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图1题目：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,AB是圆O的直径，圆O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交圆O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P.
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长.
解析：从考题的三问看，该题的综合性很强.命题者把等腰Rt△ABC与圆O有机地组合在一起，令一直角边AB为圆O的直径，另一直角边AC与圆O相切，斜边BC与圆O相交于点D，过点D作DE⊥AC于点E，连结BE与圆O相交于点F，连结并延长AF与线段DE相交于点P，继而提出三问：第（1）问求证DE是圆O的切线，显然连结DO，证明DE⊥DO即可.从图形看有五条思路：其一平角性质；其二是三角形内角和性质；其三是多边形内角和性质；其四是平行线的性质；其五是全等三角形.第（2）问求tan∠ABE的值，除了直接求值外，还可寻求与∠ABE相等的角解之；第（3）问求线段AP的长.求解思路较广，除直接利用勾股定理、射影定理、还可利用相似三角形、三角形中位线定理、全等三角形性质.下面就分别研究三问的证解方法：
（1）证明DE是圆O的切线
图2证法1：如图2，连结DO，因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠C=∠ABC=45°,因为DE⊥AC,所以∠CDE=45°,因为OB=OD,所以∠ODB=∠ABC=45°,因为∠ODE+∠CDE+∠ODB=180°,所以∠ODE=90°,所以DE⊥DO.
因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线.
证法2：如图2，连结DO.
在△BDE中，∠BDE+∠DEB+∠EBD=180°,
因为∠CDE是△BDE的外角，
所以∠CDE=∠DEB+∠EBD，
因为∠CDE=45°,所以∠DEB+∠EBD=45°,∠ODB=45°,所以∠ODE=180°-∠ODB-(∠DEB+∠EBD)=180°-45°-45°=90°,所以ED⊥DO.
因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线.
证明3：如图2，连结DO.
在四边形AODE中，其内角和为(n-2)×180°.即(4-2)×180°=360°,因为∠OAE=∠AED=∠AOD=90°,所以∠ODE=360°-(∠OAE+∠AED+∠AOD)=360°-(90°+90°+90°)=90°,所以DE⊥DO,
因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线.
证法4：如图2，连结DO，
因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=45°.
因为OB=DO，所以∠ODB=∠ABC=45°,所以∠DOB=90°,
因为DE⊥AC,BA⊥AC,所以DE∥BA,
所以∠ODE=∠DOB=90°,所以DE⊥DO,
因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线.
证法5：如图2，连结DO.
因为DE⊥AC，BA⊥AC，所以DE∥BA，
所以∠EDB+∠ABD=180°，即∠ODE+∠ODB+∠OBD=180°,
由证明4知∠ODB+∠OBD=90°,
所以∠ODE=180°-(∠ODB+∠OBD)=180°-90°=90°,
所以DE⊥DO,因为点D在圆O上，
所以DE是圆O的切线.
证法6：如图2，连接DO，
由证法4知∠DOB=90°,即DO⊥AB,CA⊥AB,
所以DO∥CA,因为BO=OA，所以BD=OC，
又DE∥BA,所以CE=EA，所以OE∥BC,
所以∠EOD=∠ODB,∠EOA=∠OBD,因为OD=OB.
所以∠ODB=∠OBD，所以∠EOD=∠EOA.因为OD=OA.
OE=OE，所以△EOD≌△EOA,所以∠EDO=∠EAO=90°.
所以ED⊥DO,因为点D在圆O上，
所以DE是圆O的切线.
（2）求tan∠ABE的值
解法1：如图2，连结DO，
因为∠BAC=∠DEA=∠ODE=90°,OA=OD,
所以四边形AODE是正方形，所以AE=OA=12AB，
所以tan∠ABE=AEAB=24=12.
解法2：如图2，因为AE是圆O的切线，所以∠PAE=∠EBA,∠PEA=∠EAB,所以Rt△PEA∽Rt△EBA.
所以PEAE=AEAB，所以PE=AE•AEAB=2×24=1,
所以tan∠PAE=PEAE=12,
所以tan∠ABE=PEAE=12.
解法3：如图1，在Rt△BAE中，BE=AB2+AE2=42+22=25,因为EP∥AB,所以△PEF∽△ABF,所以EFBF=EPAB=14，即EFBE=15，所以EF=15BE=255，所以BF=BE-EF=25-255=1052-255=855.在Rt△AFE中，AF=AE2-EF2=22-（255）2=455，在Rt△AFB中，tan∠ABE=tan∠ABF=AFBF=455855=12.
解法4：如图1，在Rt△PFE中，PF=PE2-EF2=12-（255）2=155.
由解法3知EF=255，
在Rt△PFE中，tan∠PEF=PFEF=155255=12,
因为PE∥BO,所以∠PEF=∠ABE.所以tan∠ABE=12.
解法5：如图1，由解法3知EF=255,AF=455,因为AE是圆O的切线，所以∠EAF=∠ABE,所以tan∠EAF=EFAF=255455=12,所以tan∠ABE=12.
