多项式系统Ｅｎ第一焦点量的计算

• 作 者: 许 璐 董伦群
• 出 处: 高校教育研究
• 发表日期: 2009年1期

　　【摘要】利用后继函数法得到了系统En的第一个用系数具体表示的焦点量，所得结论包含了文献中同类结果。
　　【关键词】多项式系统 焦点量 表达式
　　【中图分类号】O175.12 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0134-01
　　
　　1 引言
　　Hilbert 16问题是关于多项式系统的极限环,而极限环问题首先要搞清楚焦点的焦点量计算。因为焦点量的个数决定焦点外围极限环的个数。目前EayTOH、Andronov、秦元勋、李承治、李继彬、刘一戎等分别计算了实(或复)E2、E3系统的焦点量。本文利用后继函数法将解析系统具体化为多项式系统,计算了n 次系统En的第一焦点量。
　　
　　2 主要结论
　　定理:对于系统 (1)
　　其中b>0,我们有其第一焦点量为
　　
　　
　　证明:令,则系统(1)化为极坐标方程
　　
　　所以 (2)
　　由于(2)式右端在内解析,故(2)式可以展开成幂级数,记为其中
　　 (3)
　　比较r2:
　　r3:
　　
　　所以
　　
　　由于对C解析,所以(3)的解为
　　 (4)
　　且则在(4)中令,有
　　(5)
　　将(4)代入(3)有
　　(6)
　　比较(6)式C的同类项系数得
　　
　　将上述各式由初始条件积分有
　　
　　所以,
　　
　　这就是系统(1)的第一焦点量的具体表达式。
　　
　　3 实例说明
　　例1:考虑系统,易知(0,0)是其平衡点,这里,,将其代入(7)式得.
　　如果a>0则(0,0)是其不稳定焦点;如果a<0则(0,0)是其稳定焦点。这与[6]中结果完全相同。
　　例2:在[1]、[4]中关于二次系统E2,这里
　　
　　以及高于三次项系数均为0,所以有
　　
　　这就是李承治工作中第一焦点量情形.
　　例3:在文献[2]、[3]、[5]中是关于缺二次项的三次系统E3[3],这里,此时有
　　
　　这与[2]、[3]、[5]的结果完全相同。
　　
　　参考文献
　　[1] H.H.EayTOH: Mat Coop 30[M].(1952):181-195.
　　[2] A.A.Andronuv.Theory of Bifurcation of Dynamic System on a Plane[M].1973.
　　[3] 秦元勋等.关于E3(3)焦点量的机器计算[J].曲阜师范大学学报.1988(1).
　　[4] 李承治.关于平面二次系统的两个问题[J].中国科学A,1982(2):1087-1096.
　　[5] 李继彬,刘一戎.论复自治系统的奇点量[J].中国科学A,1989(3):245-255.
　　[6] 张锦炎.常微分方程几何理论与分支理论[M].北京大学出版社,1987.
　　[7] 吴兆荣.Abel系统的焦点量计算及其应用[J].济南大学学报.2004(4).
　　[8] 杜乃武,曾宪武.计算焦点量的一类递推式[J].科学通报,1994(19).