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[摘 要]基于历史视角，反思传统的微积分教材设计和教学对学生学习的影响，在课程知识结构、教学知识内容呈现顺序、形式化与概念本质、直观与严谨等方面进行思考，以期对学生在概念、方法的深入理解和持久保持有积极意义。既要从直观的事例中抽象出一般化（严谨）的数学语言，也要从形式化的表述中提取出所蕴涵的直观信息，促进学生对数学知识的深入理解和持久保持。
[关键词]微积分 教学 数学史
[中图分类号] G427 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）21-0061-02
“大学有棵树，叫高数，很多人都挂在上面”。这是网上的一句调侃，但也道出了某些学生的心声。我们自然要问，是什么原因导致此现象的发生？作为学习共同体的三方：学生、教材和教师，是学生的数学基础、学习方法、学习态度呢？或是教材编写问题？还是教师的教学方式方法等，抑或是上述几个方面的综合所致？要清楚回答这个并非易事。常言道，“历史是教学的指南”，本文尝试从历史的角度展开讨论。
一、知识内容的呈现顺序
（一）历史回顾
随着微积分的创立，它既显现出广泛和惊人的应用性，又极大地促进了数学的繁荣与发展。与此同时，数学逻辑上的混乱与悖论的产生，导致了第二次数学危机的爆发。为了消除危机，几代数学家为此付出长期、艰辛的努力。第一个为补救第二次危机提出真正有见地的意见的是J.达兰贝尔，他在1754年指出：必须用无可指责的可靠的理论来代替当前使用的粗糙的极限理论，但是他本人未能提供这个理论。多产的法国数学家柯西于1821年在此问题上跨出了很大一步，他成功地接受了达兰贝尔的挑战：发展了一种可接受的极限理论（接近于现在初等微积分课本中的极限描述性概念），然后用极限概念定义连续性、微分和定积分，进而解除了数学危机。[1]
（二）从教材中知识内容的呈现顺序反观教材中知识内容的呈现顺序
这里有几个问题需要我们更为深入的思索。
1.教材的编写有其固有的特点。用线性方式呈现知识内容，且要遵循数学知识的逻辑体系，这种叙写方式容易掩盖数学知识结构的本来面目，而解决这一问题的最好方法就是从数学发展历史中寻找答案。历史告诉我们，在数学危机消除的同时，也凸显出微积分核心概念间关系的框架结构：即以极限概念为基础，以此分别独立地定义连续、导数、定积分、收敛，因而，极限概念将贯穿于微积分课程学习的始终。这样的梳理有助于学生从宏观上把握这门学科的核心概念间的相互关系，为后继学习形成正确的认知结构打下伏笔，同时也让学生明白，后继学习就是依照这样的结构方式展开的。
2.极限概念的核心地位。教学内容的顺序与数学历史的发展顺序相反的现象，在数学其他内容的教学中也屡见不鲜。教学中我们应该让学生清楚地知道，作为最后才建立起来的极限概念为什么成为学习本门知识的先导，它在微积分课程中处于什么样的位置等等。
概念抽象前的情境创设是极其重要的，它直接影响着学生学习的目的性及后继学习对概念的深入理解和持久保持。现有的《高等数学》教材通常先学习数列极限概念，导入的情境大多选取古代的典型例子，如我国古代数学家刘徽的割圆术等。[2]而到函数概念学习时，更多地仅从函数数值变化的角度来实施。这样做有其积极的一面，但却掩盖了其在微积分中的核心地位。要改变这种现状，就离不开与历史发展事实的有效整合。
3.不定积分与定积分的教学顺序。教材从导数逆运算即原函数角度（“互逆运算”关系）提出不定积分概念，这是从纯数学研究的角度出发提出新的概念，也无不可。但在教学实践中，我们发现，这样的学习驱动存在如下几个问题：
（3）这样的导入之所以难于让学生信服，在于它掩盖了不定积分概念研究的另一个重要目标指向——服务于定积分的计算。
导致无法回答这一系列问题的根本原因，在于我们颠倒了教学顺序。因此，我们认为，知识呈现的顺序，应当先从定积分概念入手，到学完微积分学基本定理以后可发现，定积分的计算可以划归为不定积分问题的研究。实验表明，这样做自然合理，与历史发展的顺序相吻，符合学生的认知规律，上述难题也可以轻松获得答案。
二、轻形式重实质
（一）极限
几乎所有的《高等数学》教科书均采用“ε—δ”语言（于19世纪末由维尔斯特拉斯提出）定义函数极限概念。这样的量化定义一丝不苟，严丝合缝，但又有多少学生能够从中去理解和把握住概念的本质呢？定义中所包含的多重逻辑层次，往往给学生的学习带来极大的障碍。而极限的描述性概念（柯西定义）更符合学生的认知规律。一方面，只需借助（函）数值的变化和几何直观引入极限概念，学生容易接受；另一方面，这种描述方法并不会对后继学习造成不利影响（数学发展的历史可以佐证），因为我们的教学对象并非纯粹数学专业的学生，他们没有必要完全从公理化的方法中去学习数学，更多地应该汲取数学研究者所获得的数学思想与方法，进而应用于他们所学习研究的范畴。
