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统计是高中数学新增的内容，同时也渗透到整个社会的方方面面，因此与统计交汇的数学问题就在这种情况下闪亮登场，笔者发现高考对统计的考查正逐年加强，而且常常在统计内容与其它知识的横向交汇处命题，很好地考查了考生的数学综合能力，形成高考试题改革的一大亮点．本文拟加以说明，旨在帮助大家熟悉最近几年统计解答题的特征，探索解题规律．
一、统计与抽样的交汇
例１ 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42．5%，中年人占47．5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10%．为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定
（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解 （1）设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人老年人各占比例分别为a，b，c则有x·40%+3xb4x=47.5%，x·10%+3xc4x=10%，解得b=50%，c=10%，故a=100%－50%－10%=40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%．
（2）游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40％=60（人）；抽取的中年人数为200×34×50％=75（人）；抽取的老年人数为200×34×10％=15（人）．
评注：本题主要考查统计学中常用的分层抽样法以及运用统计知识解决实际问题的能力．分层抽样时应根据各层个体数所占总体的个体数的抽样比确定各层应抽取的样本容量．
二、统计与古典概型相交汇
例2 （2011年宁夏高考题）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．
（1）求该总体的平均数；
（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．
解 （1）总体平均数为16（5+6+7+8+9+10）=7．5．
（2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0．5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共15个基本结果．
事件包含的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9）共有7个基本结果，所以所求的概率为P（A）=715．
类似地有2011年广东高考题：某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值．求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
解 由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．
（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为
1×10+2×50+3×40100=230100=2.3
（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
P0=C210+C250+C240C2100=4199．
（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知
P（ξ=1）=P（A）+P（B）
=C110C150C2100+C150C140C4100=5099；
P（ξ=2）=P（C）=C110C140C2100=899
ξ的分布列：
评注：本题主要考查统计图表、离散型随机变量的分布列和均值（数学期望）等基础知识，考查运算求解能力和分类讨沦思想．解决这类问题的关键是将ξ的每种情况分解为彼此互斥的情况．
例4 （2009年湖北高考题）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：
（1）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
（2）估计纤度落在［1．38，1．50）中的概率及纤度小于1．40的概率是多少？
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间［1．30，1．34）的中点值是1．32）作为代表．据此，估计纤度的期望．
解 （1）
（2）纤度落在［1．38，1．50）中的概率约为0．30+0．29+0．10=0．69，纤度小于1．40的概率约为0．04+0．25+12×0．30=0．44．
（3）总体数据的期单约为
1．32×0．04+1．36×0．25+1．40×0．30+1．44×0．29+1．48×0．10+1．52×0．02=1．408 8．
四、统计与独立重复试验概型相交汇
例5 （2009年辽宁高考题）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
（1）将各组的频率填人表中；
（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
解 （1）
（2）由（1）可得0．048+0．121+0．208+0．223=0．6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0．6．
（3）由（2）知，1支灯管使用寿命不足１500小时的概率P=0．6，根据在n次独立重复试验中事件恰好发生n次的概率公式可得P3（2）+P3（3）=C23×0.62×0.4+0.63=0.648．
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0．648．
评注：本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力．n次独立重复试验中事件恰好发生n次的概率公式为Pn（k）=Cknpk（1－p）n－k（0 （作者：王永山、余俐，江苏省阜宁中学）
一、统计与抽样的交汇
例１ 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42．5%，中年人占47．5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10%．为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定
（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解 （1）设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人老年人各占比例分别为a，b，c则有x·40%+3xb4x=47.5%，x·10%+3xc4x=10%，解得b=50%，c=10%，故a=100%－50%－10%=40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%．
（2）游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40％=60（人）；抽取的中年人数为200×34×50％=75（人）；抽取的老年人数为200×34×10％=15（人）．
评注：本题主要考查统计学中常用的分层抽样法以及运用统计知识解决实际问题的能力．分层抽样时应根据各层个体数所占总体的个体数的抽样比确定各层应抽取的样本容量．
二、统计与古典概型相交汇
例2 （2011年宁夏高考题）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．
（1）求该总体的平均数；
（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．
解 （1）总体平均数为16（5+6+7+8+9+10）=7．5．
（2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0．5”．
从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共15个基本结果．
事件包含的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9）共有7个基本结果，所以所求的概率为P（A）=715．
类似地有2011年广东高考题：某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值．求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
解 由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．
（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为
1×10+2×50+3×40100=230100=2.3
（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
P0=C210+C250+C240C2100=4199．
（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知
P（ξ=1）=P（A）+P（B）
=C110C150C2100+C150C140C4100=5099；
P（ξ=2）=P（C）=C110C140C2100=899
ξ的分布列：
评注：本题主要考查统计图表、离散型随机变量的分布列和均值（数学期望）等基础知识，考查运算求解能力和分类讨沦思想．解决这类问题的关键是将ξ的每种情况分解为彼此互斥的情况．
例4 （2009年湖北高考题）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：
（1）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
（2）估计纤度落在［1．38，1．50）中的概率及纤度小于1．40的概率是多少？
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间［1．30，1．34）的中点值是1．32）作为代表．据此，估计纤度的期望．
解 （1）
（2）纤度落在［1．38，1．50）中的概率约为0．30+0．29+0．10=0．69，纤度小于1．40的概率约为0．04+0．25+12×0．30=0．44．
（3）总体数据的期单约为
1．32×0．04+1．36×0．25+1．40×0．30+1．44×0．29+1．48×0．10+1．52×0．02=1．408 8．
四、统计与独立重复试验概型相交汇
例5 （2009年辽宁高考题）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
（1）将各组的频率填人表中；
（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
解 （1）
（2）由（1）可得0．048+0．121+0．208+0．223=0．6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0．6．
（3）由（2）知，1支灯管使用寿命不足１500小时的概率P=0．6，根据在n次独立重复试验中事件恰好发生n次的概率公式可得P3（2）+P3（3）=C23×0.62×0.4+0.63=0.648．
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0．648．
评注：本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力．n次独立重复试验中事件恰好发生n次的概率公式为Pn（k）=Cknpk（1－p）n－k（0