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不可思议的“倍增”
生活中有很多看似普通但是实际上会让我们大吃一惊的结论。比如2001 年，美国女生布兰妮在当地超市找到一卷长1.2 千米而且比较薄的卫生纸，在父母的帮助下花了7 个多小时，完成了“把一张纸折叠12 次”的有趣项目，而这竟成为一项新的吉尼斯世界记录。
如果一张足够大的A4 白纸持续对折，那么在四十多次对折后的厚度就相当于地球到月球的距离，50次对折之后的厚度就能达到一亿千米——这是太阳和地球之间2/3 的距离。这是不是超出你的想象了？
同样，国王用象棋盘奖赏大臣麦粒的故事也是类似的道理：在象棋盘上放置麦粒，第1 个棋格放1粒，此后每一棋格放置的麦粒数是前一棋格的2 倍，国王答应送大臣放满棋盘上所有棋格的麦粒。这是一个等比数列的求和问题。国王知道实情后很快就后悔了，因为这样下去全国的粮食都不够送。这个问题经常被用来说明指数增长的速度会远超大家想象。这就是数学“几何倍增”的威力。在很多情况下我们的第一直觉都会出现错误，但是数学计算能帮助我们认清事实。
在探索世界的过程中，数学多次颠覆人类的世界观。比如，两千多年前古希腊的时代，人们只探索了世界的很小一部分，而地球看上去是无边无际无限大，当时的数学家埃拉托色尼利用两地正午杆子阴影长度变化测算了地球的周长，而这个数值和现在的数据相比，误差只有惊人的2%。 由此我们能看出，数学能帮助我们测量看似不可测的地球，探索我们所无法触及的领域。
數学家罗根在 TED 的演讲提到，数学并不是“加减乘除几何，代数等”枯燥公式的学科，它是我们在观察物质世界时对其中蕴含的模式、关系和逻辑的感知。
宇宙中编织的数学现实
隐藏的数学规律渗透在我们整个物质世界中，有些我们的感官能捕捉，但更多需要通过数学这个放大镜才能观察到它神奇的美感，通过寻找某种联系、结构、规律或者规则来探索超出你理解能力之外的领域，你就能感受数学的魅力。
数学“分形之父”蒙德布罗特在TED 演讲时提出，为更好地描述、解释真实的大自然，我们需要“分形几何”的概念，它又称碎形、残形，意思是一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都是整体缩小后的形状，具有自相似的性质。
伽利略曾说：“自然之法是数学语言写就的，它的代表符号就是三角形、圆圈和其他几何形”，引入分形几何有助于我们了解大自然的复杂性。
如果你眼光实在不够犀利，依然没有找到大自然中明显的分形图，不妨对照下自己的人体，人体其实也是分形的杰作：比如大脑的表面皱纹、肝胆和小肠的结构、泌尿系统、神经元的分布、双螺旋的DNA 结构甚至蛋白质的分子链等，都有明显的分形特征（具有自相似性以及无穷多的层次）。
自然界中的分形几何不仅展示了数学之美，使自然景物的描绘得以实现，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式。
特殊的“语言表达”
如果没有现成的语言，还可以用数学创造一种特殊语言来描述各种模式。数学家戈特弗里德·莱布尼茨在1675 年发明了微积分符号，他创造的这种“语言”描述现在被广泛使用，比如抛物线的场景，就可以用微积分把这个模式表达出来，在真实世界里应用于对炮弹轨道的预测。
关于数学语言表达的另外一个例子是内莫斯盲文数学代码，它使用标准的六点盲文单元格线性编码数学和科学记数法，帮助视力障碍者能够进行触觉阅读，了解这个世界。这些代码是一种紧凑的、人类可读标记语言的示例，世界各地有大量系统都使用这套盲文表达法。
数学表达不仅仅是可以看的，可以触摸的，也可以用来听，比如我们经常在一些谍战影片里看到的特工会用摩尔斯电码发信号，摩尔斯电码是一种时通时断的信号代码，通过不同的排列顺序来表达不同的英文字母、数字和标点符号。
随着现代通信工具的发展，摩尔斯电码几乎成为业余无线爱好者的专利，但是它曾经在百年前发挥过巨大通信沟通作用。我们在日常生活中也能看到蕴含大量信息的数学表达载体，比如条形码、二维码等。我们能看到的只是不同的线条或条块，它们有一定的编码规则排列，用以表达一组信息的图形标识符等，包含个人、商品类别、交易、日期等大量信息。
数学是一种训练人使用不同角度解释事物的学科。随着数字领域的飞速发展，越来越多的问题需要用数学分析来解决，它在诸多领域都能发挥巨大作用，所以学好数学至关重要。