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[摘 要] 数学是一门抽象的学科，数学学习需要学生的抽象思维能力作为基础. 初中阶段学生的思维特点在于形象思维与抽象思维并重，且正由形象思维向抽象思维转化. 在初中数学教学中，利用概念教学的机会培养学生的抽象思维能力，是初中数学教师必须具有的教学视角. 变量与函数是初中数学的基本概念，其中存在丰富的抽象思维能力培养契机.
[关键词] 初中数学；抽象思维；培养；变量；函数
数学是一门研究“数”与“形”的学科，数学美往往也是通过抽象体现出来. 而这里所说的“数”与“形”，正是两个高度抽象的概念：“数”的抽象性一般容易为人所理解，而数学中的“形”并不是生活中的实际事物，而是对实际事物进行抽象后的“形”.
义务教育阶段的数学学习离不开抽象思维能力，而根据有关专家研究，初中阶段学生的思维特点是既有形象思维又有抽象思维，且正由前者向后者过渡. 由于数学学习的对象是“数”与“形”，因此我们可以考虑让学生在进行抽象思维的过程中培养抽象思维能力. 本文就尝试以“变量与函数”这一知识的教学为例，谈谈自己对培养学生抽象思维能力的一些观点.
“变量与函数”知识中抽象思维
能力的培养分析
相对于形象思维而言，抽象思维的特点在于它是一个根据事物最本质的特性去形成概念，进而运用概念进行推理、判断的思维活动. 思维对象的抽象性是抽象思维的本质特征.
？摇“变量与函数”（人教版数学八年级上册第十四章第一节）作为学习函数的开篇，这一节教得好与不好，直接关系着后面所有函数知识的学习. 那么，显然，变量与函数这样的基本概念在学生的思维中怎样顺利形成呢？又如何利用这些抽象的概念去理解自然世界中的变量与函数呢？这就是我们思考本节教学的重点. 我们可以先来看看教材的编写.
教材在建立“变量”概念时，是通过五个例子来进行的，这五个例子分别是：
（1）汽车匀速行驶时路程与时间的关系；
（2）看电影售票时票房收入与电影票售出张数的关系；
（3）弹簧下面挂一重物时弹簧的伸长与受到的拉力的关系；
（4）作圆时圆的面积与半径的关系；
（5）用一根10米长的绳子围成长方形时长方形的面积与长方形的长的关系.
根据教学参考书的描述，这五个例子的呈现是为了引出常量与变量的概念.
我们认为，这里一下子呈现出五个例子是有其道理的，一方面，这些例子学生都比较熟悉，因此学生在加工时不会有太大的困难. 如果再仔细分析下去，我们会看到，这五个例子都具有一定的抽象性，基本上都是数学问题，只是因为学生对这些数学问题的解决具有一些经验，因而这种抽象性体现得并不强烈. 与此同时，如果我们从学生差异的角度来看，这五个例子在引入课堂时还是需要高度重视的，尤其是对于基础较差的学生而言，他们不能借助有效抽象思维来完成这五个问题的回答，那他们在建立变量概念时就会遇到更大的困难. 这个时候我建议教师可以对这五个例子进行改造，让它们变得更形象一点，这样，学生在思维的时候难度就会小一点，在此基础上进行抽象化，就可以有效地培养这部分学生的抽象思维能力.
在对这五个例子进行综合的过程中，我们也注意到，这也是一个良好的培养学生抽象思维能力的机会. 因为从这五个例子到“变量”和“函数”的概念并不是自然而然地进行的，而是需要经历一个分析、综合、归纳的过程. 在这个过程中，抽象思维对学生的学习起着重要作用，而在这一作用发挥的过程中，我们认为教学的关键在于要放慢进程，不能试图一蹴而就. 具体地说，在这五个例子中，首先要分别找出每个例子中的常量与变量；然后发现每个例子中的变量都是两个；接着发现这两个变量与另一个常量结合起来，就可以得到一个关系式；最后得出函数概念.
