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摘 要
数学给人的直观印象往往是晦涩、深奥、抽象，但任何事物都有其独特的美的一面，关键是需要你有一双慧眼去发现它。对称是数学美的一个重要特征，对称美常常引导人们在原来结果的基础上进一步创新思考，从而得到意外的惊喜。我们在欣赏之余，不忘记对称美是一种创新、有用之美。
【关键词】数学中；对称美
1 数学美的特征
爱美之心，人皆有之，不同的人关于数学美的标准也是各不相同的。从整体上说，数学美既不是虚无飘渺、忽有忽无的东西，也不是纯粹主观、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。在数学的持续发展以及人类文明的不断进步下，数学美的概念也有了一定的发展和演变，但它的基本内容又是相对稳定的，数学美的基本特征是：对称、和谐、简洁、统一和奇异。本文试图列举一些实例，让各位感受一下数学中的对称美。
2 数学中的对称美
对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状或排列上具有一定的对称关系。数学的对称美主要体现在形式上和内容上。
2.1 代数中的求和问题
高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一。高斯10岁的时候，数学教师出了一道数学题：1+2+3+………+100。老师刚写完题目，高斯就把解题用的小石板交给老师，过了很久其他同学才写出答案。高斯的思路是让最小的1和最大100搭配，然后是2和99搭配，按此方法两两搭配，共有（100÷2）=50个101，总和是5050。高斯是发现并利用了题目中两端数的对称特征，创新解法，计算又快又准，令人佩服。
2.2 三角函数中的求值问题
三角函数中的正弦与余弦是两个对称元素，有时利用互余函数构造对偶式，可以求出三角函数值。如：求cos（π/7）+ cos（3π/7）+ cos（5π/7）的值。设M=要求的值，构造其对偶式N=sin（π/7）+ sin（3π/7）+ sin（5π/7），然后计算出MN=0.5N，因为N>0，所以M=0.5等等。
2.3 圆锥曲线中的求值问题
圆锥曲线都具有对称性，在解题中利用它，可以起到化繁为简的作用。如：把椭圆x2/25+y2/16=1的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1， P2，…， P7七个点，F是椭圆的左焦点，求|P1F|+|P2F|+…+|P7F| 的值。可这样求：设F2为椭圆的右焦点。结合椭圆的对称性，得|P1F|=|P7F2|， |P2F|=|P6F2|， |P3F|=|P5F2|， |P4F|=|P4F2|.再由椭圆的定义，得|P1F|+|P7F|=|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a=10，所以|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=35。本例是利用了椭圆的对称性，尤其是两个焦点关于原点对称的特征而解出来的，若直接求将比较麻烦。
2.4 用定积分求面积的问题
求面积是定积分的专长，如求直线y=3、y=x和曲线xy=1所围成的图形的面积，选取x为积分变量时，x∈[1/3，3]，在计算面积时要把图形分成两块，即x∈[1/3，1]和x∈[1，3]；此时若选择y为积分变量，y∈[1，3]，计算面积一步到位，两种计算结果都为 4-ln3，但孰难孰易，一目了然。其实，直角坐标系中两条坐標轴是对称的，既然可以选择x作为积分变量，也就可以尝试选择y作为积分变量。有些图形看起来复杂，若积分变量选择得恰当，计算将变得简便。
2.5 微积分中的求积分问题
在微积分中，利用好函数的奇偶性，也可使计算简化。有以下定理：若函数f（x）为奇函数，在[-a，a]上连续，则∫-aaf（x）dx=0；若函数f（x）为偶函数，在[-a，a]上连续，则∫-aaf（x）dx=2∫0af（x）dx。实际上，这是利用了函数图像的对称性。
3 他山之石，可以攻玉。
探究数学中的对称美：
3.1 可以激发我们学习和探究数学的兴趣
结合数学中的美介绍一些数学家的生平、逸闻趣事、数学符号的由来、历史上利用数学知识成功解决问题的真实例子，可以使人们了解数学知识的产生与发展首先源于生活需要，体会数学在人类历史发展中的作用，从而激发读者学习和探究数学的兴趣。
3.2 可以让我们分享其中的乐趣，提高修养。
罗素说过，数学，如果公正地看，包含的不仅是真理，也是无上的美——一种冷峭而严峻的美，恰像一尊雕刻一样。数学中的对称，像艺术品那样具有美感，我们分享其中的乐趣，就能陶冶心灵，提高我们的修养。同时数学的发展是一个没有终点的、“只有更好没有最好”的过程，人们追求数学美的同时也就推动了数学的发展。
3.3 可以培养我们的创新思维
数学还有一种形式上的对称，即公式的对称性、运算符号的对称性及运算法则的对称性。像二项式定理中二项式系数的分布、集合中的摩根定律、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数、微分与积分等。这种对称性，不仅给我们带来计算上的方便，更给我们的思维以启迪，引导我们在原来结果的基础上进一步创新思考，从而得到意外的惊喜。无论什么人，今后从事什么工作，只要他用到数学，就应该首先学会如何用数学的眼光去观察问题，学会从个别现象中发现一般规律，从而做出大胆猜测及创造新的做法并正确求解。那些只能机械地套用数学公式和定理，而不懂得用数学思维去提出问题和分析问题的人，应该说没有领悟到数学的精髓。
4 结语
数学中的美是整个宇宙中的一抹光芒，它在逻辑性思维上有着独一无二的特性，由于宇宙中还有无穷无尽的未解之迷等待我们去破译，我们很有必要从具体特定的材料中获得启发，创新思考，直至解决问题，让它最终有用于人类。
