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摘 要：课题学习追求的目标不仅是知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过数学学习活动获得数学素养的提升.课堂是培养核心素养的主阵地，合理的素材是落实核心素养的前提，适切的问题是培养核心素养的关键，科学的评价是培养核心素养的保障.
关键词：课题学习；核心素养；学习能力；探究活动
作为初中数学四大板块内容之一的课题学习，目的是让学生经过自主探索和合作交流，解决一些具有挑战性和综合性的问题，使得数学教学过程成为一个课题研究的过程.因此，课题学习追求的目标不仅是知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过数学学习活动获得创造性活动的经验，学会数学的思维，掌握数学思想方法，提升数学素养.这与我国目前基础教育的新热点——核心素养的要求极其吻合.
课堂是培养核心素养的主阵地. 笔者对课题学习“格点多边形的面积计算”一课进行二度教学实践，两次实践都引起了教师们广泛的讨论和持续的关注.现以修正后的这节课为例，谈谈对这节课的教学分析与思考，希望能对读者有所启发.
一、教材分析
（一）教学目标分析
理解格点多边形的定义，掌握求格点多边形面积的一般方法；学生通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理；通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法，体验“在解决多变量问题中采用变量逐步控制”的科学思维方法；同时培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等数学核心素养.
（二）教学内容分析
本节课主要探索多边形面积计算公式（皮克定理），该公式在数学学科及实际生活中有着广泛的应用.本节课中计算不规则多边形面积是推导公式的关键步骤，是应用转化思想，将不规则图形转化为规则图形来计算；同时又为后续学习数学归纳法、体会类比思想奠定了良好的基础.因此本节课是培养学生数学学习能力、提升数学核心素养的良好素材.
二、教学实践
（一）画图操作 唤醒学生的探究意识
教师：（幻灯片展示从生活中抽象出的几何图形）在日常生活中我们经常会遇到需要计算这些不规则图形的面积，你知道怎么来求这些不规则图形的面积呢？
学生1：可以将不规则图形转化为规则图形来计算.
教师：在小学里我们已经接触过将不规则图形转化为规则图形来计算面积，但这样往往会受到具体条件的限制，为了更好地解决这一类问题，今天这节课我们把图形放到格点多边形中来探索求解面积的方法.
教师：如果一个多边形的顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，那么这样的多边形称为格点多边形.PPT展示格点多边形的概念）
教师：你会求图1中的格点多边形的面积吗？请试一试.
学生：先求出长、宽（或底与高）后再用面积计算公式计算.
教师：怎么求长、宽（或底与高）？
学生：观察格点多边形上的格点数就可以知道格子数目，从而求出长、宽（或底与高）了.
教师：回答得很好！事实上，长、宽与格点多边形内的格点数和边界上的格点数均有关.
教师：那如何来求图2的面积呢？
学生：分割或补形成规则图形.
教师根据学生的回答展示主要的割补方案（见图3）.
说明：设置环环相扣的问题，引领学生的思维进入有序思考的状态，同时让学生体会到“学习的内容源于解决问题的需要”，激发学习的内驱力.在求解长、宽（或底与高）的过程中，培养学生直观想象的数学素养和转化的数学思想.
（二）探究活动 促进学生核心素养的根植
教师：结合刚才求格点多边形的面积的方法，接下来我们一起来探究格点多边形的面积与其覆盖的格点数究竟具有怎样的关系呢？
【探究】设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为[a]，边界上的格点数为[b]，请写出图4中格点多边形的[a，b]的值.
操作1：请同学在网格纸上画出与图4的[a，b]的值对应相等但又不同于圖4的三个格点多边形.（此环节教师用投影仪展示学生作品，学生评析，教师修正）
操作2：请同学在网格纸上画出3个满足条件[a=0]的格点多边形，图形序号分别用①②③标志，并分别求出它们的面积S.
活动一 探究[a=0]的格点多边形中S与[b]之间的关系.
教师：当[a=0]时，格点多边形中的S，[b]之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？
（为了帮助学生发现规律，教师引导学生填好图5的表格，启发学生尝试应用函数图象分析）
学生（部分）：能.（这时有部分学生在坐标系中描出对应点并连线分析趋势，见图6）
教师：能说说具体解决方法吗？
学生：因为显示的图象是直线，所以应用点的坐标带入来求解.