这样的过程绝非我们想象的那样简单，在学生的思维中，是先分析、再综合、再归纳的过程，是一个十分丰富的抽象过程. 正因为如此，我们才强调要放慢进程，让学生充分感知这一抽象过程.
“变量与函数”教学中抽象思维
能力的培养实践
在本节课的教学实践中，我们的教学重点分为三个环节：引入环节、分析环节、归纳环节.
在引入环节，我们的重点锁定在“变量”与“函数”两个概念上，尤其是变量概念，其具有一定的生活概念性质. 学生看到“变量”这个概念后，有可能反应出“变化的量”的基本认识，这可以为本概念的理解奠定基础，而函数概念就不具有这一特点，因此离不开教师的讲解.
为了引入，我们创设的情境是这样的，即通过幻灯片向学生展示一道智力题：
我们假想有一条绳子绕在地球的赤道上，设其长度为l，如果想让这根绳子离开地面1厘米，那绳子的长度要增加多少？
这一智力题能够有效地激发学生的兴趣，尤其是思维对象的不可触摸性，因此学生必须通过抽象思维去建立相应的数学图形，然后根据直觉去猜想结果. 结果自然是认为数据较大，而当老师告诉他们绳子只增长了6. 28厘米时，学生的惊讶之情溢于言表. 当学生的兴趣被激发后，我们再与学生分析其中的原因：圆的周长C=2πr……在分析的过程中，初步涉及变量与常量的概念.
在此基础上，我们依次提出教材上的五个问题，让学生分别得到s=vt，y=10x，m=（l-10）×0. 5等，针对这些等式，教师引导学生先分析每个式子中的变化量与不变量，然后进行归纳，得出变量与常量的概念. 接着进一步发挥抽象思维的作用，让学生认识到每个等式中都有两个变量，两个变量之间都存在一一对应的关系.
如上所说，这是一个需要丰富的过程，我们可以这样进行引导：在第一个例子中，路程与行驶时间是两个变量，每一个时间t都决定了一个路程s，然后举例；后面的例子以同样的思路推理，其中第二个、第三个可以由教师示范，而第四个、第五个则可以由学生来完成. 尤其应让学生认识到，除了公式表示之外，用其他的方法（如图表法）都难以穷尽两个变量之间的关系，只有通过建立符号等式才能概括所有的变量之间的关系（本质上是因为变量的取值是无穷无尽的）.
从这个角度来看，这五个例子需要挖掘的内容还很多，尤其是本着函数概念的形成，必须让学生认识到函数式能够体现一般性，而这正是抽象思维强有力的体现.
其后，关于函数定义的理解也能有效培养学生的抽象思维能力. 在教材上，函数的定义是这样的：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 显然这一定义是典型的抽象定义，根据我们的教学经验，学生对这一定义的理解重点是“如果有两个变量……函数”一段，而对开始的“在一个变化过程中”则不会予以重视. 对于学生而言，我们认为这一认识是正常的，而对于教师而言，在教学中则不能忽视，因为这是函数概念赖以生存的根本，所以，教师在实际教学中必须引导学生加以认识. “一个变化过程”是什么样的过程？在前面的五个例子中，“一个变化过程”是怎样描述的？——通过对这些问题的讨论，可以让学生认识到“函数”是依赖于“一个变化过程”而生存的.
沿着这一思路，我们还可以让学生寻找其他“一个变化过程中”的函数关系，而真正做到这一点，就会使学生对函数的理解更加深入.
对初中数学教学中思维能力培
养的反思
在日常的初中数学教学中，我们的教学重点仍然是数学知识的学习与运用，而所谓运用，又是数学习题的解答，似乎没有对抽象思维能力进行有意识的培养. 尽管学生的抽象思维能力有所增强，但那却多是学生成长的自然体现. 所以考虑到数学本身具有的特点，我们认为这一情形必须得到一定的扭转，让学生不仅能够学到数学知识，更能提高学生包括抽象思维在内的数学能力. 我们认为，课程标准提出的“数学素养”，其中一个重要组成部分正是这种数学能力的形成.
