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摘要： 针对医用呼吸机上应用的无刷直流电机控制器响应速度慢、动态性能差等问题，结合分数阶控制理论和模糊控制理论，提出了模糊自适应分数阶PID控制策略。其中分数阶PID控制旨在提高无刷直流电机系统的控制精度，同时利用模糊控制不依赖被控对象数學模型的优势，实现分数阶PID参数的在线调整。在Matlab/Simulink环境下，建立无刷直流电机控制系统的仿真模型，并进行仿真研究。仿真结果表明模糊自适应分数阶PID控制器响应速度快，能实现参数在线调整，并能有效的提高系统的动静态性能和鲁棒性。
关键词： 模糊自适应控制; 分数阶PID控制; 无刷直流电机
中图分类号： TP273 文献标识码： A
Research on Medical Brushless DC Motor Control Based on
Fuzzy Adaptive Fractional-order PID
CHEN Long， LI Yi-hua
（School of Electrical and Information Engineering， Changsha University of
Science & Technology， Changsha 410114， China）
Abstract： In order to solve these problems such as slow response and poor dynamic performance of BLDCM controller applied in medical ventilator， a strategy of fuzzy adaptive fractional PID control based on fractional order control theory and fuzzy control theory is presented.The fractional-order PID control aims to improve the control accuracy of brushless dc motor system， and realize online adjustment of fractional-order PID parameters by utilizing the advantage of fuzzy control without relying on the mathematical model of the controlled object.In Matlab/Simulink， the model of BLDCM control system was established， and the simulation research was carried out.Simulation results verified that the fuzzy adaptive fractional PID controller has fast response speed， can realize on-line parameter adjustment， and can effectively improve the dynamic and static performance and robustness of the system.
Key words： Fuzzy adaptive control; Fractional-order PID control;BLDCM
1 引言
呼吸机的核心部件是电动机，其特性直接影响呼吸机的整体性能，无刷直流电机（BLDCM）以其寿命长、噪声小、效率高、响应迅速等优良特性成为呼吸机动力输出的首选[1]。同时，电机控制方法的选取也对系统性能产生直接影响，由于BLDCM具有非线性特性，使得采用经典的PID控制难以有效实现高精度的稳态控制，文献[2]采用模糊PID控制实现呼吸机压力控制通气，相比经典PID控制更能有效抑制超调。文献[3]则建立了自适应逆模型控制器，实现呼吸机压力的跟踪控制，其控制性能较PID控制有大幅度提高。另一方面，对于复杂的肺部结构与压缩气体多变的扰动使其控制效果和抗扰能力不太理想，从而导致患者接受治疗时呼吸顺应性差，情况严重甚至会出现生命危险。为了克服传统PID在医用无刷直流电机控制上的局限，结合模糊控制理论和分数阶理论[4-5]，以无刷直流电机作为被控对象，设计了模糊自适应分数阶PID控制器，实现控制系统参数的自适应调整，提高系统的控制精度。
2 无刷直流电机数学模型
在本文的无刷直流电机的数学模型建立过程中，以三相无刷直流电机为被控对象，采用两两导通三相六状态的控制方式，电机定子绕组为Y型连接方式，驱动模块采用三相全桥电路。根据以上所述，简化分析过程并作出以下假设[6]：
（1）电机定子三相完全对称，空间互差120°，绕组参数完全相同;
（2）不考虑电枢反应，不计涡流磁滞损耗，同时也忽略电机铁芯饱和;
（3）气隙磁场均匀分布且为理想方波，忽略齿槽效应，反电动势波形为理想梯形波;
（4）功率开关管和续流二极管均具有理想状态特性。
