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摘 要：高考改革正在全国各地稳步推进，这从近几年的高考数学试题中也可以看到，每年都有一道涉及实际应用或有实际生活背景的数学应用题。这些情景应用题有利于引导中学数学的教学健康发展，体现数学的工具性﹑实用性，引发学习者更全面地认识数学，学好数学。高考应用题的背景大多来源于现实生活，尤其是当年的热点事件，体现了学以致用的原则，为此本文将以实际情景为背景，从高考数学的概率、圆锥曲线、三角函数、函数基本性质、数列方面等知识点举例说明。供大家参考。
关键词：情景 应用题 高考数学
一、概率方面
例12010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）。
A.36种B.12种C.18种 D.48种
解小张和小赵中至少有一个人被选派参与工作，当仅有一人被选派参与工作时，不同的选派方案共有CAA=24种；当两人同时被选派参与工作，不同的选派方案共有AA=12种。所以选A。
二、圆锥曲线方面
例22010年上海世博会场位于南浦大桥和卢浦大桥之间,沿着上海城区黄浦江两岸进行布局。号称“世界第一拱”的上海卢浦大桥近似为抛物线形状，跨径达550米，主桥长750米，宽28.75米，设6车道，在大桥拱顶部最高点将建有一长20米﹑宽13米﹑高2米的观光平台。游客可由桥头堡处的电梯直达50米高的桥面，随后步行一段人行道及延长190米的300余级台阶拾级而上，至观光平台。试问：游客在观光平台上饱览浦江美景时，离江面高达多少米？
解以大桥所在的抛物线的顶点为原点，水平直线为x轴，建立直角坐标系。若设抛物线顶点到水面的距离为50+h，依题意得：抛物线上的点A(275,-(50+h))、B(200,-h)。设抛物线方程为y=ax2(a<0)，则
－(50+h)=2752a,－h=2002a。
解得：a=－1.4×10, h=56.1。
∵50+56.1+2=108.1(m)
答：游客在观光台上饱览浦江美景时，离江面高达108.1米。
三、三角函数方面
例3情景：某城市将建成世界最大的极限运动主题公园，建成后的极限主题公园，不仅是全国第一个以极限为主题的公园，而且也是世界最大的极限运动主题公园——冲浪、滑板、小轮自行车、水上竞技运动……这里将成为中国极限运动发展的动力源泉。
某新建海滨公园试营业。现记录某日各t时(0≤t≤24，单位：小时)的海浪高度y(m)的数据如下：
经过长期观测，y=f(t)的曲线可以近似地看成是函数y=Acosωt+b的图像。
（1）依规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放。根据以上的数据，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
（2）求函数y=Acosωt+b的最小正周期T﹑振幅A及函数的表达式。
解 （1）根据表中的数据可得：共有6个小时可以进行冲浪运动。
（2）依题意得：
A=(1.5－0.5)=，T=12 。
∵=12，∴ ω=。
又 ∵ b=1，
∴y=cost+1 ， t∈0,24。
四、函数的基本性质方面
例4情景：当今最大的住宿连锁组织——国际青年旅舍，它的特点是“安全、经济、卫生、隐私”，室内设备简朴，备有高架床、硬床垫和被褥、带锁的个人贮藏柜、小桌椅、公共电话、公共浴室和洗手间，有的还有自助餐厅、公共活动室等。
一个旅馆有150个标准房间，经过一段时间的经营，得到以下数据：
欲使每天的营业额最高，该如何定价？
解 根据已知数据，可假设该客房的最高价格为100元，并假设在各价位之间，房价与入住率之间呈线性关系。
设x为在房价100元基础上降低的房价，所以当房价为(100－x)元时，住房率为(55+x)％，则旅馆一天的客房总收入为：
y=150(100－x)×(55+x)％
=-（x2－x－8250）
=-(x－)+。
∵(55+x)％≤1，
∴0≤x≤67.5。
∴当x=8.75时，y有最大值。此时房价定位应是100-=91.25（元），相应的住房率为60.8％，最大住房总收入为8326.56元。
答:欲使每天的营业额最高应定价为90元，这样可达最大住房总收入8 325元。
五、数列方面
例5 情景：流行性感冒（influenza，简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病。其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播。典型的临床症状是：急起高热、全身疼痛、显著乏力和轻度呼吸道症状。一般秋冬季节是其高发期，所引起的并发症和死亡现象非常严重。
某市2002年11月份曾发生大面积流感。据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制。从某一天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人。到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人。问11月份哪一天该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
解设从11月1日起的第n(n∈N,1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从11月1日起至第n日止，每日新的患者人数此构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50，则前n日的患者的总人数，即该数列前n项之和为：
S=20n+×50
=25n2－5n。
从第n+1日开始至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一个等差数列，这个等差数列的首项为20+(n－1)×50－30=50n－60，公差为30-n，则30-n日的患者总人数为：
T=(30－n)(50n－60)+×(－30)
=－65n+2445n－14850。
由S+T=8670,
得25n－5n+(－65n+2445n－14850)=8670。
解得n=12,或n=49。
又1≤n≤30,
∴n=12。
答：11月12日的新患者人数最多，为20+50（12-1）=570人。
参考文献：
［1］虞涛,高中情景数学［M］.上海：上海科学普及出版社，2005年.
