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【摘要】在小学数学教学中，教师应当注重启发学生思考，通过恰当的教学内容和方式方法，在“操作——掌握——感悟”的模式下，让小学生初步感悟符号化思想、模型思想、数形结合、集合思想、转化思想、推理思想和函数思想等基本数学思想，以促进学生逐步提高数学能力。
【关键词】小学生 渗透 感悟 数学思想
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0155-02
小学数学由于内容比较简单，知识较为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。教学中，教师要充分挖掘，精心组织，适度地渗透数学思想，以促进学生逐步感悟数学思想。根据“数学思想方法隐含于数学之中”的特点，小学数学教学中数学思想方法的渗透，应遵循下列模式：
“操作——掌握——感悟”
一、感悟符号化思想
符号化思想作为数学最基本的思想之一，数学课程标准把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。在教学中让学生感悟符号化思想，首先要让学生理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练，才有可能利用它们进行正确的运算、推理和解决问题。
符号语言将自然语言扩充与深化，变为一种简明的语言，它的功能超过了普通语言的功能，具有表达与计算两种功能。
案例1
因此，在平时的教学中，我们要努力做到：（1）让学生正确理解与使用数学符号；（2）在渗透符号思想的过程中要多启发、多引导，引起学生的自主建构；（3）掌握日常语言与符号语言间的转化。
二、感悟模型思想
建模的过程就是生活问题数学化的过程。小学数学建模教学，需要从生活原型出发，从生活情境抽象为数学问题，在这个过程中，培养学生解读信息，进行分析、综合、抽象、简化等能力。这就要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题的目的，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。
在教学中，我们可通过“创设情境”、“问题解决”等让学生感悟模型思想。
案例2 教学平均数一课，新课伊始出示两个小组一分钟做题道数
教师提问：哪组获胜，为什么？
这时出示，第一组请假的一位同学后来加入比赛。
师：根据比赛成绩我们判定一组获胜。
此时有学生提出异议：虽然第一组做对的总道数比第二组多，但是两个不同，这样比较不公平。
师：那怎么办呢？
生：可以用平均数进行比较。
师：什么是平均数？
学生根据自己的生活经验进行总结。
本节课平均数这一抽象的知识隐藏在具体的问题情境中，学生在两次评判中解读、整理数据，产生思维冲突，从而推进数学思考的有序进行。学生从具体的问题情境中抽出平均数这一数学问题的过程就是一次建模的过程。
三、感悟数形结合思想
“数形结合”就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。“数形结合”的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从直观图形的特征到发现数量之间存在的联系，以达到化抽象为具体、化隐为显的目的，使问题简单、快捷地得以解决。
如低年级开始学习认数、学习加减法、乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出数，算理等等。此外，他们往往能在图形的操作或观察中学会收集与选择重要的信息；发现图形与数学知识的关系，并乐于用图形来表达数学概念。现在的小学课本中很多习题，已知条件不是用文字的形式给出，而且是蕴藏在图形中，既是学生喜欢接受的形象，也培养了他们的观察能力。
案例3 有一根绳子，第一次用去它的一半，第二次用去了剩下的一半多1米，最后还剩2米。这根绳子原来有多少米？
分析：根据题意，画线段图帮助理解。
从图上可以知道。剩下的一半的长是2+1=3（米），第一次剩下的长度是3+3=6（米）。这根绳子的全长是6×2=12（米）。
实际上，这种求助画线段图的方法在解决和差、和倍、盈亏、找规律等问题中，也是屡见不鲜，在此就不一一举例了。
四、感悟集合思想
我们把具有某种属性的一些对象的全体看成一个集合。运用集合的知识去解决有关的问题，这样的思维观点被称为集合的观点。集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。
案例4 “集合问题”教学片断