（二）定积分
教材从区间的分划（无穷多种）、取介点集（无穷多种）、作（黎曼）和、取极限（极其复杂的表达式）等四个环节定义定积分概念，[3]这是数学定义所展现的严谨化、符号化、形式化的典型之一，完全可以说是一种“冰冷的美丽”。学生往往一头雾水，难以理解为什么要这样下定义？它想揭示什么？有什么意义？其实，历史上，牛顿和莱布尼茨的定积分概念远没有如此精确、严谨和抽象，但却能实现其广泛的应用，并促进数学的繁荣与发展。因而，我们应该透过其形式化的表象去把握概念的本质。为此，离不开对具体事例的研究与抽象：例如以曲边梯形面积问题（化曲为直）、质点沿直线变速运动的路程问题（化变速为匀速）、已知的立体体积等大量的直观材料为抓手，深入探究，从一三、依托直观与适度严谨
数学的发展往往遵循这样的路径：先直观，后严谨。所谓大胆猜测，小心求证，微积分的发展历史清楚地表明了这一点。下面的例子会给我们很好的启示。
（一）导数
（二）连续函数性质
微积分的基础，就是连续函数和函数导数。直观上，连续函数可用一条不间断画出的连续曲线来表示。而函数导数的几何意义就是曲线上对应点处切线的斜率。直到19世纪，数学家们还认为，连续函数应在任何一点（除个别点外）都有导数存在。然而，1872年维尔斯特拉斯给出了一个处处连续又处处不可微的函数，这与人们的直观想象完全背离，其历史意义是巨大的。
（三）无限求和
牛顿以直观的方法获得正确的结果，维尔斯特拉斯以严谨的方式否定了直观的判断，格兰迪求和问题显示，从有限到无限远非想象中的可以进行简单的类比。这些典型案例告诉我们，微积分教学需要严谨的逻辑支撑，但历史和学习心理也表明，直观是获得概念和方法的重要手段。数学的深刻和抽象实际上孕育在具体和直观中。英国数学家阿蒂亚爵士说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最朴素的想法，以及最初的一些结果。因而，我们要从直观的事例中抽象出一般化（严谨）的数学语言，也要从形式化的表述中提取出所蕴涵的直观信息，以促进学生对数学知识的深入理解和持久保持。
[ 参 考 文 献 ]
[1][4][5]欧阳绛，赵卫江等译.数学史上的里程碑[M].北京：北京科学技术出版社，1990：346，343，345.
[2][3]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002：23，225-226.
[责任编辑：林志恒]
[关键词]微积分 教学 数学史
[中图分类号] G427 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）21-0061-02
“大学有棵树，叫高数，很多人都挂在上面”。这是网上的一句调侃，但也道出了某些学生的心声。我们自然要问，是什么原因导致此现象的发生？作为学习共同体的三方：学生、教材和教师，是学生的数学基础、学习方法、学习态度呢？或是教材编写问题？还是教师的教学方式方法等，抑或是上述几个方面的综合所致？要清楚回答这个并非易事。常言道，“历史是教学的指南”，本文尝试从历史的角度展开讨论。
一、知识内容的呈现顺序
（一）历史回顾
随着微积分的创立，它既显现出广泛和惊人的应用性，又极大地促进了数学的繁荣与发展。与此同时，数学逻辑上的混乱与悖论的产生，导致了第二次数学危机的爆发。为了消除危机，几代数学家为此付出长期、艰辛的努力。第一个为补救第二次危机提出真正有见地的意见的是J.达兰贝尔，他在1754年指出：必须用无可指责的可靠的理论来代替当前使用的粗糙的极限理论，但是他本人未能提供这个理论。多产的法国数学家柯西于1821年在此问题上跨出了很大一步，他成功地接受了达兰贝尔的挑战：发展了一种可接受的极限理论（接近于现在初等微积分课本中的极限描述性概念），然后用极限概念定义连续性、微分和定积分，进而解除了数学危机。[1]
（二）从教材中知识内容的呈现顺序反观教材中知识内容的呈现顺序
这里有几个问题需要我们更为深入的思索。
1.教材的编写有其固有的特点。用线性方式呈现知识内容，且要遵循数学知识的逻辑体系，这种叙写方式容易掩盖数学知识结构的本来面目，而解决这一问题的最好方法就是从数学发展历史中寻找答案。历史告诉我们，在数学危机消除的同时，也凸显出微积分核心概念间关系的框架结构：即以极限概念为基础，以此分别独立地定义连续、导数、定积分、收敛，因而，极限概念将贯穿于微积分课程学习的始终。这样的梳理有助于学生从宏观上把握这门学科的核心概念间的相互关系，为后继学习形成正确的认知结构打下伏笔，同时也让学生明白，后继学习就是依照这样的结构方式展开的。
