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不完全归纳法是小学阶段教学运算定律或性质的常用方式，其基本流程一般为：观察现象——提出猜想——举例验证——总结归纳。教学中引导学生探究规律所采用的猜想、验证、归纳等是一些相当重要的数学活动方式，需要学生有经历和体验的过程。对于小学生而言，运算定律或性质是否只能用不完全归纳法这一方式来教学呢？能否通过引导学生追求规律背后的本质内涵呢？笔者在教学人教版教材四年级下册“连除简便计算”一课时，有意改变以往规律教学从“猜想”到“验证”为主线的教学模式，借助几何直观，引导学生从意义理解角度组织学生探索规律的本质内涵。
一、教学设计
1.解决问题引入，初步感知规律。
谈话引入：同学们，数学与生活有着密切联系，应用数学知识可以帮助我们解决生活中的很多问题，我们来看这样一个问题——
呈现材料一：一共有4个小组，每个小组种了2棵树苗。购买树苗共花了48元，平均每棵树苗多少元？
师：你会解决这个问题吗？请试着做一做。
学生独立完成后反馈交流，可能会出现两种情况：
方法一：48÷4÷2=12÷2=6（元）或48÷2÷4=24÷4=6（元）。
方法二：48÷（4×2）=48÷8=6（元）或48÷（2×4）=48÷8=6（元）。
当学生说完两个算式的解题思路后，师小结：同学们真厉害，用两种不同的方法解决了同一个问题。一边用48连续除以两个数，一边用48除以这两个数的积，结果都等于6。因为两个算式结果相等，所以我们就可以用等号把它们连起来。板书：48÷4÷2=48÷（4×2）或48÷2÷4=48÷（2×4）。
呈现材料二：小明爸爸花180元钱买了2盒礼酒，每盒里面有3瓶。问平均每瓶礼酒多少元？
师：把算式列出来（不必计算）。
学生独立列式后，反馈：
一是：180÷2÷3或180÷3÷2。
二是：180÷（2×3）或180÷（3×2）。
质疑引思：同学们列出的两个算式，一个用180连续除以两个数，一个用180除以这两个数的积。两个算式相等吗？为什么？
学生说理（一是从中都能解决同一个问题，二是从结果来判断。）交流后，老师适时板书：180÷2÷3=180÷（2×3）或180÷3÷2=180÷（3×2）。
设计说明：本节内容从教材编写来看是以解决问题为起点的，这与教材的编写体系有关，因为在三年级下册中学生已经学习过连除解决问题，此时用连除的实际问题引出显得较为自然。同时，连除的问题在现实生活中还是比较多，呈现连除的数学问题情境，能为后面解释算理提供一定的背景，便于学生以原有的经验来解释新问题。
2.研究算理展开，深入理解规律。
（1）“从式到图”，初步理解式的意义。
①学生举例。
师：刚才我们从解决问题中发现，一个数连续除以两个数，与用这个数除以这两个数的积是相等的。像这样的式子，在一般的计算中会有吗？请你试着写出一个。
学生尝试写一组算式，反馈两组，并请学生说明为什么相等？其他同桌交流。
②教师引疑。
师：那老师写一组算式，它们相等吗？
教师板书：100÷4÷6与100÷（4×6）。
学生凭有余数除法的经验得到了两个看似不一样的结果，大多数学生会认为不相等。当需要研究两个算式到底相等还是不相等时，学生会碰到困难，于是教师引入图形进行分析。
师：假如老师用一个长方形来表示100，你能表示出100除以4再除以6的过程吗？请你与同桌交流交流。
学生讨论后，全班交流。
请学生说过程，老师用图演示过程。
师：同学们从演示图知道了100÷4÷6的意思，那么100÷（4×6）表示什么呢？
指名回答，老师用图配合演示。
师：现在你觉得这两个算式相等吗？为什么？
指名回答。
小结：两个算式都是把100平均分成24份，求每份是多少？所以是相等的。
回到呈现材料一、二的例子中，请学生想象思考：用图来表示48÷4÷2的过程是怎样的？用图来表示48÷（4×2）这个算式的意思呢？两个算式最终的意义一样吗？
同理让学生同桌合作说说180÷2÷3与180÷（2×3）这两组算式的意义，体会两个算式相等的本质。
（2）总结规律，构建模型。
师：看来这里好像有规律的，你能用一句话来说说这个规律吗？（一个数连续除以两个数，等于用这个数除以这两个数的积。）
师：你能用一个含有字母的式子表示这个规律吗？试试看？
学生自由表述完毕后，教师指名回答，板书：a÷b÷c=a÷（b×c）。
师：这个字母式的左边表示什么？右边表示什么？这里的a可以表示任何数，b可以表示任何数吗？c呢？
设计说明：通过几何直观手段，引导学生从除法“平均分”的意义入手，理解为什么“一个数连续除以两个数，可以除以这两个数乘积”的道理，为学生充分理解“连除性质”找到支点，从而比较自然地沟通知识间的联系。