1.设问质疑，引发冲突。教师通过同学参加歌咏赛和书法赛的情境提出问题，引发学生探究。黑板上出示8名学生喜欢唱歌、书法的情况。喜欢唱歌的人数：6人；喜欢书法的人数：7人。
2.发现问题：喜欢唱歌的人数+喜欢书法的人数=13人，明明是8人，怎么多了呢？
3.小组合作探究。通过摆、画、移动、整理等过程，实现新知识的自我建构。教师提出：同学们自己试着画图，要让别人既能看出一共有多少人，又能看出他们的爱好？
学生1：（图2-1）
学生2：（图2-2）
学生3： （图2-3）
学生首先发现问题的存在，思维世界出现碰撞，产生了求知的火花，从而主动探索解决问题的方法，领略问题存在的根源——重复部分。之后学生经历了动手操作、交流，逐步概括出“韦恩图”的雏形。学生在理解信息的基础上，提取有价值的信息，对图示集合的意义进一步理解，并在建构中理解集合的本质，经历韦恩图产生的过程。 五、感悟转化思想
转化就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将一个问题转化成为另外一个问题来解决。一般是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。因此，转化既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，转化思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
案例5 “梯形的面积”教学片断
甲组：（图3-1）
乙组：（图3-2）
教师在课上给足学生操作探索的空间，激发起学生的学习热情，在学生只顾急于表达自己想法时，适时引领学生进行理性思考：“上底+下底”表示什么意思？为什么要除以2？直指本节课转化思维的核心，学生利用转化的思想从多个不同角度求出梯形的面积，学生感悟到解决问题的核心就是“转化”。
如果我们在教学中能以具体数学知识为载体，通过精心设计的学习情境与教学过程，引导学生领会蕴涵在其中的转化思想，慢慢地，学生就会自觉不自觉地从联系的观点看问题，用转化的手段去处理问题，这样学生就获得了一种策略，一种思想、一种能力。
六、感悟推理思想
就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，课程标准修改稿指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。……教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求”。
案例6 “长方形的周长”教学片断
教师首先展示两位小朋友赛跑的情境：其中一位沿6×4的长方形跑，另一位沿9×2的长方形跑，后者输了但是不服气。教师问：“谁想说什么？”学生发言：“可以算一算两个长方形的周长。”接着引出了“长方形周长”的概念。然后让学生计算：“说说你们的好办法”。学生先后给出“四边相加”、“长×2+宽×2”、“（长+宽）×2”三种方法。教师又问：“哪种方法比较简单？”
教师板书“长方形的周长=（长+宽）×2”， 引导学生说出它成立的道理，即“长方形的两组对边分别相等”，然后认真推导出该公式，并且说明这三种方法的一致性。
这样的做法，渗透了数学推理的思想、统一的思想和“透过现象看本质”的思想。让学生感悟“一切数学结论都是需要证明的”，虽然这时尚未在教学中出现“证明”一词。
七、感悟函数思想
教师可通过具体实例，借助事物表象，引导学生逐步了解数量之间的内在联系，从而发现两种相关联量的变化规律，悄然无声地渗透了函数思想。教学中让学生通过了解数学知识产生、发展和演变的过程，感受客观事物是运动变化的，渗透函数的数学思想。
案例7 “正比例的意义”教学片断
1.以表格的形式呈现问题。购买钢笔数量和所付钱数如下表：
师：你有什么发现？
生1：我发现，买的钢笔数量越多，付的钱也就越多。
师：对，付的钱数随着钢笔支数的变化而变化。
生2：我发现所花钱数是购买钢笔数量的5倍，这样，一支钢笔的价钱是5元。
师：这位同学在变化中又看到了不变，不变的是什么？
众生：单价。
师：购买钢笔数量和所付钱数的关系除了可以用表格表示，用语言表示，其实还可以用图表示。
说着，老师现场发给每位同学一张印有坐标系的图纸，让学生根据刚才的交流绘制正比例函数图像。
2.继续以表格方式呈现问题。汽车行驶的时间和路程情况如下：
有了前面的基础，学生很快找到了汽车行驶的时间和路程之间的关系，并在坐标系中画出图象。
师：我们接触了几组相关联的量，它们在变化中有什么相同之处？
……
小学数学思想方法除了上面介绍的几种外，还有方程思想、对应思想、统计思想、分类讨论思想等等，在小学数学教学中教师都应注意有目的、有选择和适时地进行渗透，让小学生也感悟数学思想，以促进其逐步提高数学能力。
参考文献：
