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摘 要：椭圆定义的最终形成历经两千多年的时间，要在一节课让学生完整经历椭圆定义的原始发现与发展过程显然是不可能的. 本文从教学设计细节入手，揭示曲线定义本质，感悟数学思想，体会数的严谨、形的灵动.
关键词：椭圆定义；代数本质；数形结合
《普通高中数学课程标准（实验）》在课程的基本理念中明确指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.” 椭圆的定义从人们认识圆锥曲线开始，由平面截圆锥到阿波罗尼的椭圆定义，再由沃利斯的关于变量x，y的二次方程的曲线的圆锥曲线定义到丹德林的圆锥曲线定义（教材中的定义），先后经历了两千多年的时间. 由此可见，要在一节课让学生完整经历椭圆定义的原始发现与发展过程显然是不可能的.
整体把握
在“圆锥曲线”的教学中，笔者继续贯彻数学2中提出的“有了曲线如何建立方程，有了方程怎样研究曲线的性质”的解析几何研究思想，并将这种思想放在处理椭圆、双曲线、抛物线上，让学生不断感受解析几何的一般研究思想方法. 先通过活动，用平面切割圆锥面，从几何角度给出椭圆、双曲线、抛物线的定义；然后按照解析几何研究的统一思想方法（在数学2中已经给出，这里进一步贯穿）：建立坐标系，根据几何性质建立曲线的方程，通过方程从代数角度研究曲线的性质. 主要过程为：圆锥曲线—椭圆、双曲线、抛物线—圆锥曲线的统一定义，整体→部分→整体.
在椭圆、双曲线、抛物线研究完毕后，再给出圆锥曲线的统一定义，最后研究一般的曲线方程，使学生对解析几何的研究方法有一个整体的认识.主要过程为：直线与圆—圆锥曲线—曲线与方程，特殊→一般.
本章有核心的概念、原理，有自己的主线，整个内容围绕核心概念或原理展开. 向学生展开研究主题的过程（为什么）；正文就是建立数学（是什么）和解决问题（干什么）的过程；而椭圆是圆锥曲线的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习，是后继学习的基础和示范. 同时，它也是求曲线方程的深化和巩固.
基于上述分析，笔者采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论（辨析）—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合. 引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围.
目标界定
1. 知识与技能
①准确理解椭圆的两种定义；
②学会运用定义解决相关问题；
③解决解析几何处理上出现的思维不严谨现象，提高逻辑思维的严密性.
2. 过程与方法
①通过探究研讨交流，让学生在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、数形结合及化归和转化的数学思想的应用；
②关注分析推理这一证明处理细节，提高学生的分析解决问题的能力.
3. 情感、态度与价值观
①发展学生把握平面图形的能力，使学生更好地认识和理解人类生存的空间；
②发展学生的直觉能力，培养学生的创新精神；
③发展学生的推理论证能力、合情推理能力、运用代数语言进行表达与交流的能力.
方法意图
本部分知识较抽象、枯燥，对数学的定义研究很严格，如果按照以前的教学模式进行教学，仍不可避免出现数学课上“老师讲得津津有味，学生听得昏昏欲睡”的现象. 基于此，由此展开教学设计：以学生自己探究为主，教师挖掘文中隐藏的“探究点、易错点”，设置一定的问题情境，给学生提高尝试探究的机会，在错误中思维得到摔打，得到升华，把课堂交给学生，使学生实现从感性认识到理性认识的飞跃，并自觉地迁移运用.
基于此，课堂教学设计拟如此展开：探究感知、认识现象、理性研究、把握实质、理清概念，并能做到学以致用，达到迁移深化，三维交融，达成教学目标.课堂中适时创设情景，设置一定的错误，引导学生对照椭圆的定义进行比较理解. 教贵善诱，此外适时插入课件，提高直观性和课堂容量.
实践操作
其实通过数轴上两点间的距离可知此时动点P只能在线段AB上.
那么这位同学为什么会错呢？我们一起来看一看椭圆的定义：椭圆的第一定义为（和值定义）：平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆. 他忽略了常数要大于F1F2这一条件.
因此我们在使用第一定义解题时要注意：①此定义突出了椭圆上任一点到两焦点距离之和为常数. ②该常数必须大于F1F2，若等于F1F2，则轨迹为线段F1F2；若小于
F1F2，则这样的点不存在，即无轨迹.
