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摘要：指出什么是圆弧相似，剖析两圆弧相似应满足的条件；通过一个具体实例——带电粒子在磁场中运动规律的求解，说明圆弧相似在物理解题中的应用。
关键词：圆弧 相似 带电粒子 匀强磁场 运动轨迹
所有的圆都是相似图形。等圆能够相互重合，是全等形，当然相似；大小不同的两圆，将小圆放大一定倍数之后，可以和大圆变得相同而成为等圆，也相似。但不同的圆弧却未必相似，比如，一段优弧与一段劣弧相比，它们一定不相似，因为若两弧等长，则它们的曲率半径不同，即使一样长，也不会重合，一样长却不能重合的两段圆弧肯定不会相似的；若两弧不等长，将短弧放大一定倍数而与长弧长度相等之后，曲率半径仍不等，所以，它们也不相似。
可以证明，度数相等的两圆弧，不论半径是否相等，都相似。
例1.如图1，圆弧AB和圆弧CD度数相等.求证：圆弧AB∽圆弧CD
证明：如图2，圆弧AB保持不动，平移圆弧CD，使两圆弧所在的圆共面，且圆心重合（不妨设为点O），使过两弧端点A和C的两半径OA、OC共线，因为两圆弧的度数相等，所以，过两圆弧另一端点的两半径OB、OD也共线，设 ，则将扇形OCD扩大到原来的k倍之后（扩大后所得的图形与原图形相似），C与A重合，D与B重合，因此，扩大后的圆弧CD将与圆弧AB重合。故，图2中，圆弧AB∽圆弧CD
我们看圆弧相似的一个应用。
例2.如图3所示，在x>0，y>0的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度方向垂直于平面向里，大小为B，现有一质量为m、电量为q的带正电粒子，从x轴上的某点P沿着与x轴成300角的PQ方向射入磁场。不计重力的影响，求带电粒子在磁场中运动的时间范围。
分析：不考虑重力影响时，受洛伦兹力的作用，由P点进入磁场带正电粒子的运动轨迹，是与PQ切于P点的圆弧，随着粒子速度的改变，粒子运行轨迹圆弧的半径也在改变。由等式 可知，在粒子质量m、电量q及运动粒子所在空间磁感应强度B一定时，粒子运行轨迹圆的半径r与其运行速度v成正比。
图4是同一带电粒子以不同速度由P点进入匀强磁场时的运行轨迹（指第一象限内的实线部分，带电粒子一旦离开第一象限，也就离开了磁场，因不再受力，粒子的运行轨迹也不再是圆弧，而是变成了直线。随着速度的不同，应该能够画出无数个圆弧形轨迹，我们只在图4中画出了有代表性的几个）。
这些圆弧轨迹所在圆的共同特征是，与过点P、与x轴成30°角的直线PQ切于同一点P，所以，这些圆的圆心都在过点P并与PQ垂直的直线PE上，PQ是这些圆的公切线，由于弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，因此，图4中的这些过P点的所有圆，x轴下面的劣弧度数都是60°，所以，x轴上方的优弧，度数均为300°（即 rad）。当带电粒子的速度不是很大时，其运行轨迹是与y轴不相交的圆弧——第一象限横轴上方弧度为 的优弧，所以，它们是一组相似图形。因为相似圆弧的弧长与其半径成正比，而圆弧的半径与粒子的速度成正比，所以，各圆弧弧长与对应的粒子运动速度的比值相同。这就是说，在粒子速度不大，粒子运行轨迹与y轴不相交时，不论粒子的速度大还是小，粒子在磁场中的运行时间 始终相同：
当带电粒子的速度较大时，其运行轨迹与y轴相交（比如图4中的⊙O4、⊙O5、⊙O6），各圆弧在第一象限内的度数随粒子速度的增加而减小，不用说，粒子在磁场中的运行时间也将随粒子运动速度的增加而减小，当粒子的速度趋向于无穷大时（这仅仅从数学的角度考虑，实际上，所有物体的运动速度都有一个极限值3×108m/s，不可能变得无穷大），粒子运行轨迹圆弧的半径也变得无穷大，跟无穷大的轨迹半径相比，粒子的初始位置P与坐标原点O间的距离变得相对很小，可认为是零，如图5，此时，粒子运行轨迹——第一象限内的圆弧，度数趋向于120°（即 rad），所以，粒子在磁场中的运行时间趋向于：