[1]喻婷婷.引导小学生感悟数学思想[J].思想科技信息.2012（25）：282
[2]吉婷.感悟数学思想 提升思维品质[J].小学教学研究.2012（34）：53～54
【关键词】小学生 渗透 感悟 数学思想
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0155-02
小学数学由于内容比较简单，知识较为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。教学中，教师要充分挖掘，精心组织，适度地渗透数学思想，以促进学生逐步感悟数学思想。根据“数学思想方法隐含于数学之中”的特点，小学数学教学中数学思想方法的渗透，应遵循下列模式：
“操作——掌握——感悟”
一、感悟符号化思想
符号化思想作为数学最基本的思想之一，数学课程标准把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。在教学中让学生感悟符号化思想，首先要让学生理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练，才有可能利用它们进行正确的运算、推理和解决问题。
符号语言将自然语言扩充与深化，变为一种简明的语言，它的功能超过了普通语言的功能，具有表达与计算两种功能。
案例1
因此，在平时的教学中，我们要努力做到：（1）让学生正确理解与使用数学符号；（2）在渗透符号思想的过程中要多启发、多引导，引起学生的自主建构；（3）掌握日常语言与符号语言间的转化。
二、感悟模型思想
建模的过程就是生活问题数学化的过程。小学数学建模教学，需要从生活原型出发，从生活情境抽象为数学问题，在这个过程中，培养学生解读信息，进行分析、综合、抽象、简化等能力。这就要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题的目的，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。
在教学中，我们可通过“创设情境”、“问题解决”等让学生感悟模型思想。
案例2 教学平均数一课，新课伊始出示两个小组一分钟做题道数
教师提问：哪组获胜，为什么？
这时出示，第一组请假的一位同学后来加入比赛。
师：根据比赛成绩我们判定一组获胜。
此时有学生提出异议：虽然第一组做对的总道数比第二组多，但是两个不同，这样比较不公平。
师：那怎么办呢？
生：可以用平均数进行比较。
师：什么是平均数？
学生根据自己的生活经验进行总结。
本节课平均数这一抽象的知识隐藏在具体的问题情境中，学生在两次评判中解读、整理数据，产生思维冲突，从而推进数学思考的有序进行。学生从具体的问题情境中抽出平均数这一数学问题的过程就是一次建模的过程。
三、感悟数形结合思想
“数形结合”就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。“数形结合”的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从直观图形的特征到发现数量之间存在的联系，以达到化抽象为具体、化隐为显的目的，使问题简单、快捷地得以解决。
如低年级开始学习认数、学习加减法、乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出数，算理等等。此外，他们往往能在图形的操作或观察中学会收集与选择重要的信息；发现图形与数学知识的关系，并乐于用图形来表达数学概念。现在的小学课本中很多习题，已知条件不是用文字的形式给出，而且是蕴藏在图形中，既是学生喜欢接受的形象，也培养了他们的观察能力。
案例3 有一根绳子，第一次用去它的一半，第二次用去了剩下的一半多1米，最后还剩2米。这根绳子原来有多少米？
分析：根据题意，画线段图帮助理解。
从图上可以知道。剩下的一半的长是2+1=3（米），第一次剩下的长度是3+3=6（米）。这根绳子的全长是6×2=12（米）。
实际上，这种求助画线段图的方法在解决和差、和倍、盈亏、找规律等问题中，也是屡见不鲜，在此就不一一举例了。
四、感悟集合思想
我们把具有某种属性的一些对象的全体看成一个集合。运用集合的知识去解决有关的问题，这样的思维观点被称为集合的观点。集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。
案例4 “集合问题”教学片断
1.设问质疑，引发冲突。教师通过同学参加歌咏赛和书法赛的情境提出问题，引发学生探究。黑板上出示8名学生喜欢唱歌、书法的情况。喜欢唱歌的人数：6人；喜欢书法的人数：7人。
2.发现问题：喜欢唱歌的人数+喜欢书法的人数=13人，明明是8人，怎么多了呢？
