例析一元二次方程创新题

• 作 者: 孟 坤
• 出 处: 语数外学习·九年级
• 发表日期: 2007年8期
• 关键词: 一元二次方程 中考试题 发散思维能力 题设条件 错型 性质定理 湖南省常德市 解题过程 填空题 判定定理

　　山东省枣庄市二十九中近年来，中考试题更加灵活和开放，有关一元二次方程的创新题也闪亮登场，对培养学生的自主探索及创新能力起到了良好的作用.现举例说明如下.
　　
　　一、开放探究型
　　
　　例1 已知一元二次方程有一个根为2，那么这个方程可以是______（填上你认为正确的一个方程即可）.（2006年湖南省常德市）
　　解析： 这是一道考查同学们的发散思维能力的试题，其答案不惟一，因此解答这类试题必须遵循“定义既是判定定理，又是性质定理”的思路，进行逆向思考.
　　首先构造方程的一个根为x=2，然后在x=2的两边同时乘以x，展开得x²-2x=0；或在x=2的两边同时乘以x-3，得x(x-3)=2(x-3)，展开得x²-5x+6=0.故可填x²-2x=0或x²-5x+6=0等满足条件的方程.
　　评注： 解答本题，若盲目地写出一系列一元二次方程，然后检验2是不是所列一元二次方程的根，不仅浪费时间，也不一定能得出正确答案.
　　
　　二、新运算型
　　
　　例2 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a²-b²，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为_______.（2006年甘肃省兰州市）
　　解析： 对“*”的理解是解题的关键.若理解透了，与常规的方程解法区别不大. 依照规则a*b=a²-b²，不难得方程(x+2)²-5²=0. 这是一个一元二次方程，可解得x1=3, x²=-7.故填x=3或x=-7.
　　评注： 特殊定义的运算是指我们规定的一些非常规的运算，在这种运算中，只需根据其规定的含义进行常规的运算即可.“新运算”实现了从考查知识向考查能力的过渡.
　　
　　三、补充选择型
　　
　　例3 先从①、②、③、④备选项中选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整后再解答.
　　如果a是关于x的方程x²+bx+a=0的根，并且a≠0，求________的值.
　　①ab②a/b ③a+b ④a-b（2006年陕西省铜川市）
　　解析： 解答这类补充选择型填空题，应着眼题设条件，看能推出何种结果.本题可直接由一元二次方程根的定义，得a²+ba+a=0,因为a≠0，所以a+b+1=0,即a+b=-1,因此应选填③.
　　
　　四、解法纠错型
　　
　　例4 阅读下面的解题过程，判断是否正确，若有错误，写出正确解答.已知m是方程mx²-2x+m=0的一个根，求m的值.
　　解： 把x=m代入原方程，化简得m³=m，两边都除以m，得m²=1. ∴ m=1.把m=1代入原方程检验，可知m=1符合题意.即m的值是1.
　　（2006年浙江省湖州市）
　　解析： 本题看似简单，但包含了很多内容.由于已知方程既可以是一次方程又可以是二次方程，所以在m³=m中，m可以为0，若两边同时除以m，便失去一个根；由m²=1知，m=±1.因此m₁=0、m₂=1、 m₃=-1.把得到的解分别代入原方程检验，均符合题意.
　　解：上述解法有错误，正确的解法是：把x=m代入原方程并化简，得m³=m，即m(m-1)(m+1)=0, 解得m₁=0, m₂=1, m₃=-1.把m的三个值分别代入原方程检验，均符合题意.即m的值是0、1、-1.
　　
　　五、规律探究型
　　
　　例5 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程；
　　＜1＞x²-1=0;
　　＜2＞x²+x-2=0；
　　＜3＞x²+2x-3=0；……
　　＜n＞x²+(n-1)x-n=0.
　　（1）请解上述一元二次方程＜1＞、＜2＞、＜3＞、＜n＞；
　　（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.
　　（2006年北京市海淀区）
　　解析： （1）分别用因式分解法解下列方程，可得
　　＜1＞∵ (x+1)(x-1)=0, ∴ x₁=-1, x₂=1;
　　＜2＞ ∵ (x+2)(x-1)=0, ∴ x₁=-2, x₂=1;
　　＜3＞ ∵ (x+3)(x-1)=0, ∴ x₁=-3, x₂=1; ……
　　＜n＞ ∵ (x+n)(x-1)=0, ∴ x₁=-n, x₂=1.
　　（2）观察、比较、分析，可知它们的共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等等.
　　评注： 解答此题要求我们了解具有某种特点的方程的解题规律，知道方程的根与系数之间的关系.