作者单位
长沙职业技术学院 湖南省长沙市 410124
数学给人的直观印象往往是晦涩、深奥、抽象，但任何事物都有其独特的美的一面，关键是需要你有一双慧眼去发现它。对称是数学美的一个重要特征，对称美常常引导人们在原来结果的基础上进一步创新思考，从而得到意外的惊喜。我们在欣赏之余，不忘记对称美是一种创新、有用之美。
【关键词】数学中；对称美
1 数学美的特征
爱美之心，人皆有之，不同的人关于数学美的标准也是各不相同的。从整体上说，数学美既不是虚无飘渺、忽有忽无的东西，也不是纯粹主观、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。在数学的持续发展以及人类文明的不断进步下，数学美的概念也有了一定的发展和演变，但它的基本内容又是相对稳定的，数学美的基本特征是：对称、和谐、简洁、统一和奇异。本文试图列举一些实例，让各位感受一下数学中的对称美。
2 数学中的对称美
对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状或排列上具有一定的对称关系。数学的对称美主要体现在形式上和内容上。
2.1 代数中的求和问题
高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一。高斯10岁的时候，数学教师出了一道数学题：1+2+3+………+100。老师刚写完题目，高斯就把解题用的小石板交给老师，过了很久其他同学才写出答案。高斯的思路是让最小的1和最大100搭配，然后是2和99搭配，按此方法两两搭配，共有（100÷2）=50个101，总和是5050。高斯是发现并利用了题目中两端数的对称特征，创新解法，计算又快又准，令人佩服。
2.2 三角函数中的求值问题
三角函数中的正弦与余弦是两个对称元素，有时利用互余函数构造对偶式，可以求出三角函数值。如：求cos（π/7）+ cos（3π/7）+ cos（5π/7）的值。设M=要求的值，构造其对偶式N=sin（π/7）+ sin（3π/7）+ sin（5π/7），然后计算出MN=0.5N，因为N>0，所以M=0.5等等。
2.3 圆锥曲线中的求值问题
圆锥曲线都具有对称性，在解题中利用它，可以起到化繁为简的作用。如：把椭圆x2/25+y2/16=1的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1， P2，…， P7七个点，F是椭圆的左焦点，求|P1F|+|P2F|+…+|P7F| 的值。可这样求：设F2为椭圆的右焦点。结合椭圆的对称性，得|P1F|=|P7F2|， |P2F|=|P6F2|， |P3F|=|P5F2|， |P4F|=|P4F2|.再由椭圆的定义，得|P1F|+|P7F|=|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a=10，所以|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=35。本例是利用了椭圆的对称性，尤其是两个焦点关于原点对称的特征而解出来的，若直接求将比较麻烦。
2.4 用定积分求面积的问题
求面积是定积分的专长，如求直线y=3、y=x和曲线xy=1所围成的图形的面积，选取x为积分变量时，x∈[1/3，3]，在计算面积时要把图形分成两块，即x∈[1/3，1]和x∈[1，3]；此时若选择y为积分变量，y∈[1，3]，计算面积一步到位，两种计算结果都为 4-ln3，但孰难孰易，一目了然。其实，直角坐标系中两条坐標轴是对称的，既然可以选择x作为积分变量，也就可以尝试选择y作为积分变量。有些图形看起来复杂，若积分变量选择得恰当，计算将变得简便。
2.5 微积分中的求积分问题
在微积分中，利用好函数的奇偶性，也可使计算简化。有以下定理：若函数f（x）为奇函数，在[-a，a]上连续，则∫-aaf（x）dx=0；若函数f（x）为偶函数，在[-a，a]上连续，则∫-aaf（x）dx=2∫0af（x）dx。实际上，这是利用了函数图像的对称性。
3 他山之石，可以攻玉。
探究数学中的对称美：
3.1 可以激发我们学习和探究数学的兴趣
结合数学中的美介绍一些数学家的生平、逸闻趣事、数学符号的由来、历史上利用数学知识成功解决问题的真实例子，可以使人们了解数学知识的产生与发展首先源于生活需要，体会数学在人类历史发展中的作用，从而激发读者学习和探究数学的兴趣。
3.2 可以让我们分享其中的乐趣，提高修养。
罗素说过，数学，如果公正地看，包含的不仅是真理，也是无上的美——一种冷峭而严峻的美，恰像一尊雕刻一样。数学中的对称，像艺术品那样具有美感，我们分享其中的乐趣，就能陶冶心灵，提高我们的修养。同时数学的发展是一个没有终点的、“只有更好没有最好”的过程，人们追求数学美的同时也就推动了数学的发展。
3.3 可以培养我们的创新思维
数学还有一种形式上的对称，即公式的对称性、运算符号的对称性及运算法则的对称性。像二项式定理中二项式系数的分布、集合中的摩根定律、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数、微分与积分等。这种对称性，不仅给我们带来计算上的方便，更给我们的思维以启迪，引导我们在原来结果的基础上进一步创新思考，从而得到意外的惊喜。无论什么人，今后从事什么工作，只要他用到数学，就应该首先学会如何用数学的眼光去观察问题，学会从个别现象中发现一般规律，从而做出大胆猜测及创造新的做法并正确求解。那些只能机械地套用数学公式和定理，而不懂得用数学思维去提出问题和分析问题的人，应该说没有领悟到数学的精髓。
4 结语
数学中的美是整个宇宙中的一抹光芒，它在逻辑性思维上有着独一无二的特性，由于宇宙中还有无穷无尽的未解之迷等待我们去破译，我们很有必要从具体特定的材料中获得启发，创新思考，直至解决问题，让它最终有用于人类。
作者单位
长沙职业技术学院 湖南省长沙市 410124