3.小组合作探究。通过摆、画、移动、整理等过程，实现新知识的自我建构。教师提出：同学们自己试着画图，要让别人既能看出一共有多少人，又能看出他们的爱好？
学生1：（图2-1）
学生2：（图2-2）
学生3： （图2-3）
学生首先发现问题的存在，思维世界出现碰撞，产生了求知的火花，从而主动探索解决问题的方法，领略问题存在的根源——重复部分。之后学生经历了动手操作、交流，逐步概括出“韦恩图”的雏形。学生在理解信息的基础上，提取有价值的信息，对图示集合的意义进一步理解，并在建构中理解集合的本质，经历韦恩图产生的过程。 五、感悟转化思想
转化就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将一个问题转化成为另外一个问题来解决。一般是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。因此，转化既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，转化思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
案例5 “梯形的面积”教学片断
甲组：（图3-1）
乙组：（图3-2）
教师在课上给足学生操作探索的空间，激发起学生的学习热情，在学生只顾急于表达自己想法时，适时引领学生进行理性思考：“上底+下底”表示什么意思？为什么要除以2？直指本节课转化思维的核心，学生利用转化的思想从多个不同角度求出梯形的面积，学生感悟到解决问题的核心就是“转化”。
如果我们在教学中能以具体数学知识为载体，通过精心设计的学习情境与教学过程，引导学生领会蕴涵在其中的转化思想，慢慢地，学生就会自觉不自觉地从联系的观点看问题，用转化的手段去处理问题，这样学生就获得了一种策略，一种思想、一种能力。
六、感悟推理思想
就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，课程标准修改稿指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。……教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求”。
案例6 “长方形的周长”教学片断
教师首先展示两位小朋友赛跑的情境：其中一位沿6×4的长方形跑，另一位沿9×2的长方形跑，后者输了但是不服气。教师问：“谁想说什么？”学生发言：“可以算一算两个长方形的周长。”接着引出了“长方形周长”的概念。然后让学生计算：“说说你们的好办法”。学生先后给出“四边相加”、“长×2+宽×2”、“（长+宽）×2”三种方法。教师又问：“哪种方法比较简单？”
教师板书“长方形的周长=（长+宽）×2”， 引导学生说出它成立的道理，即“长方形的两组对边分别相等”，然后认真推导出该公式，并且说明这三种方法的一致性。
这样的做法，渗透了数学推理的思想、统一的思想和“透过现象看本质”的思想。让学生感悟“一切数学结论都是需要证明的”，虽然这时尚未在教学中出现“证明”一词。
七、感悟函数思想
教师可通过具体实例，借助事物表象，引导学生逐步了解数量之间的内在联系，从而发现两种相关联量的变化规律，悄然无声地渗透了函数思想。教学中让学生通过了解数学知识产生、发展和演变的过程，感受客观事物是运动变化的，渗透函数的数学思想。
案例7 “正比例的意义”教学片断
1.以表格的形式呈现问题。购买钢笔数量和所付钱数如下表：
师：你有什么发现？
生1：我发现，买的钢笔数量越多，付的钱也就越多。
师：对，付的钱数随着钢笔支数的变化而变化。
生2：我发现所花钱数是购买钢笔数量的5倍，这样，一支钢笔的价钱是5元。
师：这位同学在变化中又看到了不变，不变的是什么？
众生：单价。
师：购买钢笔数量和所付钱数的关系除了可以用表格表示，用语言表示，其实还可以用图表示。
说着，老师现场发给每位同学一张印有坐标系的图纸，让学生根据刚才的交流绘制正比例函数图像。
2.继续以表格方式呈现问题。汽车行驶的时间和路程情况如下：
有了前面的基础，学生很快找到了汽车行驶的时间和路程之间的关系，并在坐标系中画出图象。
师：我们接触了几组相关联的量，它们在变化中有什么相同之处？
……
小学数学思想方法除了上面介绍的几种外，还有方程思想、对应思想、统计思想、分类讨论思想等等，在小学数学教学中教师都应注意有目的、有选择和适时地进行渗透，让小学生也感悟数学思想，以促进其逐步提高数学能力。
参考文献：
[1]喻婷婷.引导小学生感悟数学思想[J].思想科技信息.2012（25）：282
[2]吉婷.感悟数学思想 提升思维品质[J].小学教学研究.2012（34）：53～54