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摘 要：美元在世界货币体系中占据首要地位，选取适当的方法对美元汇率波动性进行解释和预测，具有重要意义。首先介绍了四种广义自回归条件异方差（GARCH）模型，然后运用2007年6月1日到2014年5月1日的美元指数收盘价数据，基于GARCH族模型对美元指数收益率进行分析，将对称GARCH与非对称GARCH模型的预测效果进行对比，发现对称GARCH模型中历史波动情况对当前波动的影响较非对称GARCH模型更显著。
关键词：美元指数；GARCH族模型；收益率波动
中图分类号：F830.92 文献标志码：：A 文章编号：1673-291X（2014）26-0184-02
引言
美元汇率不仅影响我国持有的美国国债价值，还影响我国进出口商品的国际竞争力，因此有效解释美元汇率走势显得尤为重要。美元指数是衡量美元汇率走势的通用指标，作为金融市场上的时间序列数据，具有不稳定的特性。金融时间序列数据波动总是存在集聚现象，也称为ARCH效应，即变量序列发生突然性的波动，并且大的波动后常常跟着另一个大的波动，而在小的波动后常伴随着小的波动，这使模型的残差平方序列存在异方差性。赵树然和任培民等人（2012）运用GARCH模型来预测人民币汇率的波动性，发现非参数GARCH模型对人民币汇率波动的解释和预测效果优于参数GARCH模型。杨湘豫和程利（2013）研究发现，GARCH（2，1）最适合描述美元指数的市场波动。徐申吉（2012）年在其硕士论文中对八种货币指数波动进行研究，发现GARCH（1，1）能够很好的拟合货币指数的历史价格数据。GARCH族模型能有效地捕捉资产收益率波动的异方差现象，本文应用四种不同的GARCH模型对美元指数收益理财波动性进行分析和比较。
一、GARCH族模型
（一）GARCH模型
在GARCH系列模型中，GARCH（1，1）是最简单且应用最广泛的模型，具体形式如下：
均值方程：rt=u+et （1）
方差方程： （2）
其中ω>0，α1≥0，并且β1≥0，表示时间t时的资产回报率，u代表平均回报，et是剩余回报，定义为：εt=σtzt。这里的zt是标准化剩余收益，σt2代表条件方差。对于GARCH（1，1），约束条件α1≥0和β1≥0用来保证β1≥0是严格的正数。条件方差方程建立了关于残差波动率的模型，波动率具有随时间变化而变化的性质，这个残差是从平均方程中得到的。由于方差方程中包含残差的滞后项和方差的滞后项，且ARCH效应解释的是残差项，GARCH测算的是方差大小，故而分别称为ARCH项和GARCH项。
（二）GARCH-M模型
在金融领域，安全的收益率可能取决于其波动率。要模拟这样一种现象就要考虑Engle，Lilien，和Robins在1987年创建并发展GARCH-M模型，它允许一个条件平均的序列由它的条件方差或标准差来决定。下面举一个GARCH-M（1.1）模型得例子：
均值方程：rt=u+et+λσt2 （3）
方差方程 （4）
均值方程中的参数r称为风险溢价参数。λ为正表明收益率与其波动率正相关，即平均收益的增加是由条件方差的增加引起的，条件方差的回报越大，诱导投资者持有资产的必要补偿就越大。
（三）EGARCH模型
该模型解释的是随时间变化方差冲击的非对称反应，同时，确保方差始终是正的。它是1991年Nelson提出并发展的，以下是简单的叙述：
（5）
这里r是非对称响应参数或杠杆参数。在大多数实证案例中，r是正的，因此，负面冲击增加了未来的波动率或者不确定性，而正冲击减轻了对未来不确定性的影响。
（四）PGARCH模型
PGARCH模型是处理非对称性反应的GARCH模型。与其他GARCH模型不同的是，它是以标准差为蓝本而不是方差。该模型给功率参数提供了更大的空间，可以改变数值以应对不同情况的非对称效应。
其模型如下：
（6）
这里α1和β1分别代表ARCH参数和GARCH参数，γ1是杠杆参数，σ是功率参数。当σ=2时，等式（6）变成了经典GARCH模型并允许杠杆效应，当σ=1时，条件标准偏差将被估计。通过考虑将σ换做不同的系数，有可能增加PGARCH模型的灵活性。