感悟：加强定义学习的指导，让学生感悟数学定义的严谨性，从定义研究的角度对学生进行椭圆定义考查的重点与易错点的探讨，激发学生学习热情和兴趣，提高学生求知欲望和课堂关注率.
④我们还可知道ON是三角形F1PF2的中位线，故ON=a（定值），即N点的轨迹所表示的曲线是以点O为圆心、以a为半径的一个圆.
小结：椭圆定义和平面几何知识的综合应用，也常常为我们提供解决问题的一条捷径.
感悟：培养学生读题、画图的解题习惯，突出破题指导，让学生养成良好的解题习惯.回归定义，紧扣定义对定义的多种表现形式作联系比较.
我们再来看这样一道题：方程x y=2所表示的曲线是什么？
所以=，即表示动点到原点的距离与动点到定直线x y=0的距离之比为定值∈（0，1），由椭圆的第二定义可知所表示的曲线是一椭圆.
这种解法看起来好像是天衣无缝，无懈可击的，可是我们假如先对上面的方程化简就不难发现：x2 2xy y2=4（x2 y2），即3x2-2xy 3y2=0，将其看成关于x的一元二次方程，Δ=4y2-36y2=-32y2≤0，只有Δ=0时才有解. 由y=0得x=0，所以我们只能得到方程x y=2只表示一个点（0，0）. 那么上面的同学为什么会错呢？ 我们看一看椭圆的第二定义，椭圆的第二定义为（比值定义）：平面内到一定点F与到一定直线l（F不在定直线l上）的距离之比为一常数e（0 同样他忽略了F不在定直线l上这一条件，上面的定点（0，0）是在定直线x y=0上的.
我们在使用这一定义时要注意：①此定义给出了椭圆上任一点到焦点与到准线的距离之间的相互转化关系；②定点F（c，0）不在定直线上.
变式1：方程x y-1=2所表示的曲线是什么？
对于这个题我们用刚才那位同学的做法，不难知道定点为（0，0），而定直线是x y-1=0，定点不在定直线上，即可得：=，表示动点到原点的距离与动点到定直线x y-1=0的距离之比为定值∈（0，1），由椭圆的第二定义可知所表示的曲线是一椭圆.
变式2：已知F是椭圆5x2 9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，①求PA PF的最小值；②求PA PF的最大值.
分析：①A（1，1）是椭圆内一定点，求PA PF的最小值首先要注意到PF怎么处理，我们知道椭圆的离心率是，根据椭圆的第二定义知道PF就是P点到准线的距离PN，即原题就变为求PA PN的最小值，也就是当A，P，N三点共线时满足要求，故PA PF的最小值为点A到左准线x=-的距离为.
②由PA PF这种形式我们可以想到三角形的两边之和及之差的问题，但求最大值就应该与之差有关，而题目给的却是之和的形式，那我们该怎么办？我们在数学上有一种思想，叫化归思想，在这里就是要想办法将和转化为差的形式，可用第一定义，如图有：PF PM=6，所以PF=6-PM，所以PA PF=PA-PM 6，当P点在AM的延长线上时满足题意.
所以PA PF=PA-PM 6的最大值为AM 6= 6.
小结：焦半径问题和第一、二定义是椭圆经常考查的知识，对于这类问题我们可以知道若距离和或差的系数一致就应该用第一定义转化，若距离和或差的系数不一致就应该用第二定义转化.
感悟：通过这活动块的教学，使学生认识到椭圆的两种定义在解题中的作用，用好定义有助于我们进一步研究椭圆的相关性质，揭示解析几何的本质，感悟数形结合的数学思想，体会数的严谨、形的灵动.
总之：现在的数学课堂如何真正地提高实效，可能加强教学内容的针对性、落实课堂教学参与性后会更好，这是一节解析几何定义教学课，学生对椭圆定义的大概内容已经清楚，而困难在如何将掌握的知识与考题结合起来，合理运用. 课堂教学通过学生自主读题、画图破解题目为教师组织后面的教学提供一个诊断，进一步加强了教学的针对性.
