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［摘要］数学建模是各门科学研究的经常性活动，也是数学与生活实际相联系的桥梁。在数学建模实践中，大多数问题没有现成的答案，没有现成的模式，也没有唯一的方法，主要靠学生充分发挥自己的创造力去解决，这就要求学生必须有较强的创新意识和创新能力。文章指出当前我国数学建模教学存在的问题，讨论了改进数学建模教学的途径和方法。
［关键词］数学建模 教学方法 创新能力 主体
［作者简介］韦程东（1965- ），男，广西上林人，广西师范学院数学与计算机科学系副教授，硕士生导师，主要从事数学模型的教学及研究；钟兴智（1985- ），男，广西玉林人，广西南宁市第二中学数学教师，研究方向为数学模型及其应用；陈志强（1983- ），男，四川中江人，广西师范学院数学与计算机科学系在读硕士，研究方向为概率统计及其应用。（广西南宁530001）
［课题项目］本文系新世纪广西高等教育教学改革工程项目“在高师院校数学专业主干课程中融入数学建模思想的探索与实践”（课题编号：桂教高教［2006］194号）、广西 “十一五”教育科学规划项目“以数学建模为先导培养大学生创新能力”（课题编号：2008C22）的研究成果之一。
［中图分类号］G642［文献标识码］A ［文章编号］1004-3985（2008）32-0131-02
一、问题的提出
数学建模是各门科学研究的经常性活动，也是数学与生活实际相联系的桥梁。在数学建模实践中，大多数问题没有现成的答案，没有现成的模式，也没有唯一的方法，主要靠学生充分发挥自己的创造力去解决，这就要求学生必须有较强的创新意识和创新能力。然而，我国目前在数学建模的教学方法和教学改革研究方面还相对薄弱，教学方法和手段不够创新，教学方式不够灵活，缺少多样性。课堂上老师介绍理论方法、讲解和点评较多，学生报告则相对较少。用这种教学方法进行数学建模教学，数学建模的创造性得不到充分体现，学生的创新思维难以得到开发。因此，在数学建模的教学中，探索培养具有实践能力、创新精神和创新能力的人才培养模式是非常必要的。
二、数学建模教学方法探讨
（一）消除学生对数学建模的恐惧，让学生懂得基本知识也能建立数学模型
学生或多或少地通过各种渠道得知数学建模课程的高深，涉及知识比较多，而且多数为综合运用数学规划、微分方程、概率统计、图论等方面的知识，学生谈到数学建模就产生恐惧心理。针对这种情况，教师引导学生建立模型时，可以从运用简单易懂的方法着手，然后根据实际问题进一步加深对模型的讨论，由浅入深，让学生不至于对数学模型产生恐惧感。例如，老师在引导学生建立传染病模型时，如果一开始就按照实际情况来建立模型，就需要学生同时了解不同类型的传染病传播过程所具有的不同特点，而弄清这些特点需要有相当多的病理知识，因此老师开始时就要从简单的模型开始讲起，把问题简单化，进一步修改模型，再进一步根据实际情况假设，引导学生得到较为符合实际的模型。
（二）完善课程设置，在课堂教学中融入数学建模的思想
数学建模要用到很多的数学思想方法，如层次分析、量纲分析、规划论、排队论、对策论、插值以及计算机的操作和编程等。要学生能够较好地运用数学思想方法和计算机技术解决实际问题，就得开设相关的课程让学生学习。
在开设相关的课程后，要注意在课堂教学中融入数学建模的思想。比如，在“数学实验”的教学中，首先要选择合适的数学软件，如Mathematica，Matlab，Lingo，SPSS等。其次，要从数学建模基础练习开始，以建模的综合练习结束。教师可以在练习中安排建模中常用的方法，如作图、曲线拟合、线性规划求解等作为实验的内容，教会学生运用这些软件处理数值分析、矩阵运算、优化设计及概率统计中的问题等，为学生能够较好地运用数学思想方法和计算机技术解决实际问题打下坚实的基础，