3.运用规律，深化理解。
（1）智慧闯关第一关：比比谁的眼睛亮。
400÷10÷4，下面哪几个算式与它相等？
①400÷（10×4） ②400÷4÷10 ③400÷（10+4）
④400÷（4×10）
媒体动态呈现各个算式，每题3秒后隐去，请学生记录序号即可。完成后先反馈结果，然后请说明理由。
（2）智慧闯关第二关：比比谁的算法巧。 280÷8÷5 336÷24
学生独立计算后反馈交流。重点交流第二题，将典型的几种方法呈现出来，如336÷6÷4或336÷3÷8等。说明理由后稍作延伸，是否可以变成336÷2÷3÷4呢？
请学生试着说明理由。
……
设计说明：以上两个练习，一是体会连除性质的推广，二是把“连除性质”的应用，安排在“除法运算”背景中，扩大了计算的背景，打破了纯粹的技能训练，把数学意识培养放到了更为重要的位置上。
二、两点思考
1.从意义理解入手，探讨连除性质有其特殊的需要。
作为一节规律探究课的教学，我们首先想到是否可以通过“猜想——验证——归纳”的教学模式进行组织教学。然而经过思考我发现，虽然作为引导学生进行自主学习的一种方式，“猜想——验证”有着其重要的价值，但对于四年级学生来说，本节内容的具体实践却存在着两大障碍：一是在学生举例验证过程中，与加法、减法、乘法等不同的是，由于受所学知识的局限，当出现不能整除时，学生很难作出解释；二是即使学生对a÷b÷c=a÷（b×c）这一规律作出验证并认可，但由于是通过不完全归纳验证得到的，无法推广到对a÷b÷c=a÷c÷b的理解上。因此，我认为“猜想——验证——归纳”作为探究“连除性质”的教学模式并不合适，需要寻找更为合适的学习方式，才能达成相应的目标。
2.借助几何直观，以图形分解来理解算式意义，能够帮助学生充分理解性质的本质内涵。
本节课的教学重点不应只是一种形式上的探究，更多地应把重心落在对“a÷b÷c与a÷（b×c）外在形式不同，但结果为什么会相等”的本质意义的理解上。于是寻找理解规律的支点，帮助学生建构完整的数学认识，在教学中显得尤为重要。经过思考，笔者发现学生对“除法的认识”是深刻理解和把握“连除性质”的支点。“一个数连续除以两个数（或几个数），可以等于一个数除以两个数（或几个数）的乘积”，它的本质是“平均分”。对一个数不管是连续地平均分，还是一次性平均分，只要平均分成的份数相同，结果就不会改变。而在课堂上，通过图形分解的过程充分说明了连除性质的本质意义，从而更好地为学生建构起连除性质的思维表象。这样的一个过程，几何直观的价值也得以充分体现，这正是新课程理念下的课堂教学所追求的。
◇责任编辑：赵关荣◇
一、教学设计
1.解决问题引入，初步感知规律。
谈话引入：同学们，数学与生活有着密切联系，应用数学知识可以帮助我们解决生活中的很多问题，我们来看这样一个问题——
呈现材料一：一共有4个小组，每个小组种了2棵树苗。购买树苗共花了48元，平均每棵树苗多少元？
师：你会解决这个问题吗？请试着做一做。
学生独立完成后反馈交流，可能会出现两种情况：
方法一：48÷4÷2=12÷2=6（元）或48÷2÷4=24÷4=6（元）。
方法二：48÷（4×2）=48÷8=6（元）或48÷（2×4）=48÷8=6（元）。
当学生说完两个算式的解题思路后，师小结：同学们真厉害，用两种不同的方法解决了同一个问题。一边用48连续除以两个数，一边用48除以这两个数的积，结果都等于6。因为两个算式结果相等，所以我们就可以用等号把它们连起来。板书：48÷4÷2=48÷（4×2）或48÷2÷4=48÷（2×4）。
呈现材料二：小明爸爸花180元钱买了2盒礼酒，每盒里面有3瓶。问平均每瓶礼酒多少元？
师：把算式列出来（不必计算）。
学生独立列式后，反馈：
一是：180÷2÷3或180÷3÷2。
二是：180÷（2×3）或180÷（3×2）。
质疑引思：同学们列出的两个算式，一个用180连续除以两个数，一个用180除以这两个数的积。两个算式相等吗？为什么？
学生说理（一是从中都能解决同一个问题，二是从结果来判断。）交流后，老师适时板书：180÷2÷3=180÷（2×3）或180÷3÷2=180÷（3×2）。
设计说明：本节内容从教材编写来看是以解决问题为起点的，这与教材的编写体系有关，因为在三年级下册中学生已经学习过连除解决问题，此时用连除的实际问题引出显得较为自然。同时，连除的问题在现实生活中还是比较多，呈现连除的数学问题情境，能为后面解释算理提供一定的背景，便于学生以原有的经验来解释新问题。
2.研究算理展开，深入理解规律。
（1）“从式到图”，初步理解式的意义。