学生：可以设[S=mb n]，将两个点的坐标[（b，S）]代入，解一个关于[m，n]的二元一次方程组，得到[S=12b-1].
说明：此环节启发学生探究[a=0]的情况下S与[b]之间的关系，为得到一般情况下面积公式设置阶梯，并让学生初步体会解决多变量问题时采用变量逐步控制的方法；另一方面，学生在观察、实验、猜想、计算和验证的过程中，促进数学运算、逻辑推理核心素养的培养.
（随后，教师分别呈现如图7中的三幅图，让学生继续进行探究）
活动二 探究[a]=1时的格点多边形中S与[b]之间的关系.
活动三 探究[a=2]时格点多边形中[S与b]之间的关系.
活动四 探究[a=3]时格点多边形中[S与b]之间的关系.
（三个活动，学生根据活动一积累的经验，不难求出[a=1]时，[S=12b 0]；[a=2]时 ，[S=12b 1]；[a=3]时，[S=12b 2]） 说明：设置[a]=1，2，3的情况下，推导S与[b]的关系，意在先控制变量[a]，把它赋成常数，得出S与[b]的关系；另一方面，学生经过计算、猜想逐步向结论靠近的过程中，体现了数学运算、类比推理等数学素养的发展.
（三）猜想规律 激发学生的创新意识
教师：如果[b=0]，请同学们猜想S与[a]应该是怎样的关系？
学生：[S]是关于[a]为一次函数，图象上体现为一条直线.
教师：那么在一般情况时，请同学们猜想S与[a]，[b]应该是怎样的关系？（引导学生观察表格中的数据和S与[b]的关系式进行思考）
学生：一次函数关系.
教师：同学的回答有道理但不科学，在数学上我们称S与[a]，[b]具有线性关系，所以 [可设S=ma nb c]，请同学们求出[m，n，c]的值.
学生：根据前面的环节可得[c=-1，]由表格中的数据通过解方程组可得[m=1，n=12].
教师： [S=a 12b-1]，这就是著名的皮克公式.（PPT展示皮克定理相关资料）
说明：本环节让学生经历由特殊到一般及由归纳获得的猜想，再结合具体的数据通过解方程组获得结论.在思维的碰撞中提升对归纳猜想、合情推理的本质的认识；在猜想、计算和建模的过程中，促进数学建模、数学运算、逻辑推理的数学核心素养的培养.
（四）验证规律 培养学生的理性精神
教师：至此，我们通过讨论格点多边形内部及边界上的格点数推出了格点多边形的面积公式，这个公式是否具有一般性，你如何验证这个结论？
学生：可以通过画一般的格点多边形来验证.（学生开始尝试画图验证）
这时教师通过几何画板引导学生进行验证，并让学生上台演示.学生拖动格点多边形的一个顶点，使得多边形内部的格点数[a]不变，S随着边界点[b]的个数变化而变化；再控制边界点格点数[b]不变，S随着多边形内部的格点数[a]的变化而变化.当[a=4，5]时，分别验证了[S=a 12b-1]正确.
教师：刚才是一个验证的过程，并不是证明的过程.奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，所以这个公式叫作皮克定理.如果有兴趣，请同学课外可查找皮克定理的证明资料，并和你探索的结果作比较.
说明：本环节让学生明白验证与证明的区别，事实上数学定理要经过严谨的数学证明才行，而要说明结论错误只需举出反例，培养学生养成良好的数学思考习惯和验证猜想的能力及科学理性的精神.
（五）学以致用 内化学生的核心素养
①请同桌合作用两种方法计算图8中多边形的面积.
②请你计算图9中格点△FGH的面积.并求△FGH的边GF上的高.
说明：第①题既是皮克公式的应用，也验证了皮克公式可应用于凹多边形. 第②题是中考原题，若直接求△FGH的边GF上的高会较烦琐.若应用皮克公式，再利用△GFH的面积即可得h=[95][10].习题的设置意在培养学生应用所学知识解决问题，通过问题的解决促进核心素养的内化和根植.