（三）案例教学和互动式教学相结合
数学建模案例教学是以实际问题的建模例子作为教学内容，通过对问题的分析、简化来建立模型的。教学通过模型求解和讨论，向学生展示数学建模的基本过程，引导他们自觉地去学习新的数学知识或把学到的数学知识运用到解决实际问题中去，逐步掌握数学建模的思想方法。
案例的选择主要有如下两种方法：一是选取一些有代表性的问题来分析建立模型的理论方法。例如，在初等模型部分，可以选取录像机计数器的用途、双重玻璃窗的功效等问题；在简单优化模型部分，可以选取消费者的选择问题、冰山运输问题等。通过这些模型的讲解，学生对数学建模的类型有了较深入的了解。二是选取历年全国大学生数学建模竞赛试题来讲解。如2007年的“人口增长预测”“换乘公交车方案”等。这些题目都紧扣当前社会热点，具有很强的实用性和挑战性，虽然问题难度较大，但学生还是会乐意去听的。
案例教学法的优点很多，但在具体教学中教师一定要设法做到与学生沟通、启发和互动。对每个案例都注意对学生创新思维的训练，引导学生认真体会建模方法的独特之处，确定学生的主体地位，提倡学生讨论、争辩、勇于提出自己想法，这实质上就是培养学生互相交流、互相学习、互相妥协的能力。学生之间通过交流看法、提出疑问、解决疑问、相互启发、相互补充、取长补短，共同提高。
（四）在教学中尽量做到一题多解
数学建模中问题的答案常常不是唯一的，老师在分析问题时应尽可能给出多种解法，让学生从不同的角度思考问题，进而发散学生的思维，训练学生的创新思维。如在分析2007年全国大学生数学建模竞赛选乘公交车模型时，可讲如下两种做法：
一是用{S（K）|K=1，2，…，m}表示经过起点的所有路线的集合，{T（L）|L=1，2，…，n}表示经过终点的所有路线的集合，E（K，U）（V=1，2，…，Pi）为路线S（K）上的站点，F（L，V）（V=1，2，…，Pj）为路线T（L）上的站点，R（M）（M=1，2，…，g）为经过E（K，U）的路线的集合，Y（N）（N=1，2，…）为经过F（L，V）的路线的集合，则问题就可以转化成求多个集合的交集的问题了。
二是根据路线li，i =1，2，…，n所经过的站点计算连接矩阵Ai，i=1，2，…，n将路线连接矩阵相加得到公共汽车网络直达矩阵A=■Ai，根据公共汽车网络的直达矩阵A的构造可以直观判断两站点之间是否有直达路线，如果没有就需要换乘，然后可以通过换乘矩阵得到一次换乘可行路线。
通过分析两种解法，学生的思路更开阔，体会到数学建模的灵活性，慢慢地养成多角度分析问题的习惯。
（五）加强课后建模实践训练，巩固和深化课堂教学
学生是学习的主体，学习了数学建模这门与实际密切相关的课程后，就应将所学的知识应用于实践当中。学校利用社团资源及组织学生参加数学建模竞赛则可以充分发挥学生的主体能动性。
第一，组建“数模协会”，创建数模实践基地，开展全校性数学建模活动。协会可以邀请有经验的老师和同学开展建模专题系列讲座、上机辅导、经验交流等活动，通过宣传，使更多人了解数学建模，加入到数学建模学习的行列中。数模实践基地则可以为学生提供相应的操作、试验场所，让学生探索和实践数学建模知识。
