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“到定点的距离等于定长的点的集合是圆”，在解题的过程中，往往会遇到一些看似与圆“无缘”的题目，但若能从题目中捕捉一些与圆有联系的信息，添加辅助圆，就能结合所求结论与圆的内在联系，就能利用圆的有关性质找到解题途径.这种方法往往能使复杂问题变得简单，简单问题变得简洁.
一、构造圆求角的度数
例1 （2015·威海）如图1，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）.
A.68° B.88° C.90° D.112°
【分析】如图2，由于BA=CA=DA，说明点B、C、D三点到点A的距离相等，所以点B、C、D三点在以A为圆心、以AB的长为半径的圆上.运用圆周角定理便可得到∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，结合已知条件∠CBD=2∠BDC，得到∠CAD=2∠BAC，即可解决问题.
解：如图2，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心、以AB的长为半径的圆上.
∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，故选B.
【点评】抓住BA=CA=DA构造圆是解题的关键，另外该题主要考查了用圆周角定理及其推论等几何知识点.解题的方法是作辅助圆，将分散的条件集中.解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答.
例2 （2013·江西模拟）如图3，已知四边形ABCD内的一点E，若EA=EB=EC=ED，∠BAD
=70°，则∠BCD的度数为 .
【分析】先由EA=EB=EC=ED，得出A、B、C、D四点在以E为圆心、EA的长为半径的圆上，再根据圆内接四边形的对角互补，得出∠BCD=180°-∠BAD.
解：如图4，∵点E为四边形ABCD内一点，且EA=EB=EC=ED，
∴A、B、C、D四点在以E为圆心、EA的长为半径的圆上，∠BCD ∠BAD=180°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-70°=110°.
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：对角互补，由已知判断出A、B、C、D四点共圆是解题的关键.
二、构造圆求最值
例3 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，如图5，则线段AF长的最小值 .
【分析】由于点D是BC的中点，由折纸的过程可以发现：DB=DF=DC=2，即说明点B、F、C在以D为圆心、以2为半径的圆上，且点A在圆外，求线段AF长的最小值，而点F在圆上，所以本题相当于求“圆外一点到圆的最近距离”.所以当A、F、D三点共线时，AF的值最小.
解：如图6，∵D是BC的中点，
∴DB=DF=DC=2，
即点B、F、C在以D为圆心、以2为半径的圆上，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=[AC2 CD2]=[13]，當A、F、D三点在同一条直线上时，AF的值最小，AF=AD-DF=[13]-2.
【点评】如图7，圆外一点到圆的最近距离即这点到圆心的距离与半径的差（线段PA的长度）；如图7，圆外一点到圆的最远距离即这点到圆心的距离与半径的和（线段PB的长度）.
例4 如图8，在锐角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转，得到△A1BC1.点E为线段A1B中点，点P是线段AC上的一个动点，求线段PE长度的最大值与最小值.
【分析】点E是线段A1B的中点，而AB=A1B=4，所以点E的运动路径是以B为圆心、以2为半径的圆，点P是线段AC上的一个动点，求PE的长度的最小值和最大值，即为求圆外线段AC上一点到圆的最近距离与最远距离问题，即B、E、P在一条直线上.所以BE应垂直于AC，垂足即为所求P的位置.此时，PE的长度最小，如图9.当B、E、P在一条直线上且P与C重合时，PE的长度最大.
解：如图9，过点B作BD⊥AC，D为垂足.
∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=[522].
① 当P在AC上运动至垂足D且E在PB上时，EP最小，最小值为[522]-2；
② 如图10，当P在AC上运动至点C，E在CB的延长线上时，EP最大，最大值为2 5=7.
例5 如图11，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，求点B到原点O的最大距离.
【分析】点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，AC=4，点O到AC的中点的距离不变（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.要求OB的最大值，根据相对运动，可将B点当作定点，O看作动点，点O在以AC为直径的圆上，实质上还是转换成求“圆外一点到圆的最大距离”问题，所以，当B，AC的中点，O在一条直线上时，点B到原点O的距离最大.
解：如图12，∵∠AOC=90°，AC=4，设AC的中点为D，∴点O在以AC为直径的⊙D上，BD=[BC2 CD2]=[22 22]=[22].
∴当O、D、B三点共线时，OB取得最大值[22] 2.
小试身手
1.已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C在第一象限，求OC长的最大值.
2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△A1B1C.点P是线段AC上的一个动点，点E为线段A1C的中点，求线段PE长度的最小值.