本课选择了教材中的椭圆定义的语言表述作为展开讨论的基础，旨在培养学生关注数学定义，并挖掘定义的背后的东西做一点努力，当然对定义教学的研究和把握还有很长的路要走，需要我们师生共同努力，并为之奋斗！
关键词：椭圆定义；代数本质；数形结合
《普通高中数学课程标准（实验）》在课程的基本理念中明确指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.” 椭圆的定义从人们认识圆锥曲线开始，由平面截圆锥到阿波罗尼的椭圆定义，再由沃利斯的关于变量x，y的二次方程的曲线的圆锥曲线定义到丹德林的圆锥曲线定义（教材中的定义），先后经历了两千多年的时间. 由此可见，要在一节课让学生完整经历椭圆定义的原始发现与发展过程显然是不可能的.
整体把握
在“圆锥曲线”的教学中，笔者继续贯彻数学2中提出的“有了曲线如何建立方程，有了方程怎样研究曲线的性质”的解析几何研究思想，并将这种思想放在处理椭圆、双曲线、抛物线上，让学生不断感受解析几何的一般研究思想方法. 先通过活动，用平面切割圆锥面，从几何角度给出椭圆、双曲线、抛物线的定义；然后按照解析几何研究的统一思想方法（在数学2中已经给出，这里进一步贯穿）：建立坐标系，根据几何性质建立曲线的方程，通过方程从代数角度研究曲线的性质. 主要过程为：圆锥曲线—椭圆、双曲线、抛物线—圆锥曲线的统一定义，整体→部分→整体.
在椭圆、双曲线、抛物线研究完毕后，再给出圆锥曲线的统一定义，最后研究一般的曲线方程，使学生对解析几何的研究方法有一个整体的认识.主要过程为：直线与圆—圆锥曲线—曲线与方程，特殊→一般.
本章有核心的概念、原理，有自己的主线，整个内容围绕核心概念或原理展开. 向学生展开研究主题的过程（为什么）；正文就是建立数学（是什么）和解决问题（干什么）的过程；而椭圆是圆锥曲线的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习，是后继学习的基础和示范. 同时，它也是求曲线方程的深化和巩固.
基于上述分析，笔者采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论（辨析）—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合. 引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围.
目标界定
1. 知识与技能
①准确理解椭圆的两种定义；
②学会运用定义解决相关问题；
③解决解析几何处理上出现的思维不严谨现象，提高逻辑思维的严密性.
2. 过程与方法
①通过探究研讨交流，让学生在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、数形结合及化归和转化的数学思想的应用；
②关注分析推理这一证明处理细节，提高学生的分析解决问题的能力.
3. 情感、态度与价值观
①发展学生把握平面图形的能力，使学生更好地认识和理解人类生存的空间；
②发展学生的直觉能力，培养学生的创新精神；
③发展学生的推理论证能力、合情推理能力、运用代数语言进行表达与交流的能力.
方法意图
本部分知识较抽象、枯燥，对数学的定义研究很严格，如果按照以前的教学模式进行教学，仍不可避免出现数学课上“老师讲得津津有味，学生听得昏昏欲睡”的现象. 基于此，由此展开教学设计：以学生自己探究为主，教师挖掘文中隐藏的“探究点、易错点”，设置一定的问题情境，给学生提高尝试探究的机会，在错误中思维得到摔打，得到升华，把课堂交给学生，使学生实现从感性认识到理性认识的飞跃，并自觉地迁移运用.
基于此，课堂教学设计拟如此展开：探究感知、认识现象、理性研究、把握实质、理清概念，并能做到学以致用，达到迁移深化，三维交融，达成教学目标.课堂中适时创设情景，设置一定的错误，引导学生对照椭圆的定义进行比较理解. 教贵善诱，此外适时插入课件，提高直观性和课堂容量.
实践操作
其实通过数轴上两点间的距离可知此时动点P只能在线段AB上.
那么这位同学为什么会错呢？我们一起来看一看椭圆的定义：椭圆的第一定义为（和值定义）：平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆. 他忽略了常数要大于F1F2这一条件.
因此我们在使用第一定义解题时要注意：①此定义突出了椭圆上任一点到两焦点距离之和为常数. ②该常数必须大于F1F2，若等于F1F2，则轨迹为线段F1F2；若小于
F1F2，则这样的点不存在，即无轨迹.
