论文部分内容阅读
一、化归思想
化归思想是数学中常用的一种重要数学思想，其本质就是矛盾的转化，曾被笛卡儿誉为“万能方法”。笛卡尔在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；第二，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。本文将结合中学数学教学来谈谈化归思想。
1.化归的含义
化归即转化和归结的意思，就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答的一种数学思维方式。
2.化归的意义
化归在数学中是一个非常基本的思想方法，有着十分广泛的应用。不仅许多重要数学方法都属于“化归”的范畴，而且许多重要的数学思想和研究策略也可用化归的思想来概括。化归思想是解决问题总的策略，在数学教学中渗透化归思想，可使许多疑难问题迎刃而解，有利于提高教学效率和教学质量。
3.化归的策略
我们常常有这种感受，知道要化归，也想要化归，但却无法实现化归。所以，实现化归，我们还要掌握一定的化归策略。
(1)一般与特殊的转化。从一般与特殊的关系出发，有两种化归途径：一是将一般问题特殊化，通过对特殊形式的研究寻求解决原问题的方法，即一般?邛特殊?邛一般；二是把所给问题作为特殊形式，将特殊问题一般化，通过解决一般问题来求得所给特殊问题的解决，即特殊?邛一般?邛特殊。
(2)具体与抽象的转化。解题时，对某些抽象的问题，可采用具体化的方法，如作图或赋予问题以实际意义，从而在某种具体意义的指导下讨论问题，寻求解答。也可将某一问题的具体内容暂时舍弃，仅就它们的关系和结构形成一个纯粹数学的问题去进行讨论，从而得到原问题的解答。
(3)已知与未知的转化。已知与未知的转化，常常能转换问题的条件，避实就虚，使问题得到巧妙解决。
(4)数与形的转化。几何图形中往往蕴涵着一定的数量关系，而数又常常可以通过儿何图形作出直观的描述和反映。解题时可把数和形结合起来考察，通过相互转化，达到化繁为简、化难为易的目的。
(5)主次转化。利用主元与参变量关系，视参变量为主元，常常可以把问题简化而使之得到解决。
(6)化高为低。在解数学题时，常常通过将高次转化为低次，多元转化为单元，高维空间转化为低维空间，即通过降次、降元、降维达到化归的目的。
(7)化正为反。即将正面问题转化为与之相反的问题求解，常用的有反证法、反例法。
(8)化无限为有限。无限与有限虽然有着本质的差异，但也有着密切的联系，解决问题时常常把无限的问题转化为有限的情形来讨论。
二、用化归思想处理教师的教与学生的学
数学教师导入新课时应用化归思想方法将新的知识化为更简单、更熟悉、更具体、更形象的知识或图形，这样更适合中学生认知规律。下面的例子选自中学教材。
高中研究函数单调性时先从初中已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数的函数值y随自变量x的变化情况着手，引出数学符号语言描述的单调性定义。从图像看，二次函数y=x2图像在第二象限内呈下降趋势，在第一象限内呈上升趋势。即二次函数f(x)=x2+x＞0时y随着x增大而增大，在x＜0时y随着x增大而减小。
比较大小：f（1）＜f（2），f（4）＜f（7），f（-5）＞f（-3）。
因為二次函数f（x）=x2在x＞0时y随着x增大而增大，由1＜2，则f（1）＜f（2），由4＜7，则f（4）＜f（7）。
因此函数f（x）=x2在区间（0，+∞）内，若有任意的两数x1＜x1，则f（x1）＜f（x2）；
类似函数f（x）=x2在区间（-∞，0）内，若有任意的两数x1＜x2，则f（x1）＞f（x2）。
如果我们称函数f（x）=x2在区间（0，+∞）内是增函数，在区间（-∞，0）内是减函数，从而推广到一般情形。
以上研究问题时将一般性、不熟悉性、抽象性转化为具体化、熟悉化、形象化，让学生从具体的、熟悉的、形象的知识结构去研究新问题。
化归思想是解决问题总的策略，不只是局限于数学问题，作为教师都应认识化归思想的意义，尤其是数学教师一定要认真理解化归思想的内涵，大力做好教学的渗透，提高学生分析问题、解决问题的能力，促进学生人格健康良性发展。◆（作者单位：淮南职业教育中心）