三、思考
（一）合理的素材是培养核心素养的前提
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的.”这说明了教学中合理取材的重要性.那么，怎样的素材才是合理的？笔者以为，首先要看该素材是否在学生认知领域内，适合学生进行数学化的活动， 再者探究活动是否能体现数学核心素养，从而真正地成为研究问题的载体.课题学习一般是选取可以深入探究的问题建立数学模型，通过学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动使问题得以解决，并进行深度挖掘.在本节案例中，以“皮克公式的推导”为核心，在解决多變量问题时采用变量逐步控制的方法进行探究，不仅内容新颖富有挑战性，而且符合学生认知特点，这样的数学素材与活动使得学生有了探究的基础和条件，使学生自然将新的知识内化到已有的认知结构中.
（二）适切的问题是培养核心素养的关键
问题是探究的核心，是培养核心素养的关键.如何科学地设计问题至关重要.笔者以为，首先要使设计的问题适合学生认知水平，能揭示教材和学习活动中的实质矛盾，难易适度，为在教学过程中落实数学核心素养创造基本条件.在本节案例中，问题链的设置从[a=0]时探究格点多边形的S与[b]的关系， 再深入到[a=1，2，3]时，探究格点多边形S与[b]的关系，始终围绕着“皮克定理的推导”展开.根据设计的系列化问题，引导学生通过观察、画图、计算、猜想、验证等手段逐步逼近本质，既解决了问题又在问题解决的过程中促进了学生数学核心素养的培养.
（三）科学的评价是培养核心素养的保障
长期以来，学校、社会过于关注终结性评价，教学成了以“结果制约过程”为特征的教学.在核心素养成为我国基础教育新热点的形势下，从教学目标、教学内容、教学实施到教学评价都应有科学的措施.特别是对核心素养发展水平的评价，不可仅依靠测试学生对知识与技能的掌握程度来体现，要表现出对各种能力和综合品格的重视，如思维能力、创新能力、学习能力、合作能力等.因此，课堂教学中的评价，更多的功能是“改进”和“表现”，不宜过多强调评价的甄别功能，通过过程性的评价来保障学科核心素养的落地.作为学业测试的评价部分，纸笔评价的内容也应聚焦于学生的核心素养，包括关注学生学习能力、钻研精神及学生在学习过程中的科学态度和理性精神等，从评价环节来引导核心素养的培养.[□][◢]
关键词：课题学习；核心素养；学习能力；探究活动
作为初中数学四大板块内容之一的课题学习，目的是让学生经过自主探索和合作交流，解决一些具有挑战性和综合性的问题，使得数学教学过程成为一个课题研究的过程.因此，课题学习追求的目标不仅是知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生通过数学学习活动获得创造性活动的经验，学会数学的思维，掌握数学思想方法，提升数学素养.这与我国目前基础教育的新热点——核心素养的要求极其吻合.
课堂是培养核心素养的主阵地. 笔者对课题学习“格点多边形的面积计算”一课进行二度教学实践，两次实践都引起了教师们广泛的讨论和持续的关注.现以修正后的这节课为例，谈谈对这节课的教学分析与思考，希望能对读者有所启发.
一、教材分析
（一）教学目标分析
理解格点多边形的定义，掌握求格点多边形面积的一般方法；学生通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理；通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法，体验“在解决多变量问题中采用变量逐步控制”的科学思维方法；同时培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等数学核心素养.
（二）教学内容分析
本节课主要探索多边形面积计算公式（皮克定理），该公式在数学学科及实际生活中有着广泛的应用.本节课中计算不规则多边形面积是推导公式的关键步骤，是应用转化思想，将不规则图形转化为规则图形来计算；同时又为后续学习数学归纳法、体会类比思想奠定了良好的基础.因此本节课是培养学生数学学习能力、提升数学核心素养的良好素材.
二、教学实践
（一）画图操作 唤醒学生的探究意识
教师：（幻灯片展示从生活中抽象出的几何图形）在日常生活中我们经常会遇到需要计算这些不规则图形的面积，你知道怎么来求这些不规则图形的面积呢？
学生1：可以将不规则图形转化为规则图形来计算.
教师：在小学里我们已经接触过将不规则图形转化为规则图形来计算面积，但这样往往会受到具体条件的限制，为了更好地解决这一类问题，今天这节课我们把图形放到格点多边形中来探索求解面积的方法.