(3)求线段AP的长.
解法1：如图1，因为AB是圆O的直径，所以∠AFB=90°,因为∠EAP+∠PAB=90°,∠PAB+∠ABE=90°,所以∠EAP=∠ABE,所以tan∠ABE=tan∠EAP=PEAE=12，因为AE=OA=2,所以PE=1.
在Rt△AEP中，AP=AE2+PE2=22+12=5.
解法2：如图1.在Rt△EAB中，BE2=AB2+AE2，因为AE=2，所以AB=2OA=4,
所以BE=AB2+AE2=42+22=25，因为AC是圆O的切线，
所以∠PAE=∠EBA,∠AEP=∠EAB,所以Rt△PAE∽Rt△EBA,
所以APBE=PBAE.即AP=PE•BEAE=1•252=5.
解法3：如图1，因为PE∥BA.所以△PEF∽△ABF,所以PEAB=PFAF,
因为PE=1,AB=4,所以PFAF=14,所以APAF=54,即AF=45AP.因为EF是Rt△AEP斜边AP上的高，
所以AE2=AF•AP=45AP•AP=45AP2.因为AE=2,所以22=45AP2,所以5=AP2,所以AP=5.
图3解法4：如图3，过点E作EG∥PA交BA的延长线于G.
因为PE∥AG,EG∥PA,所以AG=PE=1，
因为AB是圆O的直径，所以∠AFB=90°,
所以AF⊥BF.所以GE⊥BE.因为EA是Rt△EGB斜边GB上的高.所以GE2=GA•GB,AB=4,所以GE2=1×(GA+AB)=1×5,所以GE=5,所以AP=GE=5.
图4解法5：如图4，过点D作DK∥PA交EA的延长线于K.
因为PA∥DK,EP=PD,所以EA=AK，在Rt△EDK中，DK2=DE2+EK2,因为DE=OA=2,EK=2AE=4,所以DK2=22+42=20,所以OK=25,因为AP是△DEK的中位线.
所以AP=12DK=12×25=5.
解法6：如图5，连结DO交BE于H，连结AH，因为DE⊥AC,BA⊥AC,所以DE∥BA.所以∠DEH=∠OBH,∠DHE=∠OHB,因为EO=AO=OB,所以△OHE≌△OHB,
所以EH=HB，所以AH是Rt△BAE余边BE的中线.
所以AH=12BE，因为BE=
25，所以AH=5.
因为AE=AO=2，PE=HO=1，∠AED=∠AOH=90°,
所以Rt△AEP≌Rt△AOH,AP=AH=5.
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长.
解析：从考题的三问看，该题的综合性很强.命题者把等腰Rt△ABC与圆O有机地组合在一起，令一直角边AB为圆O的直径，另一直角边AC与圆O相切，斜边BC与圆O相交于点D，过点D作DE⊥AC于点E，连结BE与圆O相交于点F，连结并延长AF与线段DE相交于点P，继而提出三问：第（1）问求证DE是圆O的切线，显然连结DO，证明DE⊥DO即可.从图形看有五条思路：其一平角性质；其二是三角形内角和性质；其三是多边形内角和性质；其四是平行线的性质；其五是全等三角形.第（2）问求tan∠ABE的值，除了直接求值外，还可寻求与∠ABE相等的角解之；第（3）问求线段AP的长.求解思路较广，除直接利用勾股定理、射影定理、还可利用相似三角形、三角形中位线定理、全等三角形性质.下面就分别研究三问的证解方法：
（1）证明DE是圆O的切线
图2证法1：如图2，连结DO，因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠C=∠ABC=45°,因为DE⊥AC,所以∠CDE=45°,因为OB=OD,所以∠ODB=∠ABC=45°,因为∠ODE+∠CDE+∠ODB=180°,所以∠ODE=90°,所以DE⊥DO.
因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线.
证法2：如图2，连结DO.
在△BDE中，∠BDE+∠DEB+∠EBD=180°,
因为∠CDE是△BDE的外角，
所以∠CDE=∠DEB+∠EBD，
因为∠CDE=45°,所以∠DEB+∠EBD=45°,∠ODB=45°,所以∠ODE=180°-∠ODB-(∠DEB+∠EBD)=180°-45°-45°=90°,所以ED⊥DO.
因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线.
证明3：如图2，连结DO.
在四边形AODE中，其内角和为(n-2)×180°.即(4-2)×180°=360°,因为∠OAE=∠AED=∠AOD=90°,所以∠ODE=360°-(∠OAE+∠AED+∠AOD)=360°-(90°+90°+90°)=90°,所以DE⊥DO,
因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线.
证法4：如图2，连结DO，
因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=45°.
因为OB=DO，所以∠ODB=∠ABC=45°,所以∠DOB=90°,
因为DE⊥AC,BA⊥AC,所以DE∥BA,
所以∠ODE=∠DOB=90°,所以DE⊥DO,
因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线.
证法5：如图2，连结DO.