①学生举例。
师：刚才我们从解决问题中发现，一个数连续除以两个数，与用这个数除以这两个数的积是相等的。像这样的式子，在一般的计算中会有吗？请你试着写出一个。
学生尝试写一组算式，反馈两组，并请学生说明为什么相等？其他同桌交流。
②教师引疑。
师：那老师写一组算式，它们相等吗？
教师板书：100÷4÷6与100÷（4×6）。
学生凭有余数除法的经验得到了两个看似不一样的结果，大多数学生会认为不相等。当需要研究两个算式到底相等还是不相等时，学生会碰到困难，于是教师引入图形进行分析。
师：假如老师用一个长方形来表示100，你能表示出100除以4再除以6的过程吗？请你与同桌交流交流。
学生讨论后，全班交流。
请学生说过程，老师用图演示过程。
师：同学们从演示图知道了100÷4÷6的意思，那么100÷（4×6）表示什么呢？
指名回答，老师用图配合演示。
师：现在你觉得这两个算式相等吗？为什么？
指名回答。
小结：两个算式都是把100平均分成24份，求每份是多少？所以是相等的。
回到呈现材料一、二的例子中，请学生想象思考：用图来表示48÷4÷2的过程是怎样的？用图来表示48÷（4×2）这个算式的意思呢？两个算式最终的意义一样吗？
同理让学生同桌合作说说180÷2÷3与180÷（2×3）这两组算式的意义，体会两个算式相等的本质。
（2）总结规律，构建模型。
师：看来这里好像有规律的，你能用一句话来说说这个规律吗？（一个数连续除以两个数，等于用这个数除以这两个数的积。）
师：你能用一个含有字母的式子表示这个规律吗？试试看？
学生自由表述完毕后，教师指名回答，板书：a÷b÷c=a÷（b×c）。
师：这个字母式的左边表示什么？右边表示什么？这里的a可以表示任何数，b可以表示任何数吗？c呢？
设计说明：通过几何直观手段，引导学生从除法“平均分”的意义入手，理解为什么“一个数连续除以两个数，可以除以这两个数乘积”的道理，为学生充分理解“连除性质”找到支点，从而比较自然地沟通知识间的联系。
3.运用规律，深化理解。
（1）智慧闯关第一关：比比谁的眼睛亮。
400÷10÷4，下面哪几个算式与它相等？
①400÷（10×4） ②400÷4÷10 ③400÷（10+4）
④400÷（4×10）
媒体动态呈现各个算式，每题3秒后隐去，请学生记录序号即可。完成后先反馈结果，然后请说明理由。
（2）智慧闯关第二关：比比谁的算法巧。 280÷8÷5 336÷24
学生独立计算后反馈交流。重点交流第二题，将典型的几种方法呈现出来，如336÷6÷4或336÷3÷8等。说明理由后稍作延伸，是否可以变成336÷2÷3÷4呢？
请学生试着说明理由。
……
设计说明：以上两个练习，一是体会连除性质的推广，二是把“连除性质”的应用，安排在“除法运算”背景中，扩大了计算的背景，打破了纯粹的技能训练，把数学意识培养放到了更为重要的位置上。
二、两点思考
1.从意义理解入手，探讨连除性质有其特殊的需要。
作为一节规律探究课的教学，我们首先想到是否可以通过“猜想——验证——归纳”的教学模式进行组织教学。然而经过思考我发现，虽然作为引导学生进行自主学习的一种方式，“猜想——验证”有着其重要的价值，但对于四年级学生来说，本节内容的具体实践却存在着两大障碍：一是在学生举例验证过程中，与加法、减法、乘法等不同的是，由于受所学知识的局限，当出现不能整除时，学生很难作出解释；二是即使学生对a÷b÷c=a÷（b×c）这一规律作出验证并认可，但由于是通过不完全归纳验证得到的，无法推广到对a÷b÷c=a÷c÷b的理解上。因此，我认为“猜想——验证——归纳”作为探究“连除性质”的教学模式并不合适，需要寻找更为合适的学习方式，才能达成相应的目标。
2.借助几何直观，以图形分解来理解算式意义，能够帮助学生充分理解性质的本质内涵。
本节课的教学重点不应只是一种形式上的探究，更多地应把重心落在对“a÷b÷c与a÷（b×c）外在形式不同，但结果为什么会相等”的本质意义的理解上。于是寻找理解规律的支点，帮助学生建构完整的数学认识，在教学中显得尤为重要。经过思考，笔者发现学生对“除法的认识”是深刻理解和把握“连除性质”的支点。“一个数连续除以两个数（或几个数），可以等于一个数除以两个数（或几个数）的乘积”，它的本质是“平均分”。对一个数不管是连续地平均分，还是一次性平均分，只要平均分成的份数相同，结果就不会改变。而在课堂上，通过图形分解的过程充分说明了连除性质的本质意义，从而更好地为学生建构起连除性质的思维表象。这样的一个过程，几何直观的价值也得以充分体现，这正是新课程理念下的课堂教学所追求的。
◇责任编辑：赵关荣◇