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【摘 要】一根忽略质量线和重物可构成一个摆。当摆的悬挂点在水平面上做圆周运动的时候，其运动情况与悬点圆周运动的半径、角速度、悬线长度、摆球质量等量有关。文章从受力分析着手对摆的轨迹方程进行推导发现，理想条件下其稳定状态有2种，一是相位滞后为的情况，二是相位相同的情形。这2种情况分别又有从不稳定态到稳定态的“暂态”过程；考虑空气阻力后，与理想条件下相差极小，然后以实验验证此理论结果正确。
【关键词】悬点做匀速圆周运动的摆；滞后的擺；轨道；空气阻尼
【中图分类号】O314 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2016）11-0058-03
钟摆运动的研究是一个经典物理问题，而简单的钟摆是一种在物理和非线性振荡等现象研究中的范例动力学，在这里我们要尝试通过实验描述我们所称的广义扰动摆[1]。
圆锥摆的悬点是轴线上一个固定的点。当以悬线或悬线延长线上的点为参考系时，就相当于一个悬点做匀速圆周运动的摆。那么可见，对于一个悬点做匀速圆周运动的摆而言，在有些情况下摆球会做相比悬点运动半径更小的圆周运动，即相比于悬点具有空间相位上的“滞后性”[2]。本文在忽略摆球自身旋转和悬线内部应力的情况下，探究具有滞后性的临界条件和具有相位滞后特点时的运动情况。
设悬点匀速圆周运动的半径为R1，角速度为ω，悬线长度为l，摆球质量为m，且在本文中只有这4个量是可以被人为改变的。
1 基本原理
1.1 理想条件下的临界条件
定义悬线与水平方向的夹角为θ，摆球在稳定状态下的圆周运动的半径为r，借助圆锥摆的动力学方程，忽略空气阻力的影响时，对于摆球有■=ω2r[3]，如要出现摆球相对悬点相位滞后（如图1右所示）的情况，在r=-R1+？詛cosθ的情况下动力学方程需要有解。易知临界条件为R1、？詛、ω满足f（R1，l，ω）=■-l■+R1■=0。当f（R1，l，ω）≤0时，能量较低的情况出现；当f（R1，l，ω）≥0时，出现无相位滞后的情况。
1.2 理想条件下的轨迹分析
在可以出现空间相位滞后的情形下，由圆锥摆的相关推想可知其稳定状态有2种，一是空间相位滞后为π的情况，二是相位相同的情形。这2种情况分别又有从不稳定态到稳定态的“暂态”过程。
在稳定状态时，以l、R1、r在t=0时刻形成的平面为xOz面建立笛卡尔坐标系，假想的圆锥摆悬点为O点，对于空间相位滞后为π的情况，有
x=（-R1+lcosθ）cosωty=（-R1+lcosθ）sinωtz=■，
而对于相位相同的情形，有
x=（R1+lcosθ）cosωty=（R1+lcosθ）sinωtz=■。
分别计算2种情况的能量可知，当R1、l、ω均相同且满足f（R1，l，ω）<0时，相位滞后π的情况总会比相位相同的情况能量低。
在达到稳定状态之前，有一段持续时间较长的暂态。暂态中，摆球不在稳定状态时的位置，而是以稳定状态时的悬线所在直线为轴，做独立的圆锥摆运动。即，暂态中的摆球相对于稳定状态的摆球又有往复的超前与滞后。如图2所示，设暂态中摆球关于轴线做的圆锥摆半径为r2，悬线与圆锥底面的夹角为θ2，圆锥底面圆心距悬线圆周运动中轴线的距离为r1，圆锥轴线与水平面夹角为θ1，设l、R1、r1、r2以在同一平面内时刻为t=0时刻，该平面为xOz面建立笛卡尔坐标系，那么暂态中x，y的坐标为x平衡y平衡+r2cosω2tsinθ2 r2cosω2t× cosω1t sinω1t-sinω1t cosω1t，导出轨迹方程为