因为DE⊥AC，BA⊥AC，所以DE∥BA，
所以∠EDB+∠ABD=180°，即∠ODE+∠ODB+∠OBD=180°,
由证明4知∠ODB+∠OBD=90°,
所以∠ODE=180°-(∠ODB+∠OBD)=180°-90°=90°,
所以DE⊥DO,因为点D在圆O上，
所以DE是圆O的切线.
证法6：如图2，连接DO，
由证法4知∠DOB=90°,即DO⊥AB,CA⊥AB,
所以DO∥CA,因为BO=OA，所以BD=OC，
又DE∥BA,所以CE=EA，所以OE∥BC,
所以∠EOD=∠ODB,∠EOA=∠OBD,因为OD=OB.
所以∠ODB=∠OBD，所以∠EOD=∠EOA.因为OD=OA.
OE=OE，所以△EOD≌△EOA,所以∠EDO=∠EAO=90°.
所以ED⊥DO,因为点D在圆O上，
所以DE是圆O的切线.
（2）求tan∠ABE的值
解法1：如图2，连结DO，
因为∠BAC=∠DEA=∠ODE=90°,OA=OD,
所以四边形AODE是正方形，所以AE=OA=12AB，
所以tan∠ABE=AEAB=24=12.
解法2：如图2，因为AE是圆O的切线，所以∠PAE=∠EBA,∠PEA=∠EAB,所以Rt△PEA∽Rt△EBA.
所以PEAE=AEAB，所以PE=AE•AEAB=2×24=1,
所以tan∠PAE=PEAE=12,
所以tan∠ABE=PEAE=12.
解法3：如图1，在Rt△BAE中，BE=AB2+AE2=42+22=25,因为EP∥AB,所以△PEF∽△ABF,所以EFBF=EPAB=14，即EFBE=15，所以EF=15BE=255，所以BF=BE-EF=25-255=1052-255=855.在Rt△AFE中，AF=AE2-EF2=22-（255）2=455，在Rt△AFB中，tan∠ABE=tan∠ABF=AFBF=455855=12.
解法4：如图1，在Rt△PFE中，PF=PE2-EF2=12-（255）2=155.
由解法3知EF=255，
在Rt△PFE中，tan∠PEF=PFEF=155255=12,
因为PE∥BO,所以∠PEF=∠ABE.所以tan∠ABE=12.
解法5：如图1，由解法3知EF=255,AF=455,因为AE是圆O的切线，所以∠EAF=∠ABE,所以tan∠EAF=EFAF=255455=12,所以tan∠ABE=12.
(3)求线段AP的长.
解法1：如图1，因为AB是圆O的直径，所以∠AFB=90°,因为∠EAP+∠PAB=90°,∠PAB+∠ABE=90°,所以∠EAP=∠ABE,所以tan∠ABE=tan∠EAP=PEAE=12，因为AE=OA=2,所以PE=1.
在Rt△AEP中，AP=AE2+PE2=22+12=5.
解法2：如图1.在Rt△EAB中，BE2=AB2+AE2，因为AE=2，所以AB=2OA=4,
所以BE=AB2+AE2=42+22=25，因为AC是圆O的切线，
所以∠PAE=∠EBA,∠AEP=∠EAB,所以Rt△PAE∽Rt△EBA,
所以APBE=PBAE.即AP=PE•BEAE=1•252=5.
解法3：如图1，因为PE∥BA.所以△PEF∽△ABF,所以PEAB=PFAF,
因为PE=1,AB=4,所以PFAF=14,所以APAF=54,即AF=45AP.因为EF是Rt△AEP斜边AP上的高，
所以AE2=AF•AP=45AP•AP=45AP2.因为AE=2,所以22=45AP2,所以5=AP2,所以AP=5.
图3解法4：如图3，过点E作EG∥PA交BA的延长线于G.
因为PE∥AG,EG∥PA,所以AG=PE=1，
因为AB是圆O的直径，所以∠AFB=90°,
所以AF⊥BF.所以GE⊥BE.因为EA是Rt△EGB斜边GB上的高.所以GE2=GA•GB,AB=4,所以GE2=1×(GA+AB)=1×5,所以GE=5,所以AP=GE=5.
图4解法5：如图4，过点D作DK∥PA交EA的延长线于K.
因为PA∥DK,EP=PD,所以EA=AK，在Rt△EDK中，DK2=DE2+EK2,因为DE=OA=2,EK=2AE=4,所以DK2=22+42=20,所以OK=25,因为AP是△DEK的中位线.
所以AP=12DK=12×25=5.
解法6：如图5，连结DO交BE于H，连结AH，因为DE⊥AC,BA⊥AC,所以DE∥BA.所以∠DEH=∠OBH,∠DHE=∠OHB,因为EO=AO=OB,所以△OHE≌△OHB,
所以EH=HB，所以AH是Rt△BAE余边BE的中线.
所以AH=12BE，因为BE=
25，所以AH=5.
因为AE=AO=2，PE=HO=1，∠AED=∠AOH=90°,
所以Rt△AEP≌Rt△AOH,AP=AH=5.