第二，组织学生参加全国大学生数学建模竞赛。作为一项全国性的竞赛，竞赛题当然有一定的难度，而且具有较大的探索空间。一次成功的参赛，对参赛成员在发扬团队精神、培养指挥协调能力等方面都是一次很好的锻炼。学校通过开展数学建模活动和数学建模竞赛，培养学生勇于竞争、不怕困难、团结协作、攻克难关的顽强意志，教会他们查阅文献、收集并整理、提取和利用资料的技巧。学生通过撰写科技论文，锻炼了文字语言表达能力，加强了自学能力，为将来的科学研究打下良好的基础。
三、在数学建模活动中促进学生创新能力的形成
（一）数学建模活动激发大学生创新的欲望
很多大学生在学习中追求答案的标准化，力求与教师和同学的做法一致、想法相同，做作业时直接照搬笔记的模式，考试时再照搬到试卷上，不愿重新组织答案。克服学生这种心态的有效办法是激发学生的创新欲望。学生的创新欲望一旦被激发，其创新能力就会得到迅速的提高。克服学生思维定式，提倡一题多解的数学建模教学模式则可以激发学生的创新意识。通过这样的教学模式，学生会自觉地把培养自身的创新能力放在学习的重要位置上，把创新能力当做事关自己终身生存和发展的技能来培养和提高。
（二）数学建模活动是锻炼学生发散思维的环境和空间
在数学建模实践中，要求学生具有创造性思维和创新意识，利用自己已有的知识，选择合适的思路和方法，巧妙而有效地解决问题，从而使自己的创造能力得到提高。成功的数学建模教学可以为学生提供锻炼发散思维的环境和空间，能使学生思维活动得到充分发挥，并逐步认识、应用和发现数学规律，提升学生的创造性思维。
（三）数学建模活动有助于学生各学科知识的相互渗透，增强学生创新意识，提高学生的创新能力
由于大学生知识面窄，学科之间缺乏合理的整合，致使他们思考问题时，其思维方式往往是单一的和直线式的，缺乏灵活性和全面性，这阻碍了学生创新意识与创新能力的形成。在数学建模教学中，通过完善课程设置，加强学生综合运用所学知识解决实际问题，促进了学生各学科知识的相互渗透，增强了学生创新意识，提高了学生的创新能力。学生在数学建模活动中学到大量有用的数学前沿知识，立足于本学科的前沿，逐步确定创新的方向，从攻破小小的问题入手，一步一步实现自己创新的目标。
四、教学效果
我们在日常的教学中注意数学建模教学方法的改进，注重培养学生应用数学的思想方法和计算机科学技术解决实际问题，学生的数学建模能力有明显的提高。近几年来，我们指导学生参加全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛、全国研究生数学建模竞赛均取得优异的成绩，荣获2项全国大学数学建模竞赛全国一等奖，4项全国二等奖，30多项广西赛区一、二、三等奖。我们有些分配到高校的本科毕业生指导学生参加全国大学生数学建模竞赛取得优异的成绩。我们的毕业生走上中小学教学岗位后，注重培养学生的数学应用意识，锻炼学生用数学思想方法去发现问题、分析问题、解决问题的能力，推动了数学的教育教学改革，得到了各级领导的好评。
五、结束语
不同学生对同一个问题有不同的看法，教师的一味灌输会导致学生懒于思考。学生需要一个可以展示自我的平台，将自己的看法、思路与同学分享，并希望能够将想法应用于具体的实践当中。在数学建模教学中，我们应将教学视点从教师转移到学生，关注学生的需要和兴趣，不再把他们看做是消极的被动接受知识的对象，他们是具有创造性潜能和丰富个性的主体。教师想要让学生获得更多的知识，具有创造性地发现和解决问题的能力，就需要为激发学生的创新潜能提供多种选择机会，鼓励学生大胆探索，充分挖掘他们全方位、多角度的思考问题的潜力。学生在数学建模活动中相互讨论，知识的火花在碰撞中产生，创新的欲望不断提升，创新思维能力得到锻炼，创新的意识进一步加强，创新的能力不断提高。
［参考文献］
［1］姜启源，等.数学模型［M］.北京：高等教育出版社，2006.
