双曲线条件的取值范围问题

• 出 处: 今日中学生(初二版)
• 发表日期: 2013年4期

　　初中数学学习中，经常遇到双曲线条件的取值范围问题. 解答它们，除了灵活应用反比例函数的知识外，还要注意灵活应用不等式的知识. 现举例如下：
　　例1 如图，A、B是双曲线y=的一个分支上的两点，且点B（a，b）在点A的左侧，则b的取值范围是 .
　　分析：由点B（a，b）在双曲线y=上，那么b=. 要确定b的取值范围，应先求k的值和确定a的取值范围.
　　解：显见，点A的坐标为（1，2）.
　　因为点A、点B都在双曲线y=上，
　　所以2=，b=.
　　所以k=-2，b=.
　　因为点B（a，b）在点A的左侧，
　　所以a<-1.
　　所以-1<<0，-2<<0.
　　所以b的取值范围是-2　　例2 如图，已知M（2，1）、N（2，6）两点，反比例函数y=与线段MN相交于点Q（2，m），则k的取值范围是（ ）.
　　A. 1≤k≤6 B. 2≤k≤12 C. 4≤k≤24 D. k≤4或k≥24
　　分析：注意到点Q（2，m）在反比例函数y=的图象上，那么k=2m. 要确定k的取值范围，应先确定m的取值范围.
　　解：由M（2，1）、N（2，6）两点的横坐标相同，得MN⊥x轴.
　　因为点Q（2，m）在线段MN上，
　　所以1≤m≤6.
　　因为点Q（2，m）在反比例函数y=的图象上，
　　所以m=，k=2m.
　　所以2≤k≤12，应选B.
　　例3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E. 已知C点的坐标是（6，-1），DE=3.
　　（1）求反比例函数与一次函数的解析式.
　　（2）若一次函数的值大于反比例函数的值， 请确定x的取值范围.
　　分析：（1）根据点C的坐标，可求出反比例函数的解析式；注意到点C、点D都在一次函数y=kx+b的图象上，要求一次函数的解析式，应先确定点D的坐标.（2）要确定使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围，只需看看x取什么值时，一次函数y=kx+b对应的图象高于反比例函数y=对应的图象.
　　解：（1）依题意，在y=中，x=6时，y=-1.
　　所以m=-6.
　　所以反比例函数的解析式为y=-.
　　因为DE⊥x轴于点E，DE=3，
　　所以点D的纵坐标为3.
　　因为点D在反比例函数y=-的图象上，
　　所以点D的横坐标为-2，点D的坐标为（-2，3）.
　　因为点C（6，-1）、点D（-2，3）都在一次函数y=kx+b的图象上，
　　所以6k+b=-1，-2k+b=3.
　　所以k=-，b=2.
　　所以一次函数的解析式为y=-x+2.
　　（2）注意到点D的横坐标为-2，点C的横坐标为6，
　　所以x的取值范围为x<-2，或0　　例4 如图，已知点A（2，6）、B（3，4）在双曲线y=上.
　　（1）求此双曲线对应的函数解析式；
　　（2）若直线y=mx与线段AB相交，求m的取值范围.
　　分析：（1）确定反比例函数的解析式，只需确定反比例函数上一个点的坐标即可.（2）设直线y=mx与线段AB的交点为P（x，y），
　　则m=. 为此，只需确定的取值范围.
　　解：（1）由点A（2，6）是反比例函数y=图象上的一点，得6=.
　　所以k=12.
　　所以此双曲线对应的函数解析式为y=.
　　（2）设直线y=mx与线段AB的交点为P（x，y），则m=.
　　因为点P（x，y）在线段AB上，
　　所以2≤x≤3，4≤y≤6.
　　所以≤≤.
　　所以m的取值范围为≤m≤3.