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在平面内把某图形绕一个定点旋转一个角度，这样的变换叫旋转变换，这个定点叫做旋转中心，这个角叫做旋转角. 旋转变换是平面几何里的最基本的变换之一，能够真正掌握并能熟练运用，在解决有关问题时，就会感觉无比轻松了. 例如：
一、三角形中的旋转
如图１，正方形ＣＤＥＦ内接于Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＥ ＝ ３，ＢＥ ＝ ４，求图中阴影部分的面积.
思路 如图２，正方形ＣＤＥＦ中，ＥＤ ＝ ＥＦ，∠ＤＥＦ ＝ ９０°，若把△ＥＡＤ绕点Ｅ逆时针旋转９０°，使ＥＤ和ＥＦ重合，∠ＡＥＤ旋转到∠ＧＥＦ的位置，此时△ＡＥＤ和△ＧＥＦ重合，且△ＧＥＢ为直角三角形，则图中阴影部分的面积就等于Ｒｔ△ＧＥＢ的面积，即阴影部分的面积为６．
已知：如图３，等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ为形外一点，∠ＢＤＣ ＝ １２０°，ＤＢ ＝ ＤＣ，Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＡＣ上，且∠ＥＤＦ ＝ ６０°，求证：ＢＥ ＋ ＣＦ ＝ ＥＦ．
思路 如图４，ＤＣ ＝ ＤＢ，∠ＣＤＢ ＝ １２０°，若把△ＤＣＦ绕点Ｄ逆时针旋转１２０°，与△ＤＢＧ重合，由等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ为形外一点，∠ＢＤＣ ＝ １２０°，ＤＢ ＝ ＤＣ可知，∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，故∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，即∠ＤＢＧ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，从而点Ｇ，Ｂ，Ｅ共线，ＧＥ ＝ ＢＥ ＋ ＢＧ ＝ ＢＥ ＋ ＣＦ，故只需再证明ＧＥ ＝ ＥＦ即可. 由旋转知ＧＤ ＝ ＤＦ，∠ＧＤＥ ＝ ∠ＧＤＢ ＋ ∠ＢＤＥ ＝ ∠ＦＤＣ ＋ ∠ＢＤＥ ＝ ６０° ＝ ∠ＥＤＦ，又ＤＥ为公共边，所以△ＧＤＥ ≌ △ＦＤＥ，得ＥＧ ＝ ＥＦ，于是命题得证．
二、正方形中的旋转
已知：如图５，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＣＤ，ＢＣ上的点，∠ＥＡＦ ＝ ４５°，
求证：ＢＦ ＋ ＤＥ ＝ ＥＦ．
思路 如图６，正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ ＝ ＡＢ， ∠ＤＡＢ ＝ ９０°，把Ｒt△ＡＤＥ绕点Ａ顺时针旋转９０°，与Ｒt△ＡＢＧ重合，此时∠ＡＢＦ ＝ ∠ＡＢＧ ＝ ９０°，从而点Ｇ，Ｂ，Ｆ共线，ＧＦ ＝ ＢＦ ＋ ＢＧ ＝ ＢＦ ＋ ＤＥ，故只需再证明ＧＦ ＝ ＥＦ即可. 由旋转知ＡＧ ＝ ＡＥ， ∠ＧＡＦ ＝ ∠ＧＡＢ ＋ ∠ＢＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ ＋ ∠ＢＡＦ ＝ ４５° ＝ ∠ＥＡＦ，又ＡＦ为公共边，所以△ＧＡＦ ≌ △ＥＡＦ，得ＧＦ ＝ ＥＦ，于是命题得证．
已知：如图７，点Ｐ为正方形ＡＢＣＤ内一点，ＰＡ ＝ １，ＰＢ ＝ ２，ＰＣ ＝ ３，求∠ＡＰＢ的度数．
思路 如图８，正方形ＡＢＣＤ中，ＢＣ ＝ ＢＡ，∠ＣＢＡ ＝ ９０°，若把△ＢＣＰ绕点Ｂ逆时针旋转９０°，与△ＢＡＥ重合，则△ＰＢＥ为等腰直角三角形，∠ＢＰＥ ＝ ４５°，且ＢＥ ＝ ＢＰ ＝ ２，从而求得ＥＰ ＝ ２■，在△ＡＰＥ中，由勾股定理的逆定理可知∠ＡＰＥ ＝ ９０°，所以∠ＡＰＢ ＝ ４５° ＋ ９０° ＝ １３５°．
三、圆中的旋转
已知：如图９，Ｐ是等边三角形ＡＢＣ的外接圆的弧ＢＣ上任一点，求证：ＰＢ ＋ ＰＣ ＝ ＰＡ．
思路 如图１０，△ＡＢＣ是等边三角形，ＡＢ ＝ ＡＣ，∠ＢＡＰ ＝ ∠ＢＣＰ，把△ＢＰＣ绕点Ｂ逆时针旋转６０°，ＢＣ和ＢＡ重合，∠ＢＣＰ旋转到∠ＢＡＤ的位置，同时△ＢＰＤ也为等边三角形，此时ＰＤ ＝ ＢＰ，ＡＤ ＝ ＰＣ，所以ＰＢ ＋ ＰＣ ＝ ＰＡ．
有关旋转的问题远不止这些，这里就不一一列举. 由以上问题的解决可以看出：从运动的观点来观察、认识、处理图形，利用旋转思想解决有关问题确实有很大的优点. 教学中如果能让学生认识到这一点，就能更有效地提高学生的分析问题和解决问题的能力.