根据我们的经验，目前培养抽象思维的重点应当放在数学概念的学习和数学规律的运用两个方面，其中需要高度重视的是概念学习，必须让概念的形成有一个丰富的过程！
[关键词] 初中数学；抽象思维；培养；变量；函数
数学是一门研究“数”与“形”的学科，数学美往往也是通过抽象体现出来. 而这里所说的“数”与“形”，正是两个高度抽象的概念：“数”的抽象性一般容易为人所理解，而数学中的“形”并不是生活中的实际事物，而是对实际事物进行抽象后的“形”.
义务教育阶段的数学学习离不开抽象思维能力，而根据有关专家研究，初中阶段学生的思维特点是既有形象思维又有抽象思维，且正由前者向后者过渡. 由于数学学习的对象是“数”与“形”，因此我们可以考虑让学生在进行抽象思维的过程中培养抽象思维能力. 本文就尝试以“变量与函数”这一知识的教学为例，谈谈自己对培养学生抽象思维能力的一些观点.
“变量与函数”知识中抽象思维
能力的培养分析
相对于形象思维而言，抽象思维的特点在于它是一个根据事物最本质的特性去形成概念，进而运用概念进行推理、判断的思维活动. 思维对象的抽象性是抽象思维的本质特征.
？摇“变量与函数”（人教版数学八年级上册第十四章第一节）作为学习函数的开篇，这一节教得好与不好，直接关系着后面所有函数知识的学习. 那么，显然，变量与函数这样的基本概念在学生的思维中怎样顺利形成呢？又如何利用这些抽象的概念去理解自然世界中的变量与函数呢？这就是我们思考本节教学的重点. 我们可以先来看看教材的编写.
教材在建立“变量”概念时，是通过五个例子来进行的，这五个例子分别是：
（1）汽车匀速行驶时路程与时间的关系；
（2）看电影售票时票房收入与电影票售出张数的关系；
（3）弹簧下面挂一重物时弹簧的伸长与受到的拉力的关系；
（4）作圆时圆的面积与半径的关系；
（5）用一根10米长的绳子围成长方形时长方形的面积与长方形的长的关系.
根据教学参考书的描述，这五个例子的呈现是为了引出常量与变量的概念.
我们认为，这里一下子呈现出五个例子是有其道理的，一方面，这些例子学生都比较熟悉，因此学生在加工时不会有太大的困难. 如果再仔细分析下去，我们会看到，这五个例子都具有一定的抽象性，基本上都是数学问题，只是因为学生对这些数学问题的解决具有一些经验，因而这种抽象性体现得并不强烈. 与此同时，如果我们从学生差异的角度来看，这五个例子在引入课堂时还是需要高度重视的，尤其是对于基础较差的学生而言，他们不能借助有效抽象思维来完成这五个问题的回答，那他们在建立变量概念时就会遇到更大的困难. 这个时候我建议教师可以对这五个例子进行改造，让它们变得更形象一点，这样，学生在思维的时候难度就会小一点，在此基础上进行抽象化，就可以有效地培养这部分学生的抽象思维能力.
在对这五个例子进行综合的过程中，我们也注意到，这也是一个良好的培养学生抽象思维能力的机会. 因为从这五个例子到“变量”和“函数”的概念并不是自然而然地进行的，而是需要经历一个分析、综合、归纳的过程. 在这个过程中，抽象思维对学生的学习起着重要作用，而在这一作用发挥的过程中，我们认为教学的关键在于要放慢进程，不能试图一蹴而就. 具体地说，在这五个例子中，首先要分别找出每个例子中的常量与变量；然后发现每个例子中的变量都是两个；接着发现这两个变量与另一个常量结合起来，就可以得到一个关系式；最后得出函数概念.
这样的过程绝非我们想象的那样简单，在学生的思维中，是先分析、再综合、再归纳的过程，是一个十分丰富的抽象过程. 正因为如此，我们才强调要放慢进程，让学生充分感知这一抽象过程.