x=r1cosω1t+r2cosω2tsinθ2cosω1t-r2sinω2tsinω1ty=r1sinω1t+r2cosω2tsinθ2sinω1t+r2sinω2tcosω1tz=-■+r2cosω2tcosθ2
对于空间相位滞后为π的情况，其中r1=-R1+lcosθ1，相位同步的情况则有r1=R1+lcosθ1。对于暂态而言，由于空气阻尼的存在，系统能量缓慢降低，最终会达到稳定状态。
为了更贴近实际情况，接下来引入空气阻尼进行研究。
1.3 引入空气阻尼的分析
如图3所示，设摆线上的拉力为T，摆线与竖直方向夹角为θ，摆线在水平方向的投影与摆球圆周运动的半径夹角为φ，摆球圆周运动的半径为r，摆球半径为φ，空气的动力黏滞系数为η。对摆球受力分析可得
Tcosθ=mgTsinθcosφ=mω2rTsinθsinφ=6πφηωr
于是解出tanφ=■，又有■=■和2Rrcos△α=R2+r2-l2sin2θ，进而可以解出相位差：
其中，M=R2l2ω2（m2ω2+36π2φ2η2）。
经计算可知，空气阻尼对△α的影响为忽略空气阻尼时的10-3倍，所以理想情况已经很贴近实际情况。
2 实验过程及数据分析
实验装置如图4所示，包括ZYTD555型电机、HY1711-2S电源、摆球、悬线、支架、摆臂。
实验步骤如下。
（1）组装实验装置，并且在电机转轴正上方和装置正前方各放置1台摄像机。
（2）等间距改变待验证的变量，并用2台摄像机同步摄录实验现象。
（3）重复（2）的过程，利用Tracker软件分析录像中的暂态和稳定状态时的参数或轨迹。
2.1 对临界条件的验证
由于人为改变量只有4个，且根据理想条件下的结果，质量不影响运动，因此只需要选取其中2个分别实验便可验证临界条件式。
悬点圆周运动的半径为9.7 cm，角速度为2πs-1时，不同悬线长度是否会形成空间相位滞后见表1。理论临界摆长为47.19 cm，与实验符合。 悬点圆周运动的半径为9.7 cm，悬线长为55 cm时，不同转速下是否会形成空间相位滞后见表2。理论临界转速为1.783πs-1，与实验符合。
将以上2组实验的无关变量改变，重复多次，均能得到相同结论。
2.2 对轨迹的验证
为了验证轨迹方程和实际情况的一致性，以如下案例为例，阐述验证轨迹的过程。
悬点圆周运动的半径为9.31 cm，悬线长为94.50 cm，角速度为10.47s-1时，以摆球旋转中心（230，120）为坐标，利用Tracker软件追踪重物可得图线（如图5所示）。
此次实验与理论的吻合度为94.7%，在每个变量独立变化均重复10组实验后，所有实验与轨迹方程的吻合度均在87%以上。
3 结论
滞后摆模型的研究与学习体现了牛顿力学的经典性，由于实验室研究条件的限制，本文讨论了同相位与空间相位滞后为π的2种情况。实验先从理想状态的理论推导出发，得出小球的理想运动经历了从非穩定态至稳定态的转变，随后引入空气阻尼因素，以此进一步贴近实际情况小球的运动。
对小球运动方程的实验验证设立了摆线长度、转速、小球质量3个参数，讨论了空间相位滞后为π的滞后摆模型。通过控制变量法多次改变变量数值，均能得到与理论方程相符合的数值。最后绘制小球运动轨迹曲线，实验曲线与理论曲线吻合度极高，确认小球滞后摆运动方程理论推导的正确性。
参 考 文 献
[1]JL Trueba，JP Baltanás，MAF Sanjuán.A genera-lized perturbed pendulum[J].Chaos，Solitons &Fractals，2003，15（5）：911-924.