二、实证分析
（一）数据来源与处理
本文通过大智慧操盘软件收集了从2007年6月1日到2014年5月1日的美元指数每日收盘价，共1 805个观测值，运用Eviews7.0软件进行测算。从美元指数（usdx）的趋势图（图1）中可以看出，usdx序列存在异方差性。
为了消除这种异方差性，我们将美元指数序列进行一阶对数差分处理得收益率序列rt，
rt=logusdxt-logusdxt-1
这里，rt表示连续复合收益率，usdxt和usdxt-1分别代表当期（t）和前期（t-1）的美元指数收盘价。由图2可知，处理后的序列消除了原序列的趋势。由软件试算结果可以得到t统计量值是-41.85741，小于显著性水平为1%的临界值，所以至少可以在99%的置信度下拒绝原假设，认为美元指数的一阶对数差分序列不存在单位根，即序列满足平稳性要求。 （二）均值方程的设定
GARCH族模型均以均值方程为基础，通过检验均值方程回归的残差序列是否存在ARCH效应来判断能否应用GARCH模型。本文设定均值方程为：
r=c+ut
均值方程中除了常数项和随机扰动项没有其他变量。因为影响美元指数收益率因素有很多，有些可以量化有些却不能，因此通常认为美元指数收益率以一个均值作为参考，每日收益率会围绕该均值上下波动。通过Eviews软件进行回归处理之后，对分离出残差序列进行残差序列的ARCH-LM检验，从表1中可以看出，F统计量和卡方统计量的P值都小于0.05，则表示原序列存在ARCH效应。
（三）方差方程的设定
金融资产的收益率很大程度上取决于其波动性，而美元收益率序列存在自相关性和异方差现象，即“ARCH效应”，在减少估计参数的前提下为提高估计的准确度，一般采用GARCH族模型对美元指数收益率的波动进行估计。应用Eviews软件，通过前述四种GARCH族模型对模型中的方差方程进行回归分析，结果如表2所示。
（四）结果分析
从表2中可以看出，u均为接近于0的负数，说明美元指数收益率的均值很低，且在样本期间内总体处于亏损状态。α1和β1表示滞后的条件方差和滞后的扰动项的平方可以解释当前的美元指数波动，二者之和越大表示波动越剧烈。GARCH和GARCH-M模型中GARCH项系数大于ARCH项系数，且均为正，表明前一期的波动对当期波动为正向影响且作用程度比较大，而EGARCH和PGARCH模型中前期的波动对当期波动的影响逐渐减少，甚至变为负向影响且作用程度并不明显，这可能是因为非对称效应的作用效果更显著。GARCH-M模型中的均值方程依赖于条件方差函数，从上表中可以看到，σ2的估计系数是正的，这表明条件方差和收益率水平呈正相关，即随着波动率的增加，收益率也相应的增加。此结果与股票指数的风险溢价理论相一致，说明风险更高的资产拥有更高的预期回报率。从模型的估计结果中可以看出，EGARCH和PGARCH的估计系数γ均是接近于1的正数，这说明在存在非对称响应时，对比负面冲击，正面冲击对波动率的影响更大。从最大似然估计值的大小可以判断，四种模型的估计效果比较接近，且PGARCH模型更优。
三、结论
本文介绍了四种GARCH族模型及其估计方法，采集2007年6月1日到2014年5月1日的美元指数样本数据，建立了描述时间序列变化特性的GARCH模型进行对比分析，得到了美元指数波动的如下规律：（1）样本期间内美元指数收益率总体处于较低的亏损状态。（2）美元指数收益率的波动受历史波动率的影响，且影响范围有限。（3）对称GARCH模型中历史波动率对当前波动的影响较非对称GARCH模型更显著。
参考文献：
[1] 陈静.美元汇率近期走势及其影响因素分析[J].国际金融，2012，（1）：59-62.
[2] 殷微波.人民币汇率预测——基于GARCH模型的实证研究[J].当代经济，2007，（8）：114-116.
[3] 徐建军.GARCH族模型在汇率波动分析中的应用[J].金融研究，2011，（5）：27-30.
[4] 高铁梅.计量经济分析方法与建模[M].北京：清华大学出版社，2009：186-194.
