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分类思想是研究数学问题常用的一种思想方法．应用分类的方法，往往能使复杂的问题条理化、简单化、变抽象为具体，可以把一个复杂问题分解成几个相对简单的问题.现就以下几个方面举例探讨．
一、数与式中的分类思想
数与式是初中数学的基本知识，是今后学习的基础．
例1若a3-a=1（a≠0），则a=．
分析：学生易受零指数幂影响，易得出a=3这个错误的答案.根据本题的特征，分析所有可能，可能是a0=1，也可能12=1，还可能（-1）4=1，即（-1）3-（-1）＝1，所以满足条件的值为3，1，-1.
例2一组数据5，7，7，x的中位数与平均数相等，则x的值为．
分析：根据x的大小、位置分类讨论求解．
综上所述，x的值为5或9．
二、三角形中的分类思想
三角形是数学的基本图形，学好三角形对于今后学习四边形，圆等起着关键作用．
例3小强家有一块三角形的菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m，请你帮小强计算这块菜地的面积.（结果保留根号）．
分析：三角形的高可能在三角形内，也可能在三角形外，而根据题意不能确定，故需分类求得．
解：①当三角形的高在三角形内部时，如图1，由题意得，边AB=50，AC=40，高AD=30，
例4△ABC中，∠A=36°，过B点的直线BD将△ABC分成两个等腰三角形，则符合条件但形状不同的△ABC共有（）种．
A.1 B.2C.3 D.4
分析：把△ABC分等腰三角形和一般三角形讨论.
①当∠A为等腰三角形底角时，如图3，∠A=∠ABD=36°，∠CBD=∠CDB=72°，得AD=BD和CD=CB；
②当∠A为等腰三角形顶角时，如图4，∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，得AD=BD和BC=
BD；
③如图5，当∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CBD=
54°，得AD=BD和CD=BD；
④如图6，当∠A=∠ADB=36°，∠C=∠CBD=
18°，得AB=BD和CD=BD.
综上四种情况，故选D.
三、方程中的分类思想
例5关于x的方程ax2+4x-2=0有解，求实数a的取值范围.
分析：①当a=0时，原方程为一元一次方程，4x-2=0有解，此时a=0满足题意；
②当a≠0时，原方程为一元二次方程，16+8a≥0时有解，此时a≥-2且a≠0.
综上所述，实数a的取值范围是a≥-2.
①求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异的实数根；
②若这个方程的两实数根x1，x2满足：
|x1|=|x2|+2，求m的值及相应的x1，x2的值.
分析：对于②，先判断x1，x2的符号，并运用分类讨论思想，可去掉绝对值的符号，降低问题的难度．
解：①较为简单，过程略；
（1）当x1≤0，x2≥0时，-x1=x2+2，∴x1+x2=-2，即m-2=-2，得m=0，代入原方程，易知，x1=-2，x2=0；
四、圆中的分类思想
圆是初中数学的重要内容，圆既是中心对称图形又是轴对称图形，正因为圆的这种特殊性，所以在给定一个条件后，有可能出现多解，故而要分类讨论．
例7若一点P到⊙O的最小距离为a，最大距离为b，求该圆的半径．
分析：本题要结合点与圆的位置关系（点在圆外、圆上、圆内），这里对P点没有条件限制，可得点P可在⊙O外，在⊙O上，在⊙O内，对这三种情况分别讨论.
解：①当点P在⊙O外，这时PA=a，PB=b，
例8在半径为10cm的⊙O中，分别有AB=16cm和CD=12cm，且AB∥CD，求AB与CD的距离．
分析：由于题意中对平行弦没有限制条件，所以应分为平行弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论．
①当平行弦在圆心的异侧时，
∴AB与CD的距离为EF=OF+OE=6+8=14（cm）；
②当平行弦在圆心的同侧时，则AB与CD的距离为EF=OF-OE=8-6=2（cm）.
五、函数中的分类思想
函数是初中数学的重点和难点，历来是中考的热门问题，在中考中占有较大比重．
例9一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为.
分析：这里应分k>0与k<0两种情况分别讨论．
解： ①当k>0时：x=6时，y=-2；x=-3时，y=-5.