[2]iypt.urfu.ru.Problems for the 29th IYPT 2016[DB/OL].http：//iypt.urfu.ru/en/about/problems，2016-03-20.
[3]wikipedia.Conical_pendulum[DB/OL].https：//en.wi-kipedia.org/wiki/Conical_pendulum，2016-04-18.
[责任编辑：陈泽琦]
【关键词】悬点做匀速圆周运动的摆；滞后的擺；轨道；空气阻尼
【中图分类号】O314 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2016）11-0058-03
钟摆运动的研究是一个经典物理问题，而简单的钟摆是一种在物理和非线性振荡等现象研究中的范例动力学，在这里我们要尝试通过实验描述我们所称的广义扰动摆[1]。
圆锥摆的悬点是轴线上一个固定的点。当以悬线或悬线延长线上的点为参考系时，就相当于一个悬点做匀速圆周运动的摆。那么可见，对于一个悬点做匀速圆周运动的摆而言，在有些情况下摆球会做相比悬点运动半径更小的圆周运动，即相比于悬点具有空间相位上的“滞后性”[2]。本文在忽略摆球自身旋转和悬线内部应力的情况下，探究具有滞后性的临界条件和具有相位滞后特点时的运动情况。
设悬点匀速圆周运动的半径为R1，角速度为ω，悬线长度为l，摆球质量为m，且在本文中只有这4个量是可以被人为改变的。
1 基本原理
1.1 理想条件下的临界条件
定义悬线与水平方向的夹角为θ，摆球在稳定状态下的圆周运动的半径为r，借助圆锥摆的动力学方程，忽略空气阻力的影响时，对于摆球有■=ω2r[3]，如要出现摆球相对悬点相位滞后（如图1右所示）的情况，在r=-R1+？詛cosθ的情况下动力学方程需要有解。易知临界条件为R1、？詛、ω满足f（R1，l，ω）=■-l■+R1■=0。当f（R1，l，ω）≤0时，能量较低的情况出现；当f（R1，l，ω）≥0时，出现无相位滞后的情况。
1.2 理想条件下的轨迹分析
在可以出现空间相位滞后的情形下，由圆锥摆的相关推想可知其稳定状态有2种，一是空间相位滞后为π的情况，二是相位相同的情形。这2种情况分别又有从不稳定态到稳定态的“暂态”过程。
在稳定状态时，以l、R1、r在t=0时刻形成的平面为xOz面建立笛卡尔坐标系，假想的圆锥摆悬点为O点，对于空间相位滞后为π的情况，有
x=（-R1+lcosθ）cosωty=（-R1+lcosθ）sinωtz=■，
而对于相位相同的情形，有
x=（R1+lcosθ）cosωty=（R1+lcosθ）sinωtz=■。
分别计算2种情况的能量可知，当R1、l、ω均相同且满足f（R1，l，ω）<0时，相位滞后π的情况总会比相位相同的情况能量低。
在达到稳定状态之前，有一段持续时间较长的暂态。暂态中，摆球不在稳定状态时的位置，而是以稳定状态时的悬线所在直线为轴，做独立的圆锥摆运动。即，暂态中的摆球相对于稳定状态的摆球又有往复的超前与滞后。如图2所示，设暂态中摆球关于轴线做的圆锥摆半径为r2，悬线与圆锥底面的夹角为θ2，圆锥底面圆心距悬线圆周运动中轴线的距离为r1，圆锥轴线与水平面夹角为θ1，设l、R1、r1、r2以在同一平面内时刻为t=0时刻，该平面为xOz面建立笛卡尔坐标系，那么暂态中x，y的坐标为x平衡y平衡+r2cosω2tsinθ2 r2cosω2t× cosω1t sinω1t-sinω1t cosω1t，导出轨迹方程为
x=r1cosω1t+r2cosω2tsinθ2cosω1t-r2sinω2tsinω1ty=r1sinω1t+r2cosω2tsinθ2sinω1t+r2sinω2tcosω1tz=-■+r2cosω2tcosθ2