2.极限概念的核心地位。教学内容的顺序与数学历史的发展顺序相反的现象，在数学其他内容的教学中也屡见不鲜。教学中我们应该让学生清楚地知道，作为最后才建立起来的极限概念为什么成为学习本门知识的先导，它在微积分课程中处于什么样的位置等等。
概念抽象前的情境创设是极其重要的，它直接影响着学生学习的目的性及后继学习对概念的深入理解和持久保持。现有的《高等数学》教材通常先学习数列极限概念，导入的情境大多选取古代的典型例子，如我国古代数学家刘徽的割圆术等。[2]而到函数概念学习时，更多地仅从函数数值变化的角度来实施。这样做有其积极的一面，但却掩盖了其在微积分中的核心地位。要改变这种现状，就离不开与历史发展事实的有效整合。
3.不定积分与定积分的教学顺序。教材从导数逆运算即原函数角度（“互逆运算”关系）提出不定积分概念，这是从纯数学研究的角度出发提出新的概念，也无不可。但在教学实践中，我们发现，这样的学习驱动存在如下几个问题：
（3）这样的导入之所以难于让学生信服，在于它掩盖了不定积分概念研究的另一个重要目标指向——服务于定积分的计算。
导致无法回答这一系列问题的根本原因，在于我们颠倒了教学顺序。因此，我们认为，知识呈现的顺序，应当先从定积分概念入手，到学完微积分学基本定理以后可发现，定积分的计算可以划归为不定积分问题的研究。实验表明，这样做自然合理，与历史发展的顺序相吻，符合学生的认知规律，上述难题也可以轻松获得答案。
二、轻形式重实质
（一）极限
几乎所有的《高等数学》教科书均采用“ε—δ”语言（于19世纪末由维尔斯特拉斯提出）定义函数极限概念。这样的量化定义一丝不苟，严丝合缝，但又有多少学生能够从中去理解和把握住概念的本质呢？定义中所包含的多重逻辑层次，往往给学生的学习带来极大的障碍。而极限的描述性概念（柯西定义）更符合学生的认知规律。一方面，只需借助（函）数值的变化和几何直观引入极限概念，学生容易接受；另一方面，这种描述方法并不会对后继学习造成不利影响（数学发展的历史可以佐证），因为我们的教学对象并非纯粹数学专业的学生，他们没有必要完全从公理化的方法中去学习数学，更多地应该汲取数学研究者所获得的数学思想与方法，进而应用于他们所学习研究的范畴。
（二）定积分
教材从区间的分划（无穷多种）、取介点集（无穷多种）、作（黎曼）和、取极限（极其复杂的表达式）等四个环节定义定积分概念，[3]这是数学定义所展现的严谨化、符号化、形式化的典型之一，完全可以说是一种“冰冷的美丽”。学生往往一头雾水，难以理解为什么要这样下定义？它想揭示什么？有什么意义？其实，历史上，牛顿和莱布尼茨的定积分概念远没有如此精确、严谨和抽象，但却能实现其广泛的应用，并促进数学的繁荣与发展。因而，我们应该透过其形式化的表象去把握概念的本质。为此，离不开对具体事例的研究与抽象：例如以曲边梯形面积问题（化曲为直）、质点沿直线变速运动的路程问题（化变速为匀速）、已知的立体体积等大量的直观材料为抓手，深入探究，从一三、依托直观与适度严谨
数学的发展往往遵循这样的路径：先直观，后严谨。所谓大胆猜测，小心求证，微积分的发展历史清楚地表明了这一点。下面的例子会给我们很好的启示。
（一）导数
（二）连续函数性质
微积分的基础，就是连续函数和函数导数。直观上，连续函数可用一条不间断画出的连续曲线来表示。而函数导数的几何意义就是曲线上对应点处切线的斜率。直到19世纪，数学家们还认为，连续函数应在任何一点（除个别点外）都有导数存在。然而，1872年维尔斯特拉斯给出了一个处处连续又处处不可微的函数，这与人们的直观想象完全背离，其历史意义是巨大的。
（三）无限求和
牛顿以直观的方法获得正确的结果，维尔斯特拉斯以严谨的方式否定了直观的判断，格兰迪求和问题显示，从有限到无限远非想象中的可以进行简单的类比。这些典型案例告诉我们，微积分教学需要严谨的逻辑支撑，但历史和学习心理也表明，直观是获得概念和方法的重要手段。数学的深刻和抽象实际上孕育在具体和直观中。英国数学家阿蒂亚爵士说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最朴素的想法，以及最初的一些结果。因而，我们要从直观的事例中抽象出一般化（严谨）的数学语言，也要从形式化的表述中提取出所蕴涵的直观信息，以促进学生对数学知识的深入理解和持久保持。
[ 参 考 文 献 ]
[1][4][5]欧阳绛，赵卫江等译.数学史上的里程碑[M].北京：北京科学技术出版社，1990：346，343，345.
[2][3]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002：23，225-226.
[责任编辑：林志恒]