在数学知识学习过程中，进行梳理知识体系的同时，适时对分类思想方法归纳总结，就能总揽全局，发展思维的条理性、缜密性、灵活性，提高分析问题和解决问题的能力．
一、数与式中的分类思想
数与式是初中数学的基本知识，是今后学习的基础．
例1若a3-a=1（a≠0），则a=．
分析：学生易受零指数幂影响，易得出a=3这个错误的答案.根据本题的特征，分析所有可能，可能是a0=1，也可能12=1，还可能（-1）4=1，即（-1）3-（-1）＝1，所以满足条件的值为3，1，-1.
例2一组数据5，7，7，x的中位数与平均数相等，则x的值为．
分析：根据x的大小、位置分类讨论求解．
综上所述，x的值为5或9．
二、三角形中的分类思想
三角形是数学的基本图形，学好三角形对于今后学习四边形，圆等起着关键作用．
例3小强家有一块三角形的菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m，请你帮小强计算这块菜地的面积.（结果保留根号）．
分析：三角形的高可能在三角形内，也可能在三角形外，而根据题意不能确定，故需分类求得．
解：①当三角形的高在三角形内部时，如图1，由题意得，边AB=50，AC=40，高AD=30，
例4△ABC中，∠A=36°，过B点的直线BD将△ABC分成两个等腰三角形，则符合条件但形状不同的△ABC共有（）种．
A.1 B.2C.3 D.4
分析：把△ABC分等腰三角形和一般三角形讨论.
①当∠A为等腰三角形底角时，如图3，∠A=∠ABD=36°，∠CBD=∠CDB=72°，得AD=BD和CD=CB；
②当∠A为等腰三角形顶角时，如图4，∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，得AD=BD和BC=
BD；
③如图5，当∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CBD=
54°，得AD=BD和CD=BD；
④如图6，当∠A=∠ADB=36°，∠C=∠CBD=
18°，得AB=BD和CD=BD.
综上四种情况，故选D.
三、方程中的分类思想
例5关于x的方程ax2+4x-2=0有解，求实数a的取值范围.
分析：①当a=0时，原方程为一元一次方程，4x-2=0有解，此时a=0满足题意；
②当a≠0时，原方程为一元二次方程，16+8a≥0时有解，此时a≥-2且a≠0.
综上所述，实数a的取值范围是a≥-2.
①求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异的实数根；
②若这个方程的两实数根x1，x2满足：
|x1|=|x2|+2，求m的值及相应的x1，x2的值.
分析：对于②，先判断x1，x2的符号，并运用分类讨论思想，可去掉绝对值的符号，降低问题的难度．
解：①较为简单，过程略；
（1）当x1≤0，x2≥0时，-x1=x2+2，∴x1+x2=-2，即m-2=-2，得m=0，代入原方程，易知，x1=-2，x2=0；
四、圆中的分类思想
圆是初中数学的重要内容，圆既是中心对称图形又是轴对称图形，正因为圆的这种特殊性，所以在给定一个条件后，有可能出现多解，故而要分类讨论．
例7若一点P到⊙O的最小距离为a，最大距离为b，求该圆的半径．
分析：本题要结合点与圆的位置关系（点在圆外、圆上、圆内），这里对P点没有条件限制，可得点P可在⊙O外，在⊙O上，在⊙O内，对这三种情况分别讨论.
解：①当点P在⊙O外，这时PA=a，PB=b，
例8在半径为10cm的⊙O中，分别有AB=16cm和CD=12cm，且AB∥CD，求AB与CD的距离．
分析：由于题意中对平行弦没有限制条件，所以应分为平行弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论．
①当平行弦在圆心的异侧时，
∴AB与CD的距离为EF=OF+OE=6+8=14（cm）；
②当平行弦在圆心的同侧时，则AB与CD的距离为EF=OF-OE=8-6=2（cm）.
五、函数中的分类思想
函数是初中数学的重点和难点，历来是中考的热门问题，在中考中占有较大比重．
例9一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为.
分析：这里应分k>0与k<0两种情况分别讨论．
解： ①当k>0时：x=6时，y=-2；x=-3时，y=-5.
在数学知识学习过程中，进行梳理知识体系的同时，适时对分类思想方法归纳总结，就能总揽全局，发展思维的条理性、缜密性、灵活性，提高分析问题和解决问题的能力．