拟定上述假设条件成立，无刷直流电机相电压平衡状态方程如式（1）所示：
uAuBuC=RA 0 00 RB 00 0 RCiAiBiC+PLA LAB LACLBA LB LBCLCA LCB LCiAiBiC+EAEBEC （1） 式（1）中：uA、uB、uC分别为三相定子绕组相电压（V）;RA、RB、RC分别为三相定子绕组的相电阻（Ω）;iA、iB、iC分别为三相定子绕组相电流（A）;LA、LB、LC分别为三相定子绕组电感（H）;LAB、LAC、LBA、LBC、LCA、LCB分别为三相定子绕组间的互感（H）;EA、EB、EC分别为三相绕组反电势;P为微分算子（d/dt）。
由于电机定子绕组采用Y型连接方式且无中线引出，并由以上假设可得：
LA =LB =LC =L
LAB =LAC =LBA =LBC =LCA =LCB =M
RA =RB =RC =R
iA =iB =iC =0
因此式（1）可整理为式（2），得到电压方程为：
uAuBuC=R 0 00 R 00 0 RiAiBiC+PL-M 0 0 0 L-M 0 0 0 L-M iAiBiC+EAEBEC （2）
根据式（2）可以绘制出无刷直流电机等效电路模型，如图1所示。
从能量传递的角度出发，分析无刷直流电机功率和转矩问题。不考虑电机转子的机械损耗以及杂散损耗，即电磁功率全部转化成电机转子的动能。
因此电磁转矩可表示成如式（3）所示：
Te =（EAiA+EBiB+ECiC）/ Ω （3）
式中Te为电磁转矩，Ω为电机机械角速度。
电机的机械运动方程如式（4）所示：
式中TL为负载转矩，J为转子转动惯量，Bv为黏滞摩擦系数。
3 分数阶PID控制器
3.1 分数阶微积分定义
分数阶的数学表达式如式（5）所示：
式中a和t为表达式的上下限;α为表达式的阶次;Re（α）是α的实数部分。
分数阶微积分有多种定义方式，分别是Caputo、RL（Riemann-Liouville）、GL（Grunwald-Letnikov）。其中，Caputo定義[7]如式（6）所示：
式中，m-1<α RL定义[8]如式（7）所示：
GL微积分采用归纳法来定义[9-10]，其核心思想是寻找n阶导数和n阶积分的相同点。由于其离散特性，在控制系统中应用最为广泛，其定义如式（9）所示：
式中，h为时间步长，[]为取整数。
将分数阶算子经拉普拉斯变换得到式（10）：
L[D α f（t）]=sαF（s） （10）
在连续时间动态系统中的分数阶微分方程如式（11）所示：
因此，分数阶微分方程可以用传递函数的形式表示：
3.2 分数阶PID控制器
分数阶PID（FOPID）控制器是传统PID控制器基于分数阶微积分的扩展。FOPID控制器比传统PID增加了积分阶次和微分阶次两个可调量，从而增大了调节空间以及提高了控制精度。分数阶PID结构框图如图（2）所示。
分数阶PID控制器时域表达式：
经拉普拉斯变换得到分数阶PID控制器的传递函数表达式：
分数阶PID与参数的关系如图3所示。
结合式（14）和图（3）可以知道，当？姿=μ=1时，即为传统的PID控制器，根据？姿和μ的取值不同，可以构成不同形式的控制器。因此，FOPID控制器是将PID控制从点到面的扩展，同时能更加灵活和可靠的调整控制系统的性能。
由于所设计的微积分控制器模块是非线性的，不能直接在仿真软件中求出它的值。因此，采用可以在频域内拟合分数微积分的Oustaloup滤波器来实现分数阶控制器的近似求解[11]。其表达式为：
4 模糊自适应分数阶PID控制器
4.1 模糊自适应分数阶PID控制器结构
由于分数阶PID控制器不能实现参数的自我调整，于是通过引入模糊控制理论建立误差E和误差变化率Ec与分数阶PID控制器参数的关系，根据E、Ec的变化来在线调整Kp、Ki、Kd三个参数，以提高控制效果[12]。根据模糊控制器和分数阶控制器的特点，建立模糊自适应分数阶PID控制器。控制器结构框图如图4所示。
4.2 模糊控制
模糊控制是以模糊集理论、模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的智能控制方法。本文利用MATLAB软件的模糊工具箱设计双输入三输出的模糊控制器结构，将输入变量误差E和误差变化率Ec论域量化为{-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，输出变量Kp，Ki，Kd论域量化为{-3，-2，-1，0，1，2，3}，模糊集均定义为{NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB}，分别对应{负大、负中、负小、零、正小、正中、正大}，隶属度函数类型选择三角形和高斯型函数，输入和输出变量的隶属度函数分别如图5和图6所示。依据控制量的选择原则和规律，并根据实际经验得到参数的模糊控制规则表，如表1所示。
5 仿真实验及结果分析
本文利用MATLAB/Simulink仿真软件，搭建基于模糊自适应分数阶PID控制器的BLDCM系统模型，并进行仿真实验，模型如图7所示。其中，BLDCM电机主要参数设置：R=1Ω、L=0.02H、M=-0.0451H、J=0.004kg·m、B=0.002N·m、P=2、n=3000r/min。 电机空载启动，设给定初始转速为n=3000r/min，同时，为验证分数阶PID控制器的抗负载能力，在t=0.2s时刻，对系统突加5N·m的负载，传统PID、分数阶PID（FOPID）和模糊分数阶PID（FFOPID）转速响应对比如图8所示，系统跟随指标对比如表2所示。