[5] Suliman Zakaria.Modelling Stock Market Volatility Using Univariate GARCH Model：Evidence from Sudan and Egypt[J].InternationalJournal of Economics and Finance.2012（11）：P160-166.
[责任编辑 柯 黎]
关键词：美元指数；GARCH族模型；收益率波动
中图分类号：F830.92 文献标志码：：A 文章编号：1673-291X（2014）26-0184-02
引言
美元汇率不仅影响我国持有的美国国债价值，还影响我国进出口商品的国际竞争力，因此有效解释美元汇率走势显得尤为重要。美元指数是衡量美元汇率走势的通用指标，作为金融市场上的时间序列数据，具有不稳定的特性。金融时间序列数据波动总是存在集聚现象，也称为ARCH效应，即变量序列发生突然性的波动，并且大的波动后常常跟着另一个大的波动，而在小的波动后常伴随着小的波动，这使模型的残差平方序列存在异方差性。赵树然和任培民等人（2012）运用GARCH模型来预测人民币汇率的波动性，发现非参数GARCH模型对人民币汇率波动的解释和预测效果优于参数GARCH模型。杨湘豫和程利（2013）研究发现，GARCH（2，1）最适合描述美元指数的市场波动。徐申吉（2012）年在其硕士论文中对八种货币指数波动进行研究，发现GARCH（1，1）能够很好的拟合货币指数的历史价格数据。GARCH族模型能有效地捕捉资产收益率波动的异方差现象，本文应用四种不同的GARCH模型对美元指数收益理财波动性进行分析和比较。
一、GARCH族模型
（一）GARCH模型
在GARCH系列模型中，GARCH（1，1）是最简单且应用最广泛的模型，具体形式如下：
均值方程：rt=u+et （1）
方差方程：
其中ω>0，α1≥0，并且β1≥0，表示时间t时的资产回报率，u代表平均回报，et是剩余回报，定义为：εt=σtzt。这里的zt是标准化剩余收益，σt2代表条件方差。对于GARCH（1，1），约束条件α1≥0和β1≥0用来保证β1≥0是严格的正数。条件方差方程建立了关于残差波动率的模型，波动率具有随时间变化而变化的性质，这个残差是从平均方程中得到的。由于方差方程中包含残差的滞后项和方差的滞后项，且ARCH效应解释的是残差项，GARCH测算的是方差大小，故而分别称为ARCH项和GARCH项。
（二）GARCH-M模型
在金融领域，安全的收益率可能取决于其波动率。要模拟这样一种现象就要考虑Engle，Lilien，和Robins在1987年创建并发展GARCH-M模型，它允许一个条件平均的序列由它的条件方差或标准差来决定。下面举一个GARCH-M（1.1）模型得例子：
均值方程：rt=u+et+λσt2 （3）
方差方程
均值方程中的参数r称为风险溢价参数。λ为正表明收益率与其波动率正相关，即平均收益的增加是由条件方差的增加引起的，条件方差的回报越大，诱导投资者持有资产的必要补偿就越大。
（三）EGARCH模型
该模型解释的是随时间变化方差冲击的非对称反应，同时，确保方差始终是正的。它是1991年Nelson提出并发展的，以下是简单的叙述：
这里r是非对称响应参数或杠杆参数。在大多数实证案例中，r是正的，因此，负面冲击增加了未来的波动率或者不确定性，而正冲击减轻了对未来不确定性的影响。
（四）PGARCH模型
PGARCH模型是处理非对称性反应的GARCH模型。与其他GARCH模型不同的是，它是以标准差为蓝本而不是方差。该模型给功率参数提供了更大的空间，可以改变数值以应对不同情况的非对称效应。
其模型如下：
这里α1和β1分别代表ARCH参数和GARCH参数，γ1是杠杆参数，σ是功率参数。当σ=2时，等式（6）变成了经典GARCH模型并允许杠杆效应，当σ=1时，条件标准偏差将被估计。通过考虑将σ换做不同的系数，有可能增加PGARCH模型的灵活性。
二、实证分析
（一）数据来源与处理
本文通过大智慧操盘软件收集了从2007年6月1日到2014年5月1日的美元指数每日收盘价，共1 805个观测值，运用Eviews7.0软件进行测算。从美元指数（usdx）的趋势图（图1）中可以看出，usdx序列存在异方差性。