□责任编辑：周瑜芽
化归思想是数学中常用的一种重要数学思想，其本质就是矛盾的转化，曾被笛卡儿誉为“万能方法”。笛卡尔在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；第二，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。本文将结合中学数学教学来谈谈化归思想。
1.化归的含义
化归即转化和归结的意思，就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答的一种数学思维方式。
2.化归的意义
化归在数学中是一个非常基本的思想方法，有着十分广泛的应用。不仅许多重要数学方法都属于“化归”的范畴，而且许多重要的数学思想和研究策略也可用化归的思想来概括。化归思想是解决问题总的策略，在数学教学中渗透化归思想，可使许多疑难问题迎刃而解，有利于提高教学效率和教学质量。
3.化归的策略
我们常常有这种感受，知道要化归，也想要化归，但却无法实现化归。所以，实现化归，我们还要掌握一定的化归策略。
(1)一般与特殊的转化。从一般与特殊的关系出发，有两种化归途径：一是将一般问题特殊化，通过对特殊形式的研究寻求解决原问题的方法，即一般?邛特殊?邛一般；二是把所给问题作为特殊形式，将特殊问题一般化，通过解决一般问题来求得所给特殊问题的解决，即特殊?邛一般?邛特殊。
(2)具体与抽象的转化。解题时，对某些抽象的问题，可采用具体化的方法，如作图或赋予问题以实际意义，从而在某种具体意义的指导下讨论问题，寻求解答。也可将某一问题的具体内容暂时舍弃，仅就它们的关系和结构形成一个纯粹数学的问题去进行讨论，从而得到原问题的解答。
(3)已知与未知的转化。已知与未知的转化，常常能转换问题的条件，避实就虚，使问题得到巧妙解决。
(4)数与形的转化。几何图形中往往蕴涵着一定的数量关系，而数又常常可以通过儿何图形作出直观的描述和反映。解题时可把数和形结合起来考察，通过相互转化，达到化繁为简、化难为易的目的。
(5)主次转化。利用主元与参变量关系，视参变量为主元，常常可以把问题简化而使之得到解决。
(6)化高为低。在解数学题时，常常通过将高次转化为低次，多元转化为单元，高维空间转化为低维空间，即通过降次、降元、降维达到化归的目的。
(7)化正为反。即将正面问题转化为与之相反的问题求解，常用的有反证法、反例法。
(8)化无限为有限。无限与有限虽然有着本质的差异，但也有着密切的联系，解决问题时常常把无限的问题转化为有限的情形来讨论。
二、用化归思想处理教师的教与学生的学
数学教师导入新课时应用化归思想方法将新的知识化为更简单、更熟悉、更具体、更形象的知识或图形，这样更适合中学生认知规律。下面的例子选自中学教材。
高中研究函数单调性时先从初中已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数的函数值y随自变量x的变化情况着手，引出数学符号语言描述的单调性定义。从图像看，二次函数y=x2图像在第二象限内呈下降趋势，在第一象限内呈上升趋势。即二次函数f(x)=x2+x＞0时y随着x增大而增大，在x＜0时y随着x增大而减小。
比较大小：f（1）＜f（2），f（4）＜f（7），f（-5）＞f（-3）。
因為二次函数f（x）=x2在x＞0时y随着x增大而增大，由1＜2，则f（1）＜f（2），由4＜7，则f（4）＜f（7）。
因此函数f（x）=x2在区间（0，+∞）内，若有任意的两数x1＜x1，则f（x1）＜f（x2）；
类似函数f（x）=x2在区间（-∞，0）内，若有任意的两数x1＜x2，则f（x1）＞f（x2）。
如果我们称函数f（x）=x2在区间（0，+∞）内是增函数，在区间（-∞，0）内是减函数，从而推广到一般情形。
以上研究问题时将一般性、不熟悉性、抽象性转化为具体化、熟悉化、形象化，让学生从具体的、熟悉的、形象的知识结构去研究新问题。
化归思想是解决问题总的策略，不只是局限于数学问题，作为教师都应认识化归思想的意义，尤其是数学教师一定要认真理解化归思想的内涵，大力做好教学的渗透，提高学生分析问题、解决问题的能力，促进学生人格健康良性发展。◆（作者单位：淮南职业教育中心）
□责任编辑：周瑜芽