从图8中可以看出，电机启动时，传统PID响应速度要慢于分数阶PID和模糊分数阶PID控制，其中FFOPID响应速度略快于FOPID。通过表2性能指标对比可以看出，模糊分数阶PID控制器较传统PID和分数阶PID控制器的超调量更小，达到稳定转速的时间更短，具有更加优良的系统跟随性能。在t=0.2s时刻加负载后的转矩响应曲线如图9所示。系统抗扰性能指标对比如表3所示。
由表3可以看出，模糊分数阶PID的动态降落较另两类控制器更低，恢复达到稳态转速的时间更快，具有更加良好的抗负载扰动性能。
在呼吸机的实际应用中，周期性的通气对电机有变速运行的要求，若控制器在不同的给定转速指令下，能实现快速跟踪，将会提升呼吸机的整体性能。为了验证模糊自适应分数阶PID控制器在电机变速时的鲁棒性能，设定初始转速不变，在t=0.4s时，将给定转速突降至2000r/min，三类控制器的输出转速曲线如图10所示。在t=0.6s时，又将给定转速突升至3000r/min，三类控制器的输出转速曲线如图11所示。
通过仿真结果可以看出，当系统转速突变时，FFOPID控制器相比于PID和FOPID控制器响应速度快，转速波动小，能快速达到新稳态并继续保持高稳态精度。因此，FFOPID控制器较其它两种控制器在转速突变方面具有更好的鲁棒性。
综上所述，模糊自适应分数阶PID控制器在系统跟随性能、抗负载扰动性能及鲁棒性等方面均优于传统PID控制器和分数阶PID控制器。
6 结束语
针对医用呼吸机上应用的无刷直流电机控制器响应速度慢、抗扰动性能差等缺点，结合分数阶控制理论和模糊控制理论，将模糊自适应分数阶PID控制算法应用BLDCM控制系统中，搭建了基于Matlab的BLDCM控制系统仿真模型并进行仿真实验。仿真结果表明，通过模糊自适应分数阶PID的控制方式，克服了无刷直流电机控制变量多、非线性等缺点，提高了系统的动静态性能和鲁棒性能，具有较强的适应能力，实现了对医用无刷直流电机的有效控制。同时也为呼吸机整体性能的提高奠定基础，一定程度上消除传统呼吸机压力波动大、抗扰能力弱等缺陷，使得呼吸机能持续提供稳定的呼吸气道压力，进一步提高患者在呼吸治疗过程中的順应性及舒适度。
参考文献：
[1]邝 勇. 睡眠呼吸机的关键技术研究[D]. 广东：南方医科大学，2015.
[2]冯小冬，汪家旺，林刘华. 基于模糊PID控制的呼吸机压力控制研究[J]. 北京生物医学工程，2010，29（3）：282-287.
[3]Borrello MA. Adaptive Inverse Model Control of Pressure Based Ventilation[C]. Proceedings of the American Control Conference， Arlington， VA， 2001：1286～1291.
[4]Bao X ， Wang D ， Yang Y . Fuzzy Fractional Order PIλDμController Design Based on Correction Projectile System[J]. International Journal of Control and Automation， 2016， 9（12）：335-346.
[5]Tepljakov， Aleksei. Fractional-order Modeling and Control of Dynamic Systems || Fractional-Order PID Controller Design[J]. 2017.
[6]石江涛，潘 峰，罗方利. 无刷直流电机控制系统的建模仿真分析[J]. 机械工程与自动 化，2014，（5）：17-19.
[7]Monje C A， Chen， YangQuan， Vinagre， Blas M， et al. [Advances in Industrial Control] Fractional-order Systems and Controls[J]. Advances in Industrial Control， 2010.
[8]M V B . Fractional-order Systems and Controls[M]. Springer London， 2010.
[9]Joshi S D ， Talange D B . Integer & fractional order PID Controller for fractional order subsystems of AUV[M]. 2013.
[10]Guo W ， Song Y ， Zhou L. A novel model algorithmic controller with fractional order PID structure[C]. Intelligent Control & Automation. IEEE， 2012.