感悟：加强定义学习的指导，让学生感悟数学定义的严谨性，从定义研究的角度对学生进行椭圆定义考查的重点与易错点的探讨，激发学生学习热情和兴趣，提高学生求知欲望和课堂关注率.
④我们还可知道ON是三角形F1PF2的中位线，故ON=a（定值），即N点的轨迹所表示的曲线是以点O为圆心、以a为半径的一个圆.
小结：椭圆定义和平面几何知识的综合应用，也常常为我们提供解决问题的一条捷径.
感悟：培养学生读题、画图的解题习惯，突出破题指导，让学生养成良好的解题习惯.回归定义，紧扣定义对定义的多种表现形式作联系比较.
我们再来看这样一道题：方程x y=2所表示的曲线是什么？
所以=，即表示动点到原点的距离与动点到定直线x y=0的距离之比为定值∈（0，1），由椭圆的第二定义可知所表示的曲线是一椭圆.
这种解法看起来好像是天衣无缝，无懈可击的，可是我们假如先对上面的方程化简就不难发现：x2 2xy y2=4（x2 y2），即3x2-2xy 3y2=0，将其看成关于x的一元二次方程，Δ=4y2-36y2=-32y2≤0，只有Δ=0时才有解. 由y=0得x=0，所以我们只能得到方程x y=2只表示一个点（0，0）. 那么上面的同学为什么会错呢？ 我们看一看椭圆的第二定义，椭圆的第二定义为（比值定义）：平面内到一定点F与到一定直线l（F不在定直线l上）的距离之比为一常数e（0
我们在使用这一定义时要注意：①此定义给出了椭圆上任一点到焦点与到准线的距离之间的相互转化关系；②定点F（c，0）不在定直线上.
变式1：方程x y-1=2所表示的曲线是什么？
对于这个题我们用刚才那位同学的做法，不难知道定点为（0，0），而定直线是x y-1=0，定点不在定直线上，即可得：=，表示动点到原点的距离与动点到定直线x y-1=0的距离之比为定值∈（0，1），由椭圆的第二定义可知所表示的曲线是一椭圆.
变式2：已知F是椭圆5x2 9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，①求PA PF的最小值；②求PA PF的最大值.
分析：①A（1，1）是椭圆内一定点，求PA PF的最小值首先要注意到PF怎么处理，我们知道椭圆的离心率是，根据椭圆的第二定义知道PF就是P点到准线的距离PN，即原题就变为求PA PN的最小值，也就是当A，P，N三点共线时满足要求，故PA PF的最小值为点A到左准线x=-的距离为.
②由PA PF这种形式我们可以想到三角形的两边之和及之差的问题，但求最大值就应该与之差有关，而题目给的却是之和的形式，那我们该怎么办？我们在数学上有一种思想，叫化归思想，在这里就是要想办法将和转化为差的形式，可用第一定义，如图有：PF PM=6，所以PF=6-PM，所以PA PF=PA-PM 6，当P点在AM的延长线上时满足题意.
所以PA PF=PA-PM 6的最大值为AM 6= 6.
小结：焦半径问题和第一、二定义是椭圆经常考查的知识，对于这类问题我们可以知道若距离和或差的系数一致就应该用第一定义转化，若距离和或差的系数不一致就应该用第二定义转化.
感悟：通过这活动块的教学，使学生认识到椭圆的两种定义在解题中的作用，用好定义有助于我们进一步研究椭圆的相关性质，揭示解析几何的本质，感悟数形结合的数学思想，体会数的严谨、形的灵动.
总之：现在的数学课堂如何真正地提高实效，可能加强教学内容的针对性、落实课堂教学参与性后会更好，这是一节解析几何定义教学课，学生对椭圆定义的大概内容已经清楚，而困难在如何将掌握的知识与考题结合起来，合理运用. 课堂教学通过学生自主读题、画图破解题目为教师组织后面的教学提供一个诊断，进一步加强了教学的针对性.
本课选择了教材中的椭圆定义的语言表述作为展开讨论的基础，旨在培养学生关注数学定义，并挖掘定义的背后的东西做一点努力，当然对定义教学的研究和把握还有很长的路要走，需要我们师生共同努力，并为之奋斗！