为了消除这种异方差性，我们将美元指数序列进行一阶对数差分处理得收益率序列rt，
rt=logusdxt-logusdxt-1
这里，rt表示连续复合收益率，usdxt和usdxt-1分别代表当期（t）和前期（t-1）的美元指数收盘价。由图2可知，处理后的序列消除了原序列的趋势。由软件试算结果可以得到t统计量值是-41.85741，小于显著性水平为1%的临界值，所以至少可以在99%的置信度下拒绝原假设，认为美元指数的一阶对数差分序列不存在单位根，即序列满足平稳性要求。 （二）均值方程的设定
GARCH族模型均以均值方程为基础，通过检验均值方程回归的残差序列是否存在ARCH效应来判断能否应用GARCH模型。本文设定均值方程为：
r=c+ut
均值方程中除了常数项和随机扰动项没有其他变量。因为影响美元指数收益率因素有很多，有些可以量化有些却不能，因此通常认为美元指数收益率以一个均值作为参考，每日收益率会围绕该均值上下波动。通过Eviews软件进行回归处理之后，对分离出残差序列进行残差序列的ARCH-LM检验，从表1中可以看出，F统计量和卡方统计量的P值都小于0.05，则表示原序列存在ARCH效应。
（三）方差方程的设定
金融资产的收益率很大程度上取决于其波动性，而美元收益率序列存在自相关性和异方差现象，即“ARCH效应”，在减少估计参数的前提下为提高估计的准确度，一般采用GARCH族模型对美元指数收益率的波动进行估计。应用Eviews软件，通过前述四种GARCH族模型对模型中的方差方程进行回归分析，结果如表2所示。
（四）结果分析
从表2中可以看出，u均为接近于0的负数，说明美元指数收益率的均值很低，且在样本期间内总体处于亏损状态。α1和β1表示滞后的条件方差和滞后的扰动项的平方可以解释当前的美元指数波动，二者之和越大表示波动越剧烈。GARCH和GARCH-M模型中GARCH项系数大于ARCH项系数，且均为正，表明前一期的波动对当期波动为正向影响且作用程度比较大，而EGARCH和PGARCH模型中前期的波动对当期波动的影响逐渐减少，甚至变为负向影响且作用程度并不明显，这可能是因为非对称效应的作用效果更显著。GARCH-M模型中的均值方程依赖于条件方差函数，从上表中可以看到，σ2的估计系数是正的，这表明条件方差和收益率水平呈正相关，即随着波动率的增加，收益率也相应的增加。此结果与股票指数的风险溢价理论相一致，说明风险更高的资产拥有更高的预期回报率。从模型的估计结果中可以看出，EGARCH和PGARCH的估计系数γ均是接近于1的正数，这说明在存在非对称响应时，对比负面冲击，正面冲击对波动率的影响更大。从最大似然估计值的大小可以判断，四种模型的估计效果比较接近，且PGARCH模型更优。
三、结论
本文介绍了四种GARCH族模型及其估计方法，采集2007年6月1日到2014年5月1日的美元指数样本数据，建立了描述时间序列变化特性的GARCH模型进行对比分析，得到了美元指数波动的如下规律：（1）样本期间内美元指数收益率总体处于较低的亏损状态。（2）美元指数收益率的波动受历史波动率的影响，且影响范围有限。（3）对称GARCH模型中历史波动率对当前波动的影响较非对称GARCH模型更显著。
参考文献：
[1] 陈静.美元汇率近期走势及其影响因素分析[J].国际金融，2012，（1）：59-62.
[2] 殷微波.人民币汇率预测——基于GARCH模型的实证研究[J].当代经济，2007，（8）：114-116.
[3] 徐建军.GARCH族模型在汇率波动分析中的应用[J].金融研究，2011，（5）：27-30.
[4] 高铁梅.计量经济分析方法与建模[M].北京：清华大学出版社，2009：186-194.
[5] Suliman Zakaria.Modelling Stock Market Volatility Using Univariate GARCH Model：Evidence from Sudan and Egypt[J].InternationalJournal of Economics and Finance.2012（11）：P160-166.
[责任编辑 柯 黎]