[11]Dingyü Xue， Chen Y ， Atherton D P . Linear feedback control： analysis and design with MATLAB[M]. Linear Feedback Control： Analysis and Design with MATLAB （Advances in Design and Control）. Society for Industrial and Applied Mathematics， 2008.
[12]温嘉斌，麻宸伟. 无刷直流电机模糊PI控制系统设计[J]. 电机与控制学报，2016，20 （3）：102-108.
收稿日期：2019-04-26
关键词： 模糊自适应控制; 分数阶PID控制; 无刷直流电机
中图分类号： TP273 文献标识码： A
Research on Medical Brushless DC Motor Control Based on
Fuzzy Adaptive Fractional-order PID
CHEN Long， LI Yi-hua
（School of Electrical and Information Engineering， Changsha University of
Science & Technology， Changsha 410114， China）
Abstract： In order to solve these problems such as slow response and poor dynamic performance of BLDCM controller applied in medical ventilator， a strategy of fuzzy adaptive fractional PID control based on fractional order control theory and fuzzy control theory is presented.The fractional-order PID control aims to improve the control accuracy of brushless dc motor system， and realize online adjustment of fractional-order PID parameters by utilizing the advantage of fuzzy control without relying on the mathematical model of the controlled object.In Matlab/Simulink， the model of BLDCM control system was established， and the simulation research was carried out.Simulation results verified that the fuzzy adaptive fractional PID controller has fast response speed， can realize on-line parameter adjustment， and can effectively improve the dynamic and static performance and robustness of the system.
Key words： Fuzzy adaptive control; Fractional-order PID control;BLDCM
1 引言
呼吸机的核心部件是电动机，其特性直接影响呼吸机的整体性能，无刷直流电机（BLDCM）以其寿命长、噪声小、效率高、响应迅速等优良特性成为呼吸机动力输出的首选[1]。同时，电机控制方法的选取也对系统性能产生直接影响，由于BLDCM具有非线性特性，使得采用经典的PID控制难以有效实现高精度的稳态控制，文献[2]采用模糊PID控制实现呼吸机压力控制通气，相比经典PID控制更能有效抑制超调。文献[3]则建立了自适应逆模型控制器，实现呼吸机压力的跟踪控制，其控制性能较PID控制有大幅度提高。另一方面，对于复杂的肺部结构与压缩气体多变的扰动使其控制效果和抗扰能力不太理想，从而导致患者接受治疗时呼吸顺应性差，情况严重甚至会出现生命危险。为了克服传统PID在医用无刷直流电机控制上的局限，结合模糊控制理论和分数阶理论[4-5]，以无刷直流电机作为被控对象，设计了模糊自适应分数阶PID控制器，实现控制系统参数的自适应调整，提高系统的控制精度。
2 无刷直流电机数学模型
在本文的无刷直流电机的数学模型建立过程中，以三相无刷直流电机为被控对象，采用两两导通三相六状态的控制方式，电机定子绕组为Y型连接方式，驱动模块采用三相全桥电路。根据以上所述，简化分析过程并作出以下假设[6]：
（1）电机定子三相完全对称，空间互差120°，绕组参数完全相同;
（2）不考虑电枢反应，不计涡流磁滞损耗，同时也忽略电机铁芯饱和;
（3）气隙磁场均匀分布且为理想方波，忽略齿槽效应，反电动势波形为理想梯形波;
（4）功率开关管和续流二极管均具有理想状态特性。
拟定上述假设条件成立，无刷直流电机相电压平衡状态方程如式（1）所示：