［2］韦程东.日常教学中培养学生数学建模能力［J］.高教论坛，2003（2）．
［3］韦程东.指导学生参加全国大学生数学建模竞赛的探索与实践［J］.高教论坛，2007（1）.
［关键词］数学建模 教学方法 创新能力 主体
［作者简介］韦程东（1965- ），男，广西上林人，广西师范学院数学与计算机科学系副教授，硕士生导师，主要从事数学模型的教学及研究；钟兴智（1985- ），男，广西玉林人，广西南宁市第二中学数学教师，研究方向为数学模型及其应用；陈志强（1983- ），男，四川中江人，广西师范学院数学与计算机科学系在读硕士，研究方向为概率统计及其应用。（广西南宁530001）
［课题项目］本文系新世纪广西高等教育教学改革工程项目“在高师院校数学专业主干课程中融入数学建模思想的探索与实践”（课题编号：桂教高教［2006］194号）、广西 “十一五”教育科学规划项目“以数学建模为先导培养大学生创新能力”（课题编号：2008C22）的研究成果之一。
［中图分类号］G642［文献标识码］A ［文章编号］1004-3985（2008）32-0131-02
一、问题的提出
数学建模是各门科学研究的经常性活动，也是数学与生活实际相联系的桥梁。在数学建模实践中，大多数问题没有现成的答案，没有现成的模式，也没有唯一的方法，主要靠学生充分发挥自己的创造力去解决，这就要求学生必须有较强的创新意识和创新能力。然而，我国目前在数学建模的教学方法和教学改革研究方面还相对薄弱，教学方法和手段不够创新，教学方式不够灵活，缺少多样性。课堂上老师介绍理论方法、讲解和点评较多，学生报告则相对较少。用这种教学方法进行数学建模教学，数学建模的创造性得不到充分体现，学生的创新思维难以得到开发。因此，在数学建模的教学中，探索培养具有实践能力、创新精神和创新能力的人才培养模式是非常必要的。
二、数学建模教学方法探讨
（一）消除学生对数学建模的恐惧，让学生懂得基本知识也能建立数学模型
学生或多或少地通过各种渠道得知数学建模课程的高深，涉及知识比较多，而且多数为综合运用数学规划、微分方程、概率统计、图论等方面的知识，学生谈到数学建模就产生恐惧心理。针对这种情况，教师引导学生建立模型时，可以从运用简单易懂的方法着手，然后根据实际问题进一步加深对模型的讨论，由浅入深，让学生不至于对数学模型产生恐惧感。例如，老师在引导学生建立传染病模型时，如果一开始就按照实际情况来建立模型，就需要学生同时了解不同类型的传染病传播过程所具有的不同特点，而弄清这些特点需要有相当多的病理知识，因此老师开始时就要从简单的模型开始讲起，把问题简单化，进一步修改模型，再进一步根据实际情况假设，引导学生得到较为符合实际的模型。
（二）完善课程设置，在课堂教学中融入数学建模的思想
数学建模要用到很多的数学思想方法，如层次分析、量纲分析、规划论、排队论、对策论、插值以及计算机的操作和编程等。要学生能够较好地运用数学思想方法和计算机技术解决实际问题，就得开设相关的课程让学生学习。
在开设相关的课程后，要注意在课堂教学中融入数学建模的思想。比如，在“数学实验”的教学中，首先要选择合适的数学软件，如Mathematica，Matlab，Lingo，SPSS等。其次，要从数学建模基础练习开始，以建模的综合练习结束。教师可以在练习中安排建模中常用的方法，如作图、曲线拟合、线性规划求解等作为实验的内容，教会学生运用这些软件处理数值分析、矩阵运算、优化设计及概率统计中的问题等，为学生能够较好地运用数学思想方法和计算机技术解决实际问题打下坚实的基础，
（三）案例教学和互动式教学相结合