一、三角形中的旋转
如图１，正方形ＣＤＥＦ内接于Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＥ ＝ ３，ＢＥ ＝ ４，求图中阴影部分的面积.
思路 如图２，正方形ＣＤＥＦ中，ＥＤ ＝ ＥＦ，∠ＤＥＦ ＝ ９０°，若把△ＥＡＤ绕点Ｅ逆时针旋转９０°，使ＥＤ和ＥＦ重合，∠ＡＥＤ旋转到∠ＧＥＦ的位置，此时△ＡＥＤ和△ＧＥＦ重合，且△ＧＥＢ为直角三角形，则图中阴影部分的面积就等于Ｒｔ△ＧＥＢ的面积，即阴影部分的面积为６．
已知：如图３，等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ为形外一点，∠ＢＤＣ ＝ １２０°，ＤＢ ＝ ＤＣ，Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＡＣ上，且∠ＥＤＦ ＝ ６０°，求证：ＢＥ ＋ ＣＦ ＝ ＥＦ．
思路 如图４，ＤＣ ＝ ＤＢ，∠ＣＤＢ ＝ １２０°，若把△ＤＣＦ绕点Ｄ逆时针旋转１２０°，与△ＤＢＧ重合，由等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ为形外一点，∠ＢＤＣ ＝ １２０°，ＤＢ ＝ ＤＣ可知，∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，故∠ＡＣＤ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，即∠ＤＢＧ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ９０°，从而点Ｇ，Ｂ，Ｅ共线，ＧＥ ＝ ＢＥ ＋ ＢＧ ＝ ＢＥ ＋ ＣＦ，故只需再证明ＧＥ ＝ ＥＦ即可. 由旋转知ＧＤ ＝ ＤＦ，∠ＧＤＥ ＝ ∠ＧＤＢ ＋ ∠ＢＤＥ ＝ ∠ＦＤＣ ＋ ∠ＢＤＥ ＝ ６０° ＝ ∠ＥＤＦ，又ＤＥ为公共边，所以△ＧＤＥ ≌ △ＦＤＥ，得ＥＧ ＝ ＥＦ，于是命题得证．
二、正方形中的旋转
已知：如图５，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＣＤ，ＢＣ上的点，∠ＥＡＦ ＝ ４５°，
求证：ＢＦ ＋ ＤＥ ＝ ＥＦ．
思路 如图６，正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ ＝ ＡＢ， ∠ＤＡＢ ＝ ９０°，把Ｒt△ＡＤＥ绕点Ａ顺时针旋转９０°，与Ｒt△ＡＢＧ重合，此时∠ＡＢＦ ＝ ∠ＡＢＧ ＝ ９０°，从而点Ｇ，Ｂ，Ｆ共线，ＧＦ ＝ ＢＦ ＋ ＢＧ ＝ ＢＦ ＋ ＤＥ，故只需再证明ＧＦ ＝ ＥＦ即可. 由旋转知ＡＧ ＝ ＡＥ， ∠ＧＡＦ ＝ ∠ＧＡＢ ＋ ∠ＢＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ ＋ ∠ＢＡＦ ＝ ４５° ＝ ∠ＥＡＦ，又ＡＦ为公共边，所以△ＧＡＦ ≌ △ＥＡＦ，得ＧＦ ＝ ＥＦ，于是命题得证．
已知：如图７，点Ｐ为正方形ＡＢＣＤ内一点，ＰＡ ＝ １，ＰＢ ＝ ２，ＰＣ ＝ ３，求∠ＡＰＢ的度数．
思路 如图８，正方形ＡＢＣＤ中，ＢＣ ＝ ＢＡ，∠ＣＢＡ ＝ ９０°，若把△ＢＣＰ绕点Ｂ逆时针旋转９０°，与△ＢＡＥ重合，则△ＰＢＥ为等腰直角三角形，∠ＢＰＥ ＝ ４５°，且ＢＥ ＝ ＢＰ ＝ ２，从而求得ＥＰ ＝ ２■，在△ＡＰＥ中，由勾股定理的逆定理可知∠ＡＰＥ ＝ ９０°，所以∠ＡＰＢ ＝ ４５° ＋ ９０° ＝ １３５°．
三、圆中的旋转
已知：如图９，Ｐ是等边三角形ＡＢＣ的外接圆的弧ＢＣ上任一点，求证：ＰＢ ＋ ＰＣ ＝ ＰＡ．
思路 如图１０，△ＡＢＣ是等边三角形，ＡＢ ＝ ＡＣ，∠ＢＡＰ ＝ ∠ＢＣＰ，把△ＢＰＣ绕点Ｂ逆时针旋转６０°，ＢＣ和ＢＡ重合，∠ＢＣＰ旋转到∠ＢＡＤ的位置，同时△ＢＰＤ也为等边三角形，此时ＰＤ ＝ ＢＰ，ＡＤ ＝ ＰＣ，所以ＰＢ ＋ ＰＣ ＝ ＰＡ．
有关旋转的问题远不止这些，这里就不一一列举. 由以上问题的解决可以看出：从运动的观点来观察、认识、处理图形，利用旋转思想解决有关问题确实有很大的优点. 教学中如果能让学生认识到这一点，就能更有效地提高学生的分析问题和解决问题的能力.