uAuBuC=RA 0 00 RB 00 0 RCiAiBiC+PLA LAB LACLBA LB LBCLCA LCB LCiAiBiC+EAEBEC （1） 式（1）中：uA、uB、uC分别为三相定子绕组相电压（V）;RA、RB、RC分别为三相定子绕组的相电阻（Ω）;iA、iB、iC分别为三相定子绕组相电流（A）;LA、LB、LC分别为三相定子绕组电感（H）;LAB、LAC、LBA、LBC、LCA、LCB分别为三相定子绕组间的互感（H）;EA、EB、EC分别为三相绕组反电势;P为微分算子（d/dt）。
由于电机定子绕组采用Y型连接方式且无中线引出，并由以上假设可得：
LA =LB =LC =L
LAB =LAC =LBA =LBC =LCA =LCB =M
RA =RB =RC =R
iA =iB =iC =0
因此式（1）可整理为式（2），得到电压方程为：
uAuBuC=R 0 00 R 00 0 RiAiBiC+PL-M 0 0 0 L-M 0 0 0 L-M iAiBiC+EAEBEC （2）
根据式（2）可以绘制出无刷直流电机等效电路模型，如图1所示。
从能量传递的角度出发，分析无刷直流电机功率和转矩问题。不考虑电机转子的机械损耗以及杂散损耗，即电磁功率全部转化成电机转子的动能。
因此电磁转矩可表示成如式（3）所示：
Te =（EAiA+EBiB+ECiC）/ Ω （3）
式中Te为电磁转矩，Ω为电机机械角速度。
电机的机械运动方程如式（4）所示：
式中TL为负载转矩，J为转子转动惯量，Bv为黏滞摩擦系数。
3 分数阶PID控制器
3.1 分数阶微积分定义
分数阶的数学表达式如式（5）所示：
式中a和t为表达式的上下限;α为表达式的阶次;Re（α）是α的实数部分。
分数阶微积分有多种定义方式，分别是Caputo、RL（Riemann-Liouville）、GL（Grunwald-Letnikov）。其中，Caputo定義[7]如式（6）所示：
式中，m-1<α
GL微积分采用归纳法来定义[9-10]，其核心思想是寻找n阶导数和n阶积分的相同点。由于其离散特性，在控制系统中应用最为广泛，其定义如式（9）所示：
式中，h为时间步长，[]为取整数。
将分数阶算子经拉普拉斯变换得到式（10）：
L[D α f（t）]=sαF（s） （10）
在连续时间动态系统中的分数阶微分方程如式（11）所示：
因此，分数阶微分方程可以用传递函数的形式表示：
3.2 分数阶PID控制器
分数阶PID（FOPID）控制器是传统PID控制器基于分数阶微积分的扩展。FOPID控制器比传统PID增加了积分阶次和微分阶次两个可调量，从而增大了调节空间以及提高了控制精度。分数阶PID结构框图如图（2）所示。
分数阶PID控制器时域表达式：
经拉普拉斯变换得到分数阶PID控制器的传递函数表达式：
分数阶PID与参数的关系如图3所示。
结合式（14）和图（3）可以知道，当？姿=μ=1时，即为传统的PID控制器，根据？姿和μ的取值不同，可以构成不同形式的控制器。因此，FOPID控制器是将PID控制从点到面的扩展，同时能更加灵活和可靠的调整控制系统的性能。
由于所设计的微积分控制器模块是非线性的，不能直接在仿真软件中求出它的值。因此，采用可以在频域内拟合分数微积分的Oustaloup滤波器来实现分数阶控制器的近似求解[11]。其表达式为：
4 模糊自适应分数阶PID控制器
4.1 模糊自适应分数阶PID控制器结构
由于分数阶PID控制器不能实现参数的自我调整，于是通过引入模糊控制理论建立误差E和误差变化率Ec与分数阶PID控制器参数的关系，根据E、Ec的变化来在线调整Kp、Ki、Kd三个参数，以提高控制效果[12]。根据模糊控制器和分数阶控制器的特点，建立模糊自适应分数阶PID控制器。控制器结构框图如图4所示。
4.2 模糊控制
模糊控制是以模糊集理论、模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的智能控制方法。本文利用MATLAB软件的模糊工具箱设计双输入三输出的模糊控制器结构，将输入变量误差E和误差变化率Ec论域量化为{-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，输出变量Kp，Ki，Kd论域量化为{-3，-2，-1，0，1，2，3}，模糊集均定义为{NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB}，分别对应{负大、负中、负小、零、正小、正中、正大}，隶属度函数类型选择三角形和高斯型函数，输入和输出变量的隶属度函数分别如图5和图6所示。依据控制量的选择原则和规律，并根据实际经验得到参数的模糊控制规则表，如表1所示。
5 仿真实验及结果分析
本文利用MATLAB/Simulink仿真软件，搭建基于模糊自适应分数阶PID控制器的BLDCM系统模型，并进行仿真实验，模型如图7所示。其中，BLDCM电机主要参数设置：R=1Ω、L=0.02H、M=-0.0451H、J=0.004kg·m、B=0.002N·m、P=2、n=3000r/min。 电机空载启动，设给定初始转速为n=3000r/min，同时，为验证分数阶PID控制器的抗负载能力，在t=0.2s时刻，对系统突加5N·m的负载，传统PID、分数阶PID（FOPID）和模糊分数阶PID（FFOPID）转速响应对比如图8所示，系统跟随指标对比如表2所示。