关键词：圆弧 相似 带电粒子 匀强磁场 运动轨迹
所有的圆都是相似图形。等圆能够相互重合，是全等形，当然相似；大小不同的两圆，将小圆放大一定倍数之后，可以和大圆变得相同而成为等圆，也相似。但不同的圆弧却未必相似，比如，一段优弧与一段劣弧相比，它们一定不相似，因为若两弧等长，则它们的曲率半径不同，即使一样长，也不会重合，一样长却不能重合的两段圆弧肯定不会相似的；若两弧不等长，将短弧放大一定倍数而与长弧长度相等之后，曲率半径仍不等，所以，它们也不相似。
可以证明，度数相等的两圆弧，不论半径是否相等，都相似。
例1.如图1，圆弧AB和圆弧CD度数相等.求证：圆弧AB∽圆弧CD
证明：如图2，圆弧AB保持不动，平移圆弧CD，使两圆弧所在的圆共面，且圆心重合（不妨设为点O），使过两弧端点A和C的两半径OA、OC共线，因为两圆弧的度数相等，所以，过两圆弧另一端点的两半径OB、OD也共线，设 ，则将扇形OCD扩大到原来的k倍之后（扩大后所得的图形与原图形相似），C与A重合，D与B重合，因此，扩大后的圆弧CD将与圆弧AB重合。故，图2中，圆弧AB∽圆弧CD
我们看圆弧相似的一个应用。
例2.如图3所示，在x>0，y>0的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度方向垂直于平面向里，大小为B，现有一质量为m、电量为q的带正电粒子，从x轴上的某点P沿着与x轴成300角的PQ方向射入磁场。不计重力的影响，求带电粒子在磁场中运动的时间范围。
分析：不考虑重力影响时，受洛伦兹力的作用，由P点进入磁场带正电粒子的运动轨迹，是与PQ切于P点的圆弧，随着粒子速度的改变，粒子运行轨迹圆弧的半径也在改变。由等式 可知，在粒子质量m、电量q及运动粒子所在空间磁感应强度B一定时，粒子运行轨迹圆的半径r与其运行速度v成正比。
图4是同一带电粒子以不同速度由P点进入匀强磁场时的运行轨迹（指第一象限内的实线部分，带电粒子一旦离开第一象限，也就离开了磁场，因不再受力，粒子的运行轨迹也不再是圆弧，而是变成了直线。随着速度的不同，应该能够画出无数个圆弧形轨迹，我们只在图4中画出了有代表性的几个）。
这些圆弧轨迹所在圆的共同特征是，与过点P、与x轴成30°角的直线PQ切于同一点P，所以，这些圆的圆心都在过点P并与PQ垂直的直线PE上，PQ是这些圆的公切线，由于弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，因此，图4中的这些过P点的所有圆，x轴下面的劣弧度数都是60°，所以，x轴上方的优弧，度数均为300°（即 rad）。当带电粒子的速度不是很大时，其运行轨迹是与y轴不相交的圆弧——第一象限横轴上方弧度为 的优弧，所以，它们是一组相似图形。因为相似圆弧的弧长与其半径成正比，而圆弧的半径与粒子的速度成正比，所以，各圆弧弧长与对应的粒子运动速度的比值相同。这就是说，在粒子速度不大，粒子运行轨迹与y轴不相交时，不论粒子的速度大还是小，粒子在磁场中的运行时间 始终相同：
当带电粒子的速度较大时，其运行轨迹与y轴相交（比如图4中的⊙O4、⊙O5、⊙O6），各圆弧在第一象限内的度数随粒子速度的增加而减小，不用说，粒子在磁场中的运行时间也将随粒子运动速度的增加而减小，当粒子的速度趋向于无穷大时（这仅仅从数学的角度考虑，实际上，所有物体的运动速度都有一个极限值3×108m/s，不可能变得无穷大），粒子运行轨迹圆弧的半径也变得无穷大，跟无穷大的轨迹半径相比，粒子的初始位置P与坐标原点O间的距离变得相对很小，可认为是零，如图5，此时，粒子运行轨迹——第一象限内的圆弧，度数趋向于120°（即 rad），所以，粒子在磁场中的运行时间趋向于：