教师：如果一个多边形的顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，那么这样的多边形称为格点多边形.PPT展示格点多边形的概念）
教师：你会求图1中的格点多边形的面积吗？请试一试.
学生：先求出长、宽（或底与高）后再用面积计算公式计算.
教师：怎么求长、宽（或底与高）？
学生：观察格点多边形上的格点数就可以知道格子数目，从而求出长、宽（或底与高）了.
教师：回答得很好！事实上，长、宽与格点多边形内的格点数和边界上的格点数均有关.
教师：那如何来求图2的面积呢？
学生：分割或补形成规则图形.
教师根据学生的回答展示主要的割补方案（见图3）.
说明：设置环环相扣的问题，引领学生的思维进入有序思考的状态，同时让学生体会到“学习的内容源于解决问题的需要”，激发学习的内驱力.在求解长、宽（或底与高）的过程中，培养学生直观想象的数学素养和转化的数学思想.
（二）探究活动 促进学生核心素养的根植
教师：结合刚才求格点多边形的面积的方法，接下来我们一起来探究格点多边形的面积与其覆盖的格点数究竟具有怎样的关系呢？
【探究】设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为[a]，边界上的格点数为[b]，请写出图4中格点多边形的[a，b]的值.
操作1：请同学在网格纸上画出与图4的[a，b]的值对应相等但又不同于圖4的三个格点多边形.（此环节教师用投影仪展示学生作品，学生评析，教师修正）
操作2：请同学在网格纸上画出3个满足条件[a=0]的格点多边形，图形序号分别用①②③标志，并分别求出它们的面积S.
活动一 探究[a=0]的格点多边形中S与[b]之间的关系.
教师：当[a=0]时，格点多边形中的S，[b]之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？
（为了帮助学生发现规律，教师引导学生填好图5的表格，启发学生尝试应用函数图象分析）
学生（部分）：能.（这时有部分学生在坐标系中描出对应点并连线分析趋势，见图6）
教师：能说说具体解决方法吗？
学生：因为显示的图象是直线，所以应用点的坐标带入来求解.
学生：可以设[S=mb n]，将两个点的坐标[（b，S）]代入，解一个关于[m，n]的二元一次方程组，得到[S=12b-1].
说明：此环节启发学生探究[a=0]的情况下S与[b]之间的关系，为得到一般情况下面积公式设置阶梯，并让学生初步体会解决多变量问题时采用变量逐步控制的方法；另一方面，学生在观察、实验、猜想、计算和验证的过程中，促进数学运算、逻辑推理核心素养的培养.
（随后，教师分别呈现如图7中的三幅图，让学生继续进行探究）
活动二 探究[a]=1时的格点多边形中S与[b]之间的关系.
活动三 探究[a=2]时格点多边形中[S与b]之间的关系.
活动四 探究[a=3]时格点多边形中[S与b]之间的关系.
（三个活动，学生根据活动一积累的经验，不难求出[a=1]时，[S=12b 0]；[a=2]时 ，[S=12b 1]；[a=3]时，[S=12b 2]） 说明：设置[a]=1，2，3的情况下，推导S与[b]的关系，意在先控制变量[a]，把它赋成常数，得出S与[b]的关系；另一方面，学生经过计算、猜想逐步向结论靠近的过程中，体现了数学运算、类比推理等数学素养的发展.
（三）猜想规律 激发学生的创新意识
教师：如果[b=0]，请同学们猜想S与[a]应该是怎样的关系？
学生：[S]是关于[a]为一次函数，图象上体现为一条直线.
教师：那么在一般情况时，请同学们猜想S与[a]，[b]应该是怎样的关系？（引导学生观察表格中的数据和S与[b]的关系式进行思考）
学生：一次函数关系.
教师：同学的回答有道理但不科学，在数学上我们称S与[a]，[b]具有线性关系，所以 [可设S=ma nb c]，请同学们求出[m，n，c]的值.
学生：根据前面的环节可得[c=-1，]由表格中的数据通过解方程组可得[m=1，n=12].
