析问题，用数学的语言表达问题;要有利于增强学生的数学意识，提高学生的实践能力。“九会融合”教学法是我们在分享式教学中的实践，可以通过这种教学法来培养学生的关键能力。“九会融合”教学法包括：会数学阅读，会数学标记，会数学提问，会数学思考，会数学输出，会数学合作，会数学练习，会数学复习，会数学评价。（如表1）
二、 培养数学关键能力的途径
关键能力不是一下子就能习得的。教学中，我们需要在循序渐进的教学情境中，使学生慢慢感悟，有计划地培育。要真正培养学生的数学关键能力，可以通过以下四个途径入手。
（一）教会学生思考，提升运算能力
运算能力是数学关键能力的一种，是学生依据相关公式法则、运算规律探寻合理、简洁运算途径的综合能力。在基于核心素养的数学学科教学中，评价与考核方式对教学过程有着关键性的指引作用，除了考查学生知识技能的获得，还要关注学生学科素养的形成。如在“100以内数的加减”的单元评估中，我们在设计评估题时没有强调计算速度，而是重视思考深度、轻技巧训练，注重学生的思维过程。在评分要求上，我们不是仅通过结果来判断学生答案的对和错，更重要的是判断学生的思维过程是否有道理，是否合乎逻辑;只要学生的思维过程与得到的结论是一致的就给予一定的分数。因此，教师在日常教学中要教会学生思考问题，让他们在掌握所学知识技能的同时，积累思维的和实践的经验，形成数学关键能力。
（二）提供探究性问题，发展交流与表达能力
东北师范大学史宁中教授提出了数学核心素养达成的三个标准：用数学的眼光观察现实世界，用数学的思維分析世界，用数学的语言表达数学世界。教学中，要引导学生用语言将自己的想法进行表达与交流，既清楚地展示思维过程和结果，又能激发师生之间、生生之间的相互借鉴、相互学习，使学习变得更加积极主动。
“整理与提高”单元中的“解决问题”一课，在探索“乘坐森林小火车”可能遇到的问题时，我们提出了需要解决的问题：三个年级的同学乘坐红色和蓝色两列小火车，可能会遇到哪些数学问题？进一步提出小组合作交流要求：选择一个问题进行小组探究;列式计算，记录思考过程;跨组交流，分类张贴。在小组交流过程中，有一些不善交流的学生也在小组内表达自己的想法，并吸纳别人的优点。也有一些表达能力强的学生在交流表达中，不断完善自己的想法，同时让思维有条理。引导表达清晰的学生带动组内不善于推理的学生共同解决问题，还能有效地展示和提升全体学生的思维能力。
（三）结合生活实际，培养抽象能力
数学抽象既是一种能力，也是一种思想，要培养学生的抽象能力，需要结合生活实际，从实物中抽象出数学模型。
在“小数的认识与加减法”一章中，可以引导学生首先认识生活中的小数，再通过感受和理解生活中的小数，抽象出小数的意义。通过探究学习单的形式，培养学生会提问、会思考的能力。在教学“圆的认识”时，则可通过观察生活中的圆形物体，如车轮、盘子、水杯盖等，形成圆的直观形象，这就是直观实物抽象。在认识长方体、正方体时，还可以通过观察教学楼、教室房间、黑板、数学书、魔方等，抽象出图形框架;提供吸管和黏土，让学生通过动手操作，拼搭出长方体和正方体的框架，从而体验和理解从生活实物中抽象出数学模型的过程。在练习中，则可以通过提供立体图形和长宽高的数据，让学生通过空间想象，猜测这个图形是从哪一种实物中抽象出来的。 （四）亲历活动过程，提高数据分析能力
苏霍姆林斯基曾说：“当知识与积极的活动紧密联系在一起的时候，学习才能成为学生精神生活的一部分。”数学活动是激发学生学习兴趣的有效途径，是探索规律、掌握知识的重要过程，更是发展数学核心素养的必要手段。
要使学生真正感知数据、理解数据，最好的方法就是让他们清理数据的收集、整理、描述，分析以及做出决策的全过程，在亲历的过程中，感受数据的价值，掌握数据收集和处理方法，并善于用数据分析来解决问题。
在教学“平均数的统计”一课时，我们通过“3秒记数字”游戏活动，让学生亲历数据收集、整理、描述、分析的全过程。通过问题情境激发学生的探索欲望，通过小组讨论、思辨，感悟平均数的虚拟性，以及极端数据对统计结果的影响等现象。
“3秒记数字”游戏规则：
（1）10个数排班表，看三秒杀（不读出声）;
（2）数字消失后，动笔写在格子里;
（3）数字再次出现时，在记住的数字右上角画“√”（如表2）。
此外，教学中还可以通过逐层设置悬念，培养学生的数学推理能力;通过几何直观，培养学生的空间感知能力。鉴于篇幅，在此不作陈述。
三、数学关键能力的评估标准
把评估融入数学关键能力的教学活动中，是现代教学理念的體现，也是让数学关键能力落地的有效策略。我们依据学生的实际情况，通过对关键能力的教学实践与检测评估，生成了基于学生数学关键能力定性定量评价表。我们以此评价标准对照学生关键能力的获得与表现效果，对教学进行不断反思和调整。数学关键能力评价标准的创建，有利于学生关键能力的改善与提升。实践中，我们的数学课堂依据内容类型与关键能力配合“九会融合”教学法，基于学生的关键能力获得情况进行评测，以“不会、初会、会、熟练”等水平进行关键能力描述评估，并以0～4分来量化评估。对于前面界定的数学关键能力，基于数学课程内容进行有针对性的设计与评估，可以是一节课，也可以是一个阶段表现。（如表3）
为了更好的发挥课堂教学主阵地作用，充分发展学生的核心素养，除上述针对学生的关键能力评估设计之外，我们还设计了针对教师课堂教学的评价表——小学数学核心素养课堂教学评价表。从学生表现、教师表现和自主评价三个维度，在师生交流、关键能力、课堂表现、操作过程四个细分领域，将关键能力与“九会融合”教学法有机整合。让关键能力的培养更具有可操作性。数学关键能力的培养是一个动态变化的系统，随着学生个体生活经验的丰富，随着自我成长的需要，数学关键能力也会发生变化。特别是在培养途径与评价方面，我们还需要立足当下，不断完善改进。作为学生核心素养的核心内容——关键能力的培养，需要结合数学内容和教学操作描述，在不同能力水平上的不同行为的表现，设计更具体的师生评价指标，进一步细分四级指标评价框架，为关键能力的深入培养提供操作性参照。
关键能力的培养不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程。作为教师，即便对关键能力的解读和界定不同，只要始终站在学生未来发展的视角，以数学基本思想为指引，以数学核心内容为载体，重视激发数学思维，以数学理性思维为旨趣，以数学基本活动为途径，就能使数学关键能力的培养落地生根。
参考文献：
[1]史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（1）.
[2]马菁菁.发展核心素养，培养关键能力——小学生数学关键能力培养的策略探究[J].数学教学通讯，2020（25）.
[3]曹一鸣，冯启磊，陈鹏举.基于学生核心素养的数学学科能力研究[M].北京：北京师范大学出版社，2017.
（责任编辑：杨强）