数学建模案例教学是以实际问题的建模例子作为教学内容，通过对问题的分析、简化来建立模型的。教学通过模型求解和讨论，向学生展示数学建模的基本过程，引导他们自觉地去学习新的数学知识或把学到的数学知识运用到解决实际问题中去，逐步掌握数学建模的思想方法。
案例的选择主要有如下两种方法：一是选取一些有代表性的问题来分析建立模型的理论方法。例如，在初等模型部分，可以选取录像机计数器的用途、双重玻璃窗的功效等问题；在简单优化模型部分，可以选取消费者的选择问题、冰山运输问题等。通过这些模型的讲解，学生对数学建模的类型有了较深入的了解。二是选取历年全国大学生数学建模竞赛试题来讲解。如2007年的“人口增长预测”“换乘公交车方案”等。这些题目都紧扣当前社会热点，具有很强的实用性和挑战性，虽然问题难度较大，但学生还是会乐意去听的。
案例教学法的优点很多，但在具体教学中教师一定要设法做到与学生沟通、启发和互动。对每个案例都注意对学生创新思维的训练，引导学生认真体会建模方法的独特之处，确定学生的主体地位，提倡学生讨论、争辩、勇于提出自己想法，这实质上就是培养学生互相交流、互相学习、互相妥协的能力。学生之间通过交流看法、提出疑问、解决疑问、相互启发、相互补充、取长补短，共同提高。
（四）在教学中尽量做到一题多解
数学建模中问题的答案常常不是唯一的，老师在分析问题时应尽可能给出多种解法，让学生从不同的角度思考问题，进而发散学生的思维，训练学生的创新思维。如在分析2007年全国大学生数学建模竞赛选乘公交车模型时，可讲如下两种做法：
一是用{S（K）|K=1，2，…，m}表示经过起点的所有路线的集合，{T（L）|L=1，2，…，n}表示经过终点的所有路线的集合，E（K，U）（V=1，2，…，Pi）为路线S（K）上的站点，F（L，V）（V=1，2，…，Pj）为路线T（L）上的站点，R（M）（M=1，2，…，g）为经过E（K，U）的路线的集合，Y（N）（N=1，2，…）为经过F（L，V）的路线的集合，则问题就可以转化成求多个集合的交集的问题了。
二是根据路线li，i =1，2，…，n所经过的站点计算连接矩阵Ai，i=1，2，…，n将路线连接矩阵相加得到公共汽车网络直达矩阵A=■Ai，根据公共汽车网络的直达矩阵A的构造可以直观判断两站点之间是否有直达路线，如果没有就需要换乘，然后可以通过换乘矩阵得到一次换乘可行路线。
通过分析两种解法，学生的思路更开阔，体会到数学建模的灵活性，慢慢地养成多角度分析问题的习惯。
（五）加强课后建模实践训练，巩固和深化课堂教学
学生是学习的主体，学习了数学建模这门与实际密切相关的课程后，就应将所学的知识应用于实践当中。学校利用社团资源及组织学生参加数学建模竞赛则可以充分发挥学生的主体能动性。
第一，组建“数模协会”，创建数模实践基地，开展全校性数学建模活动。协会可以邀请有经验的老师和同学开展建模专题系列讲座、上机辅导、经验交流等活动，通过宣传，使更多人了解数学建模，加入到数学建模学习的行列中。数模实践基地则可以为学生提供相应的操作、试验场所，让学生探索和实践数学建模知识。
第二，组织学生参加全国大学生数学建模竞赛。作为一项全国性的竞赛，竞赛题当然有一定的难度，而且具有较大的探索空间。一次成功的参赛，对参赛成员在发扬团队精神、培养指挥协调能力等方面都是一次很好的锻炼。学校通过开展数学建模活动和数学建模竞赛，培养学生勇于竞争、不怕困难、团结协作、攻克难关的顽强意志，教会他们查阅文献、收集并整理、提取和利用资料的技巧。学生通过撰写科技论文，锻炼了文字语言表达能力，加强了自学能力，为将来的科学研究打下良好的基础。