“变量与函数”教学中抽象思维
能力的培养实践
在本节课的教学实践中，我们的教学重点分为三个环节：引入环节、分析环节、归纳环节.
在引入环节，我们的重点锁定在“变量”与“函数”两个概念上，尤其是变量概念，其具有一定的生活概念性质. 学生看到“变量”这个概念后，有可能反应出“变化的量”的基本认识，这可以为本概念的理解奠定基础，而函数概念就不具有这一特点，因此离不开教师的讲解.
为了引入，我们创设的情境是这样的，即通过幻灯片向学生展示一道智力题：
我们假想有一条绳子绕在地球的赤道上，设其长度为l，如果想让这根绳子离开地面1厘米，那绳子的长度要增加多少？
这一智力题能够有效地激发学生的兴趣，尤其是思维对象的不可触摸性，因此学生必须通过抽象思维去建立相应的数学图形，然后根据直觉去猜想结果. 结果自然是认为数据较大，而当老师告诉他们绳子只增长了6. 28厘米时，学生的惊讶之情溢于言表. 当学生的兴趣被激发后，我们再与学生分析其中的原因：圆的周长C=2πr……在分析的过程中，初步涉及变量与常量的概念.
在此基础上，我们依次提出教材上的五个问题，让学生分别得到s=vt，y=10x，m=（l-10）×0. 5等，针对这些等式，教师引导学生先分析每个式子中的变化量与不变量，然后进行归纳，得出变量与常量的概念. 接着进一步发挥抽象思维的作用，让学生认识到每个等式中都有两个变量，两个变量之间都存在一一对应的关系.
如上所说，这是一个需要丰富的过程，我们可以这样进行引导：在第一个例子中，路程与行驶时间是两个变量，每一个时间t都决定了一个路程s，然后举例；后面的例子以同样的思路推理，其中第二个、第三个可以由教师示范，而第四个、第五个则可以由学生来完成. 尤其应让学生认识到，除了公式表示之外，用其他的方法（如图表法）都难以穷尽两个变量之间的关系，只有通过建立符号等式才能概括所有的变量之间的关系（本质上是因为变量的取值是无穷无尽的）.
从这个角度来看，这五个例子需要挖掘的内容还很多，尤其是本着函数概念的形成，必须让学生认识到函数式能够体现一般性，而这正是抽象思维强有力的体现.
其后，关于函数定义的理解也能有效培养学生的抽象思维能力. 在教材上，函数的定义是这样的：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 显然这一定义是典型的抽象定义，根据我们的教学经验，学生对这一定义的理解重点是“如果有两个变量……函数”一段，而对开始的“在一个变化过程中”则不会予以重视. 对于学生而言，我们认为这一认识是正常的，而对于教师而言，在教学中则不能忽视，因为这是函数概念赖以生存的根本，所以，教师在实际教学中必须引导学生加以认识. “一个变化过程”是什么样的过程？在前面的五个例子中，“一个变化过程”是怎样描述的？——通过对这些问题的讨论，可以让学生认识到“函数”是依赖于“一个变化过程”而生存的.
沿着这一思路，我们还可以让学生寻找其他“一个变化过程中”的函数关系，而真正做到这一点，就会使学生对函数的理解更加深入.
对初中数学教学中思维能力培
养的反思
在日常的初中数学教学中，我们的教学重点仍然是数学知识的学习与运用，而所谓运用，又是数学习题的解答，似乎没有对抽象思维能力进行有意识的培养. 尽管学生的抽象思维能力有所增强，但那却多是学生成长的自然体现. 所以考虑到数学本身具有的特点，我们认为这一情形必须得到一定的扭转，让学生不仅能够学到数学知识，更能提高学生包括抽象思维在内的数学能力. 我们认为，课程标准提出的“数学素养”，其中一个重要组成部分正是这种数学能力的形成.
根据我们的经验，目前培养抽象思维的重点应当放在数学概念的学习和数学规律的运用两个方面，其中需要高度重视的是概念学习，必须让概念的形成有一个丰富的过程！