对于空间相位滞后为π的情况，其中r1=-R1+lcosθ1，相位同步的情况则有r1=R1+lcosθ1。对于暂态而言，由于空气阻尼的存在，系统能量缓慢降低，最终会达到稳定状态。
为了更贴近实际情况，接下来引入空气阻尼进行研究。
1.3 引入空气阻尼的分析
如图3所示，设摆线上的拉力为T，摆线与竖直方向夹角为θ，摆线在水平方向的投影与摆球圆周运动的半径夹角为φ，摆球圆周运动的半径为r，摆球半径为φ，空气的动力黏滞系数为η。对摆球受力分析可得
Tcosθ=mgTsinθcosφ=mω2rTsinθsinφ=6πφηωr
于是解出tanφ=■，又有■=■和2Rrcos△α=R2+r2-l2sin2θ，进而可以解出相位差：
其中，M=R2l2ω2（m2ω2+36π2φ2η2）。
经计算可知，空气阻尼对△α的影响为忽略空气阻尼时的10-3倍，所以理想情况已经很贴近实际情况。
2 实验过程及数据分析
实验装置如图4所示，包括ZYTD555型电机、HY1711-2S电源、摆球、悬线、支架、摆臂。
实验步骤如下。
（1）组装实验装置，并且在电机转轴正上方和装置正前方各放置1台摄像机。
（2）等间距改变待验证的变量，并用2台摄像机同步摄录实验现象。
（3）重复（2）的过程，利用Tracker软件分析录像中的暂态和稳定状态时的参数或轨迹。
2.1 对临界条件的验证
由于人为改变量只有4个，且根据理想条件下的结果，质量不影响运动，因此只需要选取其中2个分别实验便可验证临界条件式。
悬点圆周运动的半径为9.7 cm，角速度为2πs-1时，不同悬线长度是否会形成空间相位滞后见表1。理论临界摆长为47.19 cm，与实验符合。 悬点圆周运动的半径为9.7 cm，悬线长为55 cm时，不同转速下是否会形成空间相位滞后见表2。理论临界转速为1.783πs-1，与实验符合。
将以上2组实验的无关变量改变，重复多次，均能得到相同结论。
2.2 对轨迹的验证
为了验证轨迹方程和实际情况的一致性，以如下案例为例，阐述验证轨迹的过程。
悬点圆周运动的半径为9.31 cm，悬线长为94.50 cm，角速度为10.47s-1时，以摆球旋转中心（230，120）为坐标，利用Tracker软件追踪重物可得图线（如图5所示）。
此次实验与理论的吻合度为94.7%，在每个变量独立变化均重复10组实验后，所有实验与轨迹方程的吻合度均在87%以上。
3 结论
滞后摆模型的研究与学习体现了牛顿力学的经典性，由于实验室研究条件的限制，本文讨论了同相位与空间相位滞后为π的2种情况。实验先从理想状态的理论推导出发，得出小球的理想运动经历了从非穩定态至稳定态的转变，随后引入空气阻尼因素，以此进一步贴近实际情况小球的运动。
对小球运动方程的实验验证设立了摆线长度、转速、小球质量3个参数，讨论了空间相位滞后为π的滞后摆模型。通过控制变量法多次改变变量数值，均能得到与理论方程相符合的数值。最后绘制小球运动轨迹曲线，实验曲线与理论曲线吻合度极高，确认小球滞后摆运动方程理论推导的正确性。
参 考 文 献
[1]JL Trueba，JP Baltanás，MAF Sanjuán.A genera-lized perturbed pendulum[J].Chaos，Solitons &Fractals，2003，15（5）：911-924.
[2]iypt.urfu.ru.Problems for the 29th IYPT 2016[DB/OL].http：//iypt.urfu.ru/en/about/problems，2016-03-20.
[3]wikipedia.Conical_pendulum[DB/OL].https：//en.wi-kipedia.org/wiki/Conical_pendulum，2016-04-18.
[责任编辑：陈泽琦]