3.（2014·北京）如图13，在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明.（提示：由AD=AB=AE构造以A为圆心、以AB为半径的圆.）
4.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BD=BC=5，DC=[19]，求AC的长.（提示：由AB=BD=BC=5构造以B为圆心、以5为半径的圆.）
（作者单位：江苏省丰县顺河中学）
一、构造圆求角的度数
例1 （2015·威海）如图1，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）.
A.68° B.88° C.90° D.112°
【分析】如图2，由于BA=CA=DA，说明点B、C、D三点到点A的距离相等，所以点B、C、D三点在以A为圆心、以AB的长为半径的圆上.运用圆周角定理便可得到∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，结合已知条件∠CBD=2∠BDC，得到∠CAD=2∠BAC，即可解决问题.
解：如图2，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心、以AB的长为半径的圆上.
∵∠CBD=2∠BDC，
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，故选B.
【点评】抓住BA=CA=DA构造圆是解题的关键，另外该题主要考查了用圆周角定理及其推论等几何知识点.解题的方法是作辅助圆，将分散的条件集中.解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答.
例2 （2013·江西模拟）如图3，已知四边形ABCD内的一点E，若EA=EB=EC=ED，∠BAD
=70°，则∠BCD的度数为 .
【分析】先由EA=EB=EC=ED，得出A、B、C、D四点在以E为圆心、EA的长为半径的圆上，再根据圆内接四边形的对角互补，得出∠BCD=180°-∠BAD.
解：如图4，∵点E为四边形ABCD内一点，且EA=EB=EC=ED，
∴A、B、C、D四点在以E为圆心、EA的长为半径的圆上，∠BCD ∠BAD=180°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-70°=110°.
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：对角互补，由已知判断出A、B、C、D四点共圆是解题的关键.
二、构造圆求最值
例3 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，如图5，则线段AF长的最小值 .
【分析】由于点D是BC的中点，由折纸的过程可以发现：DB=DF=DC=2，即说明点B、F、C在以D为圆心、以2为半径的圆上，且点A在圆外，求线段AF长的最小值，而点F在圆上，所以本题相当于求“圆外一点到圆的最近距离”.所以当A、F、D三点共线时，AF的值最小.
解：如图6，∵D是BC的中点，
∴DB=DF=DC=2，
即点B、F、C在以D为圆心、以2为半径的圆上，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=[AC2 CD2]=[13]，當A、F、D三点在同一条直线上时，AF的值最小，AF=AD-DF=[13]-2.
【点评】如图7，圆外一点到圆的最近距离即这点到圆心的距离与半径的差（线段PA的长度）；如图7，圆外一点到圆的最远距离即这点到圆心的距离与半径的和（线段PB的长度）.
例4 如图8，在锐角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转，得到△A1BC1.点E为线段A1B中点，点P是线段AC上的一个动点，求线段PE长度的最大值与最小值.
【分析】点E是线段A1B的中点，而AB=A1B=4，所以点E的运动路径是以B为圆心、以2为半径的圆，点P是线段AC上的一个动点，求PE的长度的最小值和最大值，即为求圆外线段AC上一点到圆的最近距离与最远距离问题，即B、E、P在一条直线上.所以BE应垂直于AC，垂足即为所求P的位置.此时，PE的长度最小，如图9.当B、E、P在一条直线上且P与C重合时，PE的长度最大.
解：如图9，过点B作BD⊥AC，D为垂足.
∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=[522].
① 当P在AC上运动至垂足D且E在PB上时，EP最小，最小值为[522]-2；
② 如图10，当P在AC上运动至点C，E在CB的延长线上时，EP最大，最大值为2 5=7.
例5 如图11，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，求点B到原点O的最大距离.
【分析】点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，AC=4，点O到AC的中点的距离不变（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.要求OB的最大值，根据相对运动，可将B点当作定点，O看作动点，点O在以AC为直径的圆上，实质上还是转换成求“圆外一点到圆的最大距离”问题，所以，当B，AC的中点，O在一条直线上时，点B到原点O的距离最大.
解：如图12，∵∠AOC=90°，AC=4，设AC的中点为D，∴点O在以AC为直径的⊙D上，BD=[BC2 CD2]=[22 22]=[22].
∴当O、D、B三点共线时，OB取得最大值[22] 2.
小试身手
1.已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C在第一象限，求OC长的最大值.
2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△A1B1C.点P是线段AC上的一个动点，点E为线段A1C的中点，求线段PE长度的最小值.
3.（2014·北京）如图13，在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明.（提示：由AD=AB=AE构造以A为圆心、以AB为半径的圆.）
4.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BD=BC=5，DC=[19]，求AC的长.（提示：由AB=BD=BC=5构造以B为圆心、以5为半径的圆.）
（作者单位：江苏省丰县顺河中学）