对定理L′Hospital（洛必达）法则的修改

• 作 者: 卢义员
• 出 处: 数学学习与研究
• 发表日期: 2015年11期
• 关键词: 定理(L'Hopsital法则) 质疑 证明 修改

　　【摘要】 《高等数学》中求不定型 0 0 和 ∞ ∞ 的极限而引用的定理L′Hopsital法则，从定理本身来看，由于有了条件（1），条件（2）中的g′（x）≠0是肯定的、重复的.
　　【关键词】 定理（L′Hopsital法则）；质疑；证明；修改
　　高等数学中对于求不定型 0 0 和 ∞ ∞ 的极限，引入了定理L′Hopsital法则.法则如下：
　　1.当x→x0时的不定型 0 0 的情形
　　定理 设函数f（x），g（x）在x0的去心邻域内可导，且
　　（1）lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=0；（2）g′（x）≠0；（3）lim x→x0 f′（x） g′（x） =A（A为常数或∞）.
　　则lim x→x0 f（x） g（x） =A，也就是说lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f′（x） g′（x） .
　　质疑： 条件（2）中的g′（x）≠0是肯定的、重复的.
　　证明 反证法
　　若g′（x）=0.由条件函数在x0的某去心邻域中除点x0外可导，则在区间（a，x0）中有g′（x）=0，则由Lagrange微分学中值定里的推论可知，g（x）=C.
　　显然，C≠0.而lim x→x0- g（x）=C≠0 与条件（1）中lim x→x0 g（x）=0矛盾.
　　故g′（x）=0不成立.证毕.
　　2.当x→x0时的不定型 ∞ ∞ 的情形
　　定理 设函数f（x），g（x）在x0的去心邻域内可导，且
　　1 lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=∞；（2）g′（x）≠0；（3）lim x→x0 f′（x） g′（x） =A（A为常数或∞）.
　　则lim x→x0 f（x） g（x） =A，也就是说lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f′（x） g′（x） .
　　质疑 条件（2）中的g′（x）≠0是肯定的、重复的.
　　证明：反证法.
　　若g′（x）=0.由条件函数在x0的某去心邻域中除点x0外可导，则在区间（a，x0）中有g′（x）=0，则由Lagrange微分学中值定里的推论可知，g（x）=C.而由lim x→x0- g（x）=C≠∞与条件（1）中lim x→x0 g（x）=∞相矛盾.故g′（x）=0不成立.证毕.
　　因而，此定理可修改为：当x→x0时的不定型 0 0 的情形.
　　定理 设函数f（x），g（x）在x0的去心邻域内可导，且
　　（1）lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=0；（2）lim x→x0 f′（x） g′（x） =A（A为常数或∞）.则lim x→x0 f（x） g（x） =A，
　　也就是说lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f′（x） g′（x） .
　　证明： 首先 g′（x）≠0，反证法.
　　若g′（x）=0.由条件函数在x0的某去心邻域中除点x0外可导，则在区间（a，x0）中有g′（x）=0，则由Lagrange微分学中值定里的推论可知，g（x）=C.
　　显然，C≠0.而lim x→x0- g（x）=C≠0与条件（1） 中lim x→x0 g（x）=0矛盾.
　　故g′（x）=0不成立.
　　补充定义f（x0）=0，g（x0）=0，则函数f（x），g（x）在x0连续，在x0的邻域内任取x，在[x0，x]或[x，x0]上应用柯西定理，有
　　f（x）-f（x0） g（x）-g（x0） = f′ ζ g′ ζ 其中 ζ在x0和x之间，于是当x→x0时ζ→x0，上式即成为lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f（x）-f（x0） g（x）-g（x0） =lim x→x0 f′ ζ g′ ζ =lim x→x0 f′（x） g′（x） =A.
　　证毕当x→x0时的不定型 ∞ ∞ 的情形.
　　定理 设函数f（x），g（x）在x0的去心邻域内可导，且
　　1 lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=∞，（2）lim x→x0 f′（x） g′（x） =A（A为常数或∞）.
　　则lim x→x0 f（x） g（x） =A，也就是说lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f′（x） g′（x） .
　　证明 （略）
　　对于x→∞等情形，只需将定理（2）中的g′（x）≠0去掉即可.