从图8中可以看出，电机启动时，传统PID响应速度要慢于分数阶PID和模糊分数阶PID控制，其中FFOPID响应速度略快于FOPID。通过表2性能指标对比可以看出，模糊分数阶PID控制器较传统PID和分数阶PID控制器的超调量更小，达到稳定转速的时间更短，具有更加优良的系统跟随性能。在t=0.2s时刻加负载后的转矩响应曲线如图9所示。系统抗扰性能指标对比如表3所示。
由表3可以看出，模糊分数阶PID的动态降落较另两类控制器更低，恢复达到稳态转速的时间更快，具有更加良好的抗负载扰动性能。
在呼吸机的实际应用中，周期性的通气对电机有变速运行的要求，若控制器在不同的给定转速指令下，能实现快速跟踪，将会提升呼吸机的整体性能。为了验证模糊自适应分数阶PID控制器在电机变速时的鲁棒性能，设定初始转速不变，在t=0.4s时，将给定转速突降至2000r/min，三类控制器的输出转速曲线如图10所示。在t=0.6s时，又将给定转速突升至3000r/min，三类控制器的输出转速曲线如图11所示。
通过仿真结果可以看出，当系统转速突变时，FFOPID控制器相比于PID和FOPID控制器响应速度快，转速波动小，能快速达到新稳态并继续保持高稳态精度。因此，FFOPID控制器较其它两种控制器在转速突变方面具有更好的鲁棒性。
综上所述，模糊自适应分数阶PID控制器在系统跟随性能、抗负载扰动性能及鲁棒性等方面均优于传统PID控制器和分数阶PID控制器。
6 结束语
针对医用呼吸机上应用的无刷直流电机控制器响应速度慢、抗扰动性能差等缺点，结合分数阶控制理论和模糊控制理论，将模糊自适应分数阶PID控制算法应用BLDCM控制系统中，搭建了基于Matlab的BLDCM控制系统仿真模型并进行仿真实验。仿真结果表明，通过模糊自适应分数阶PID的控制方式，克服了无刷直流电机控制变量多、非线性等缺点，提高了系统的动静态性能和鲁棒性能，具有较强的适应能力，实现了对医用无刷直流电机的有效控制。同时也为呼吸机整体性能的提高奠定基础，一定程度上消除传统呼吸机压力波动大、抗扰能力弱等缺陷，使得呼吸机能持续提供稳定的呼吸气道压力，进一步提高患者在呼吸治疗过程中的順应性及舒适度。
参考文献：
[1]邝 勇. 睡眠呼吸机的关键技术研究[D]. 广东：南方医科大学，2015.
[2]冯小冬，汪家旺，林刘华. 基于模糊PID控制的呼吸机压力控制研究[J]. 北京生物医学工程，2010，29（3）：282-287.
[3]Borrello MA. Adaptive Inverse Model Control of Pressure Based Ventilation[C]. Proceedings of the American Control Conference， Arlington， VA， 2001：1286～1291.
[4]Bao X ， Wang D ， Yang Y . Fuzzy Fractional Order PIλDμController Design Based on Correction Projectile System[J]. International Journal of Control and Automation， 2016， 9（12）：335-346.
[5]Tepljakov， Aleksei. Fractional-order Modeling and Control of Dynamic Systems || Fractional-Order PID Controller Design[J]. 2017.
[6]石江涛，潘 峰，罗方利. 无刷直流电机控制系统的建模仿真分析[J]. 机械工程与自动 化，2014，（5）：17-19.
[7]Monje C A， Chen， YangQuan， Vinagre， Blas M， et al. [Advances in Industrial Control] Fractional-order Systems and Controls[J]. Advances in Industrial Control， 2010.
[8]M V B . Fractional-order Systems and Controls[M]. Springer London， 2010.
[9]Joshi S D ， Talange D B . Integer & fractional order PID Controller for fractional order subsystems of AUV[M]. 2013.
[10]Guo W ， Song Y ， Zhou L. A novel model algorithmic controller with fractional order PID structure[C]. Intelligent Control & Automation. IEEE， 2012.
[11]Dingyü Xue， Chen Y ， Atherton D P . Linear feedback control： analysis and design with MATLAB[M]. Linear Feedback Control： Analysis and Design with MATLAB （Advances in Design and Control）. Society for Industrial and Applied Mathematics， 2008.
[12]温嘉斌，麻宸伟. 无刷直流电机模糊PI控制系统设计[J]. 电机与控制学报，2016，20 （3）：102-108.
收稿日期：2019-04-26