对一道2014年高考试题的探讨

• 作 者: 柳琼
• 出 处: 数理化学习·高三版
• 发表日期: 2014年9期
• 关键词: 数学思想 高考试题 数学内容 试题解法 方法 选择题 高中生 中学 理科 考题 考查 湖南

　　对高考试题解法的探讨，是对数学思想和方法进行探讨的过程，数学思想和方法是中学数学内容的通法，是高考考查的核心，它的形成是高中生解决高考题的关键.本文就针对2014年湖南理科高考试题中选择题10题来进行探讨以及同类型试题的解法.
　　例1 （2014年湖南理10）已知函数f （x）=
　　x2+ex-12（x<0）与
　　g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，
　　则实数a的取值范围是（ ）
　　（A） （-∞，1e
　　（B） （-∞，e
　　（C） （-1e，e
　　（D） （-e，1e）
　　解析：由题意可得，当x>0时，y=f（-x）与g（x）的图象有交点，即g（x）=f（-x）有正解，即
　　x2+ln（x+a）=（-x）2+e-x-12
　　有正解，即e-x-ln（x+a）-12=0有正解.令
　　F（x）=e-x-ln（x+a）-12=0，因为
　　F′（x）=-e-x-1x+a<0，
　　所以F（x）=e-x-ln（x+a）-
　　12在（0，+∞）单减，因为即
　　e-x-ln（x+a）-12=0有正解，所以存在正数x使得F（x）
　　>0，所以F（0）>0，
　　F（0）=e-0-ln（0+a）-12
　　>0，lna<12，则a　　另解：函数
　　f （x）=x2+ex-12（x<0）与
　　g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则只需找
　　ex-12与
　　ln（x+a）的图象上存在关于y轴的对称点，则就是
　　方程ex-12=ln（-x+a）在x<0有解，两个函数
　　图1
　　I（x）=ex-12与M（x）=ln（-x+a）的图象在y 轴左边有交点，如图1所示.
　　所以I（0）>M（0）lna<12，则a<
　　e，所以选（B）.
　　在高三总复习中经常遇到这种试题，学会解决此类试题，对学生帮助很大，可以触类旁通.
　　变式1：（2013年湖北）函数f （x）=x（lnx-ax）有两个极值点，求实数a的取值范围.
　　解法1：（含参讨论） F′（x）=lnx-ax+x（1x
　　-a）=lnx-2ax+1=0有两个解.
　　现讨论新函数g（x）=lnx-2ax+1与x轴有两个交点.
　　g′（x）=1x-2a=
　　1-2axx
　　（x>0）.
　　图2
　　当a≤时，g′（x）>0，所以g（x）在（0，+∞）单增，不满足题意.
　　当a>0时，可知g（x）在（0，12a）单增，（
　　12a，+∞）单减.
　　故g（12a）>0，ln12a
　　>00　　解法2：（参数分离） 方程lnx-2ax+1=0有两个解.2a=
　　lnx+1x=g（x），
　　求得g′（x）=-lnx
　　x2，可知g（x）在（0，1）单增，（1，+∞）单减.
　　g（x）在（1，+∞）恒为正数，如图3所示.
　　因为y=2a与y=g（x）的图象有两个交点，
　　所以0<2a<10　　解法3：（数形结合）
　　方程lnx-2ax+1=0有两个解，lnx=2ax-1有两解.
　　图3 图4
　　因为y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，如图4所示.
　　令切点（x，y），
　　y=lnx，
　　y=2ax-1，
　　1x=2a
　　x=1，
　　y=0，
　　a=12
　　0<2a<10　　点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，使很多问题便迎刃而解，且解法简捷.
　　练习： 对任意x>0，不等式ex-kx>0恒成立，求实数k的取值范围.