三、在数学建模活动中促进学生创新能力的形成
（一）数学建模活动激发大学生创新的欲望
很多大学生在学习中追求答案的标准化，力求与教师和同学的做法一致、想法相同，做作业时直接照搬笔记的模式，考试时再照搬到试卷上，不愿重新组织答案。克服学生这种心态的有效办法是激发学生的创新欲望。学生的创新欲望一旦被激发，其创新能力就会得到迅速的提高。克服学生思维定式，提倡一题多解的数学建模教学模式则可以激发学生的创新意识。通过这样的教学模式，学生会自觉地把培养自身的创新能力放在学习的重要位置上，把创新能力当做事关自己终身生存和发展的技能来培养和提高。
（二）数学建模活动是锻炼学生发散思维的环境和空间
在数学建模实践中，要求学生具有创造性思维和创新意识，利用自己已有的知识，选择合适的思路和方法，巧妙而有效地解决问题，从而使自己的创造能力得到提高。成功的数学建模教学可以为学生提供锻炼发散思维的环境和空间，能使学生思维活动得到充分发挥，并逐步认识、应用和发现数学规律，提升学生的创造性思维。
（三）数学建模活动有助于学生各学科知识的相互渗透，增强学生创新意识，提高学生的创新能力
由于大学生知识面窄，学科之间缺乏合理的整合，致使他们思考问题时，其思维方式往往是单一的和直线式的，缺乏灵活性和全面性，这阻碍了学生创新意识与创新能力的形成。在数学建模教学中，通过完善课程设置，加强学生综合运用所学知识解决实际问题，促进了学生各学科知识的相互渗透，增强了学生创新意识，提高了学生的创新能力。学生在数学建模活动中学到大量有用的数学前沿知识，立足于本学科的前沿，逐步确定创新的方向，从攻破小小的问题入手，一步一步实现自己创新的目标。
四、教学效果
我们在日常的教学中注意数学建模教学方法的改进，注重培养学生应用数学的思想方法和计算机科学技术解决实际问题，学生的数学建模能力有明显的提高。近几年来，我们指导学生参加全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛、全国研究生数学建模竞赛均取得优异的成绩，荣获2项全国大学数学建模竞赛全国一等奖，4项全国二等奖，30多项广西赛区一、二、三等奖。我们有些分配到高校的本科毕业生指导学生参加全国大学生数学建模竞赛取得优异的成绩。我们的毕业生走上中小学教学岗位后，注重培养学生的数学应用意识，锻炼学生用数学思想方法去发现问题、分析问题、解决问题的能力，推动了数学的教育教学改革，得到了各级领导的好评。
五、结束语
不同学生对同一个问题有不同的看法，教师的一味灌输会导致学生懒于思考。学生需要一个可以展示自我的平台，将自己的看法、思路与同学分享，并希望能够将想法应用于具体的实践当中。在数学建模教学中，我们应将教学视点从教师转移到学生，关注学生的需要和兴趣，不再把他们看做是消极的被动接受知识的对象，他们是具有创造性潜能和丰富个性的主体。教师想要让学生获得更多的知识，具有创造性地发现和解决问题的能力，就需要为激发学生的创新潜能提供多种选择机会，鼓励学生大胆探索，充分挖掘他们全方位、多角度的思考问题的潜力。学生在数学建模活动中相互讨论，知识的火花在碰撞中产生，创新的欲望不断提升，创新思维能力得到锻炼，创新的意识进一步加强，创新的能力不断提高。
［参考文献］
［1］姜启源，等.数学模型［M］.北京：高等教育出版社，2006.
［2］韦程东.日常教学中培养学生数学建模能力［J］.高教论坛，2003（2）．
［3］韦程东.指导学生参加全国大学生数学建模竞赛的探索与实践［J］.高教论坛，2007（1）.