［2］中华人民共和国教育部定制.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2003年 . ◆(作者单位：广东省东莞市桥头中学）
□责任编辑：周瑜芽
关键词：情景 应用题 高考数学
一、概率方面
例12010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）。
A.36种B.12种C.18种 D.48种
解小张和小赵中至少有一个人被选派参与工作，当仅有一人被选派参与工作时，不同的选派方案共有CAA=24种；当两人同时被选派参与工作，不同的选派方案共有AA=12种。所以选A。
二、圆锥曲线方面
例22010年上海世博会场位于南浦大桥和卢浦大桥之间,沿着上海城区黄浦江两岸进行布局。号称“世界第一拱”的上海卢浦大桥近似为抛物线形状，跨径达550米，主桥长750米，宽28.75米，设6车道，在大桥拱顶部最高点将建有一长20米﹑宽13米﹑高2米的观光平台。游客可由桥头堡处的电梯直达50米高的桥面，随后步行一段人行道及延长190米的300余级台阶拾级而上，至观光平台。试问：游客在观光平台上饱览浦江美景时，离江面高达多少米？
解以大桥所在的抛物线的顶点为原点，水平直线为x轴，建立直角坐标系。若设抛物线顶点到水面的距离为50+h，依题意得：抛物线上的点A(275,-(50+h))、B(200,-h)。设抛物线方程为y=ax2(a<0)，则
－(50+h)=2752a,－h=2002a。
解得：a=－1.4×10, h=56.1。
∵50+56.1+2=108.1(m)
答：游客在观光台上饱览浦江美景时，离江面高达108.1米。
三、三角函数方面
例3情景：某城市将建成世界最大的极限运动主题公园，建成后的极限主题公园，不仅是全国第一个以极限为主题的公园，而且也是世界最大的极限运动主题公园——冲浪、滑板、小轮自行车、水上竞技运动……这里将成为中国极限运动发展的动力源泉。
某新建海滨公园试营业。现记录某日各t时(0≤t≤24，单位：小时)的海浪高度y(m)的数据如下：
经过长期观测，y=f(t)的曲线可以近似地看成是函数y=Acosωt+b的图像。
（1）依规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放。根据以上的数据，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
（2）求函数y=Acosωt+b的最小正周期T﹑振幅A及函数的表达式。
解 （1）根据表中的数据可得：共有6个小时可以进行冲浪运动。
（2）依题意得：
A=(1.5－0.5)=，T=12 。
∵=12，∴ ω=。
又 ∵ b=1，
∴y=cost+1 ， t∈0,24。
四、函数的基本性质方面
例4情景：当今最大的住宿连锁组织——国际青年旅舍，它的特点是“安全、经济、卫生、隐私”，室内设备简朴，备有高架床、硬床垫和被褥、带锁的个人贮藏柜、小桌椅、公共电话、公共浴室和洗手间，有的还有自助餐厅、公共活动室等。
一个旅馆有150个标准房间，经过一段时间的经营，得到以下数据：
欲使每天的营业额最高，该如何定价？
解 根据已知数据，可假设该客房的最高价格为100元，并假设在各价位之间，房价与入住率之间呈线性关系。
设x为在房价100元基础上降低的房价，所以当房价为(100－x)元时，住房率为(55+x)％，则旅馆一天的客房总收入为：
y=150(100－x)×(55+x)％
=-（x2－x－8250）
=-(x－)+。
∵(55+x)％≤1，
∴0≤x≤67.5。
∴当x=8.75时，y有最大值。此时房价定位应是100-=91.25（元），相应的住房率为60.8％，最大住房总收入为8326.56元。
答:欲使每天的营业额最高应定价为90元，这样可达最大住房总收入8 325元。
五、数列方面
例5 情景：流行性感冒（influenza，简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病。其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播。典型的临床症状是：急起高热、全身疼痛、显著乏力和轻度呼吸道症状。一般秋冬季节是其高发期，所引起的并发症和死亡现象非常严重。
某市2002年11月份曾发生大面积流感。据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制。从某一天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人。到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人。问11月份哪一天该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
解设从11月1日起的第n(n∈N,1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从11月1日起至第n日止，每日新的患者人数此构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50，则前n日的患者的总人数，即该数列前n项之和为：
S=20n+×50
=25n2－5n。
从第n+1日开始至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一个等差数列，这个等差数列的首项为20+(n－1)×50－30=50n－60，公差为30-n，则30-n日的患者总人数为：
T=(30－n)(50n－60)+×(－30)
=－65n+2445n－14850。
由S+T=8670,
得25n－5n+(－65n+2445n－14850)=8670。
解得n=12,或n=49。
又1≤n≤30,
∴n=12。
答：11月12日的新患者人数最多，为20+50（12-1）=570人。
参考文献：
［1］虞涛,高中情景数学［M］.上海：上海科学普及出版社，2005年.
［2］中华人民共和国教育部定制.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2003年 . ◆(作者单位：广东省东莞市桥头中学）
□责任编辑：周瑜芽