教师： [S=a 12b-1]，这就是著名的皮克公式.（PPT展示皮克定理相关资料）
说明：本环节让学生经历由特殊到一般及由归纳获得的猜想，再结合具体的数据通过解方程组获得结论.在思维的碰撞中提升对归纳猜想、合情推理的本质的认识；在猜想、计算和建模的过程中，促进数学建模、数学运算、逻辑推理的数学核心素养的培养.
（四）验证规律 培养学生的理性精神
教师：至此，我们通过讨论格点多边形内部及边界上的格点数推出了格点多边形的面积公式，这个公式是否具有一般性，你如何验证这个结论？
学生：可以通过画一般的格点多边形来验证.（学生开始尝试画图验证）
这时教师通过几何画板引导学生进行验证，并让学生上台演示.学生拖动格点多边形的一个顶点，使得多边形内部的格点数[a]不变，S随着边界点[b]的个数变化而变化；再控制边界点格点数[b]不变，S随着多边形内部的格点数[a]的变化而变化.当[a=4，5]时，分别验证了[S=a 12b-1]正确.
教师：刚才是一个验证的过程，并不是证明的过程.奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，所以这个公式叫作皮克定理.如果有兴趣，请同学课外可查找皮克定理的证明资料，并和你探索的结果作比较.
说明：本环节让学生明白验证与证明的区别，事实上数学定理要经过严谨的数学证明才行，而要说明结论错误只需举出反例，培养学生养成良好的数学思考习惯和验证猜想的能力及科学理性的精神.
（五）学以致用 内化学生的核心素养
①请同桌合作用两种方法计算图8中多边形的面积.
②请你计算图9中格点△FGH的面积.并求△FGH的边GF上的高.
说明：第①题既是皮克公式的应用，也验证了皮克公式可应用于凹多边形. 第②题是中考原题，若直接求△FGH的边GF上的高会较烦琐.若应用皮克公式，再利用△GFH的面积即可得h=[95][10].习题的设置意在培养学生应用所学知识解决问题，通过问题的解决促进核心素养的内化和根植.
三、思考
（一）合理的素材是培养核心素养的前提
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的.”这说明了教学中合理取材的重要性.那么，怎样的素材才是合理的？笔者以为，首先要看该素材是否在学生认知领域内，适合学生进行数学化的活动， 再者探究活动是否能体现数学核心素养，从而真正地成为研究问题的载体.课题学习一般是选取可以深入探究的问题建立数学模型，通过学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动使问题得以解决，并进行深度挖掘.在本节案例中，以“皮克公式的推导”为核心，在解决多變量问题时采用变量逐步控制的方法进行探究，不仅内容新颖富有挑战性，而且符合学生认知特点，这样的数学素材与活动使得学生有了探究的基础和条件，使学生自然将新的知识内化到已有的认知结构中.
（二）适切的问题是培养核心素养的关键
问题是探究的核心，是培养核心素养的关键.如何科学地设计问题至关重要.笔者以为，首先要使设计的问题适合学生认知水平，能揭示教材和学习活动中的实质矛盾，难易适度，为在教学过程中落实数学核心素养创造基本条件.在本节案例中，问题链的设置从[a=0]时探究格点多边形的S与[b]的关系， 再深入到[a=1，2，3]时，探究格点多边形S与[b]的关系，始终围绕着“皮克定理的推导”展开.根据设计的系列化问题，引导学生通过观察、画图、计算、猜想、验证等手段逐步逼近本质，既解决了问题又在问题解决的过程中促进了学生数学核心素养的培养.
（三）科学的评价是培养核心素养的保障
长期以来，学校、社会过于关注终结性评价，教学成了以“结果制约过程”为特征的教学.在核心素养成为我国基础教育新热点的形势下，从教学目标、教学内容、教学实施到教学评价都应有科学的措施.特别是对核心素养发展水平的评价，不可仅依靠测试学生对知识与技能的掌握程度来体现，要表现出对各种能力和综合品格的重视，如思维能力、创新能力、学习能力、合作能力等.因此，课堂教学中的评价，更多的功能是“改进”和“表现”，不宜过多强调评价的甄别功能，通过过程性的评价来保障学科核心素养的落地.作为学业测试的评价部分，纸笔评价的内容也应聚焦于学生的核心素养，包括关注学生学习能力、钻研精神及学生在学习过程中的科学态度和理性精神等，从评价环节来引导核心素养的培养.[□][◢]